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线性代数
线性代数知识大纲，包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组、特征值/特征向量、二次型等，还有易错点和常用结论总结。
编辑于2022-01-22 01:01:00- 相似推荐
- 大纲
线代
行列式
概念
逆序、余子式
定义：是一个数，不同阶的行列式可能相等
几个特殊的高阶行列式
对角行列式
广义对角行列式
三角行列式
主对角线行列式
上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
副对角线行列式
范德蒙德行列式
特殊分块行列式
特征多项式
五个性质（注意与矩阵初等变换、矩阵运算的区别）
|A T|=|A|
对调两行（或列）行列式改变符号；矩阵上下两行交换，矩阵相等
矩阵元素均有k，才能提k，行列式只需一行
kA=(kaij)（矩阵）；|kA|=k^n |A|
两行成比例，行列式为0
行列式某行元素全为0，行列式为0
某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和
某行的k倍加至另一行，行列式值不变
A+B=(aij+bij)（矩阵）；|A+B|≠|A|+|B|（行列式中没有此运算法则）
展开式
得为某一行的元素
某元素的代数余子式的值跟元素的值无关
行列式某行（或列）零元素很多时，行列式一般按行（或列）展开计算
方阵的行列式（A是n阶矩阵）
|A T|=|A|
|A^n|=|A|^n
|kA|=k^n |A|
|AB|=|A||B|（B也是n阶）
|A*|=|A|^ n-1
|A^ -1|=|A|^ -1
|A|=A的特征值乘积
特征值的和为矩阵的迹
A和B相似，|A|=|B|
克拉默法则
当系数行列式不为零，齐次线性方程组有唯一的零解，非齐次有唯一解
当系数行列式为零时，方程组可能无解，可能有无穷多个解
一般用于证明
题型
计算
数字型（具体数字）
某行（列）零元素较多，则按行（列）展开
除对角线外各行元素对应相同
三角化法（根据对角线元素与同行元素的关系，选择技巧）
第一行全不为零，其余行均只有两个不为0
各列乘k均加至第一列，使第一列只有一个不为0
按第一列展开
列的方法类似
爪型行列式
三角化法
利用主（副）对角线元素，将某边化为0，变成上（下）三角型
各行（列）乘k均加至第一行（列）
三对角线行列式
阶数5阶及以下
逐行相加
转化为上（下）三角行列式
阶数高
数学归纳法
计算当前行列式，得出递推式，选择方法
命题类似fn=2fn-1 -3（只与一个有关）
第一数学归纳法
验证n=1时，命题fn正确
假设n=k时，命题fn正确
证明n=k+1时，命题fn正确
命题类似fn=5fn-1+6fn-2（与两个以上有关）
第二数学归纳法
验证n=1和n=2时命题fn正确
假设n<k时，命题正确
证明n=k时，命题fn正确
公式法（特征明显的特殊行列式）
三角化法
第一行（或列）乘以k倍依次加至其余行（或列）
各行（列）乘以k倍加至第一行（列）
逐行相加
之后可能提取公因子
n阶行列式
抽象型
题目没给出“矩阵”
用行列式性质
题目指明为矩阵
用矩阵性质、行列式性质
E恒等变形
AA^-1=E
AA*=|A|E
A=AE=EA
最终都是转换为矩阵相乘
|A+B|没有运算法则
A，B为矩阵时，只能借助E恒等变形
A，B为向量时，借助行列式性质
一般只有最后一列所含元素不同
其他列提取公因子
根据最后一列，拆成两个行列式相加
题目给出特征值或只有A和E矩阵
|λE-A|=0⇒λ为特征值
题目中有相似或线性无关
利用P^-1 AP=B计算
特征多项式（含λ的行列式）
一般主对角线会两个相同的元素
先把相同元素的一行加至另一行，此时另一行会出现两个相同的元素和一个0
再将含相同元素的一列的-1倍加至另一列
出现只有一个非零元的一行，按行展开即可
证|A|=0
Ax=0有非零解
反证法
r(A)<0
0是A的特征值
|A|=-|A|
应用
Ax=0有非零解
伴随矩阵求逆法
线性相关（无关）判定
可逆的证明
克拉默法则
特征值计算
二次型正定判定
矩阵
概念
m*n个数排成的m行n列的表格
几个特殊矩阵
单位矩阵
数量矩阵
对角矩阵
三角矩阵
对称矩阵：A^T=A
反对称矩阵:A^T=-A
正交矩阵
AA^T=A^T A=E⇔A^-1=A^T
几何意义
各行（列）是单位向量且两两正交（用来判断）
伴随矩阵
非奇异矩阵:|A|≠0
矩阵的三则运算及性质
A(BC)=(AB)C
A(B+C)=AB+AC
(kA)(lB)=klAB
矩阵转置的性质
(A^T)^T=A
(kA)^T=kA^T
(A±B)^T=A^T±B^T
(AB)^T=B^T A^T
(A^-1)^T=(A^T)^-1
(A^T)^m=(A^m)^T
矩阵可逆的性质
(A^-1)^-1=A
(kA^-1)=1/k A^-1
(AB)^-1=B^-1 A^-1
(A^T)^-1=(A^-1)^T
(A^n)^-1=(A^-1)^n
伴随矩阵的性质
AA*=A*A=E|A|
A*=|A|A^-1
|A*|=|A|^n-1
(A*)^-1=(A^-1)*=1/|A| A
(A*)^T=(A^T)*
(kA)*=k^n-1 A*
(A*)*=|A|^n-2 A
矩阵的秩
即非零子式的最高阶数
r(A)=1
λ1=Σaij（迹）,λ2=...=λn=0
A^2=LA,L=Σaij
A^n=L^ n-1 A
r(A)=r(A^T)=r(A^T A)=r(AA^T)
题目出现A^T A或AA^T
当k≠0时，r(kA)=r(A)
r(A±B)≦r(A)+r(B)
A,B是同型矩阵
题目出现A+B，A-B或r(A)+r(B))
r(AB)≦min{r(A),r(B)}
A为m*n矩阵、B为n*s矩阵
题目出现r(A),r(B),r(AB)
r(A*)=
题目出现A*或Aij
n,r(A)=n
1,r(A)=n-1
0,r(A)<n-1
伴随矩阵不为0，则r(A)≧n-1
题目出现AB=O
r(A)+r(B)≦n
A为m*n矩阵、B为n*s矩阵，且AB=O
B的列向量是Ax=0的解
若A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
矩阵不相等不代表行列式的值不相等
题型
求A*
2阶
主对角线互换，副对角线变号
3阶
求各代数余子式，不要排错位置
4阶及以上
A*=|A|A^-1
矩阵的幂矩阵A^n
首先判断r(A)=1
等于
l=A的迹
A^n=l^ n-1 A
不等于
题目可以推出相似
A^n=P B^n P^-1，B为对角矩阵
不可以推出
拆分矩阵，使之变为如下+对角矩阵
该型有，注意位置对应
再结合和的n次方公式
求逆矩阵
2阶
主对角线互换，副对角线变号
3阶及以上：初等行变换
抽象：定义，AA^-1=E
分块
初等矩阵
Ei,j:i行与j行互调
Ei,j^-1=Ei,j
Ei,j^2=Ei,j
Ei(c):i行乘以c
Ei(c)^-1=Ei(1/c)
Eij(k):A的第j行的k倍加到第i行
Eij(k)^-1=Eij(-k)
正交矩阵
矩阵方程AX=B
A可逆，则X=A^-1 B
A不可逆，则变为非齐次方程求基础解系
n维向量
概念
n个数组成的有序数组
运算
加法
α+β=β+α
α+(β+γ)=(α+β)+γ
数乘
k(α+β)=kα+kβ
(k+l)α=kα+lα
内积
(α,β)=a1b1+a2b2+...+anbn
(α,β)=(β,α)=α^T β=β^T α
(α,α)=|α|^2
(α,k1β1+k2β2+...+knβn)=k1(α,β1)+k2(α,β2)+...+kn(α,βn)
线性表示
定义
k1α1+k2α2+...+ksαs=β
β可由α1,α2,...,αs线性表示
定理
对应非齐次方程组有解
系数矩阵的秩=对应扩展矩阵的秩，即r(A)=r(A|B)≧r(B)
等价
定义
两个向量组可以互相线性表出
秩少的可以由秩多的线性表出
等价的两个向量组秩相等
秩相等，向量组不一定等价
线性相关
定义
k1,k2,...,kn不全为0
k1α1+k2α2+...+knαn=0
定理
向量组的部分向量组线性相关，向量组一定线性相关
n个m维向量，若m<n，则一定线性相关
未知量数大于方程数（秩）
若有一个向量可用其余s-1个向量线性表出，则这s个向量必线性相关
如果几个向量线性无关，加一个向量线性相关，则加的向量可由几个线性无关的向量线性表出
多数向量可由少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关
向量组A线性无关，可由B线性表出，则A的个数≦B的个数
向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)≦r(B)
3维向量线性相关的几何意义
α1,α2线性相关⇔α1,α2坐标成比例
α1,α2,α3线性相关⇔α1,α2,α3共面
未知数越多，秩（行数）越少，越线性相关
线性相关等价于
对应齐次方程组有非零解
系数矩阵秩<n
对应行列式为0
线性无关
定义
定理
向量组线性无关，则其任何部分向量组都线性无关
向量组向量个数越少，维数越高，越线性无关
线性无关等价于
对应齐次方程组有唯一的零解
系数矩阵秩=n
对应行列式不为0
极大线性无关组
r个向量αi1,αi2,...,αir线性无关
再加一个向量aj就线性相关
向量组的秩
定义
极大线性无关组所含向量的个数（有用向量）
向量空间
定义
全体n维向量连同向量的加法和数乘运算
施密特正交化
规范正交基
定理
A=(α1,α2,...,αn),B=(β1,β2,...,βn)
A到B，B到A的过渡矩阵互为逆矩阵
向量空间的维数即秩，解空间的维数即n-秩
题型
线性无关的判定
定义法
设k1α1+k2α2+...+ksαs=0
根据题目选择方法
证明几个变量之和线性无关
重组，使得变量为已知线性无关的变量
再由系数矩阵行列式不为零，得只有零解，即k=0
含乘积
利用题目已知的某式不等于零，某式等于零
注意隐含信息，不同即差值不等于零
同乘某式不等于零的系数，使得最后为k乘以不等于零的式子
得k=0，依此类推
用秩（线性无关的等价）
涉及三个矩阵时
线性表出
已知向量坐标
转换为非齐次线性方程组是否有解(Ax=b)
没有给出坐标
用线性相关及秩的定理
秩相等时，向量组不一定等价
求极大线性无关组
转换为齐次线性方程求解
向量空间：相关问题都是通过增广矩阵初等行变换求可逆矩阵求解
线性方程组
概念
定义
增广矩阵
系数矩阵
同解方程组
基础解系
基础解系之间线性无关
⇒均为非零向量⇒通解由非零向量组成
基础解系的维数为n-r(A)
非齐次解空间的维数为n-r(A)+1
即向量个数减秩
非齐次线性方程组无解
r(A)+1=r(A|B)
b不能由A的列向量线性表出
矩阵形式
向量形式
解的结构与性质
可以把非齐次解理解为常数，齐次解为0
齐次特解的相加减仍为齐次特解
非齐次特解相减是齐次解
非齐次特解减齐次通解仍为非齐次特解
非齐次特解相加不再是该非齐次方程特解
定理
初等变换，解不变
题型
基础解系
作初等行变换，化为行最简或形似行最简的阶梯形
1,0法则
自由变量分别取1
非自由变量系数为对应取1的自由变量的系数取反
系数从上而下，数目等于非自由变量数
解方程组Ax=b
对增广矩阵作初等行变换，化为行最简或形似行最简的阶梯形
求对应齐次的基础解系
特解：行最简的增广一列
通解=基础解系（线性无关）+特解≠齐次通解+特解
有解判定
无解
r(A)+1=r(A|B)
有解
有唯一解
r(A)=r(A|B)=n(n为齐次的向量个数)
无穷多解
r(A)=r(A|B)<n
求公共解
两个方程组
联立两个方程组，得新方程组
新方程组的解即公共解
一个方程组，一个基础解系
求矩阵
一般换边的矩阵为不可逆，不能求逆；或者求所有矩阵
设出X矩阵
结合矩阵乘法及等式两边相等，得X矩阵各元素值
向量加法可转换为向量右乘系数矩阵，从而得基础解系、特解等
特征值与特征向量
概念
定义
特征值
特征向量
Aα=λα,可用于判断是否为特征向量及相应的参数求解
特征多项式
特征方程
注意特征方程组(λE-A)x=0的基础解系与齐次方程组Ax=0的基础解系不同
特征方程组的特征向量为对应基础解系的线性组合
齐次方程组的解向量为对应基础解系的线性组合
相似、对角化
求法
性质
相似
定义
必要条件
秩相等
行列式相等
特征值相等
迹相等
可对角化
特征值公式
实对称矩阵
必与对角矩阵相似
可用正交矩阵对角化
不同特征值的特征向量相互正交（反求A且缺少特征向量时）
设缺少的特征向量(z1,z2,z3)，由相互正交得方程组
由0,1法则得特征向量
特征值必是实数
k重特征值必有k个线性无关的特征向量
题型
求特征值、特征向量
给出A矩阵
解特征多项式|λE-A|，得特征值
代入特征值，解(λE-A)x=0
化为行最简，得对应特征向量
Aα=λα
给出Aαi=α1+...+αn
将加法变为向量右乘系数矩阵，A～系数矩阵
求系数矩阵特征值，即A的特征值
A的特征向量即向量右乘系数矩阵特征向量
若已知A^2=kA,则A的特征值只能为k或0
A的各行元素之和为k，则A的其中一个特征值为k
已知伴随矩阵特征值
A*α=λ’α同左乘A
得|A|α=λ’Aα
判断相似、可对角化
首先判断是否是实对称矩阵，若是，则另一矩阵则判断是否可对角化
满足任一条件则不相似（判断顺序从上而下）
秩不相等
迹不相等
特征值不相等
行列式不相等
解空间维数不相等
可对角化（判断顺序从上而下）
为实对称矩阵
A有n个不同的特征值
r(λiE-A)=n-ni,λi为ni重特征值
求A^n
求A的特征值、特征向量
得P（特征向量矩阵）和Λ（特征值矩阵）,有 P^-1 A^n P=Λ
求A
根据条件得出全部特征值及特征值向量
由Aαi=λαi⇒A=λαi αi^-1
求实对称矩阵对角化的可逆矩阵
求矩阵A的特征值、特征向量
若特征值有重根，且重根的特征向量之间不正交，则需施密特正交化
特征向量单位化，构造P矩阵
二次型
概念
矩阵表示
二次型平方项系数对应矩阵主对角线元素
其余项系数/2对应下标对应元素及对称位置元素
二次型转换的矩阵一定是对称矩阵
若由二次型直接转的矩阵B不是对称矩阵，则转换为对称矩阵A有，aii=bii,aij=1/2(bij+bji)
标准形
正、负惯性指数
根据这个写规范型，前p个系数为1，前q个系数为-1
合同
化标准形
正定
定义
充要条件
必要条件
题型
二次型化标准形
若二次型为平方和形式且对应方程组行列式不为0，则可直接化为标准形
配方法
按x1^2及含有x1的混合项，配成完全平方
再依次x2...x3
特征值法
先将二次型转换为对称矩阵A
求A的特征值、特征向量
注意是否需要正交化，一定单位化，得正交矩阵P
x^T Ax=y^T Λy
反求A时，Q^T A Q=B⇒A=Q B Q^T
判断正定（从上而下）
aii>0
顺序主子式全大于0
证明正定
首先证明A对称
特征值法（只有A、E）
根据特征值公式，由已知矩阵A的特征值，得待定矩阵的特征值
若全大于0，则正定
定义法（已知A，证B）
构造二次型x^T Bx
得x^T x及类似式子
x^T A x>0,x^T x>0
类似式子，如(Ax)^T (Ax)≧0
即二次型x^T Bx正定，B为正定矩阵
判断等价、相似、合同
秩相等⇔等价
合同⇔两个二次型有相同的正、负惯性指数