最优收费亭

收费亭属于岗亭的一种，一般采用不锈钢或石砖等材料制作而成，收费亭常见于高速公路进出口，小区、学校、工业园等园区的门口，收费亭：顾名思义是用来收费的，收费亭的利用，使得收费点能合理的管理车辆的进出，同时对公路收费亭内收费员能起到很好的保护作用。本思维导图维2005年美国大学生数学建模比赛特等奖论文整理，利用多种方法对车流量进行预判，找到最合适的收费亭数量，希望对你有帮助！

收费亭的最优数量

• 题目与分析
  • 赛题
  • 赛题分析
    • 一般情况下, 收费亭数量要多于进入广场的车道数量
    • 在车流量比较大时, 堵塞不仅会发生在收费亭后的瓶颈, 也会由于等待收费而发生成收费亭前
    • 要额外的考虑一条车道仅对应一个收费亭的情况, 并说明这种情况在何时效率高于现行的方式
• the booth tolls for thee
  • 准备
    • 一个成功模型的性质
      • 通过减少顾客的等待时间，最大化收费站的效率
      • 为收费站广场运营者提供一个合理的可行策略
      • 要有足够的鲁棒性，能够有效的应对不同服务能力的需求
      • 随着进入收费广场的高速公路车道数的增加，最优的收费亭数量不应减少
    • 假设和目标
      • 全局假设
        • 所有的车辆性质相同，收费站对其的服务也都是相同的
        • 进入收费广场的车流量与车道数相关，与收费亭的数量无关
        • 同一天中，运行的收费亭数量不变
      • 优化目标
        • • W为车辆的平均等待时间；α为平均时间价值
          • N是一天中通过广场的车辆数；γ是车辆平均载员数
          • B为收费亭的数量;Q为单个收费亭一天的操作成本
    • 车流量数据逼近
      • 收费站车辆入流量的傅里叶级数近似
  • 模型
    • 模型1 — 不考虑瓶颈的车辆追踪
      • 假设
        • 收费亭对车辆的服务速度服从指数分布.
        • 交通流量来自每一条车道, 各车道上的交通流量相同.
        • 本模型不考虑瓶颈: 当收费亭数多于车道数时存在瓶颈效应
        • 若增加一个收费亭不能将时间降低一个阈值, 则无需增加
        • 若收费亭都被占用, 新来的车将选择最早结束服务的收费亭
        • 所有车辆 (行为和决定) 目标: 减少等待时间.
      • 模型的期望
        • 增加收费亭不应该增加车辆在收费亭前排队等待的时间
        • 每一个额外增加的收费亭所节省的待等时间递减
      • 模型的建立
        • 服务时刻
        • 离开时刻
        • 等待时间
      • 模型求解
        • 6 车道公路的最佳收费亭数量确定
        • 6 车道 10 收费亭每辆车的等待时间
      • 结果与分析
        • 满足期望
          • 高速公路车道数不会超过收费亭的数量
          • 增加收费亭不增加车辆排队等待的时间
          • 每一个增加的收费亭所节省时间递减
        • 贡献&缺点
          • 贡献: 给出了收费亭数量的上限
          • 缺点: 没有考虑瓶颈效应
    • 模型2 — 成本最小化的宏观模型
      • 方法
        • 整体效果: 不关注个体运动细节, 只在意所有车辆整体效果
        • 瓶颈效应: 忽略并道细节; 车流量超过阈值时, 产生瓶颈
      • 变量定义
        • 平均等待时间 W = 队列中的时间 W1 + 服务时间 W2 + 瓶颈时间 W3
        • Fi: 一条车道每分钟进入广场的车辆数. 则总入流量为 LFi.
        • Fo: 每分钟从收费亭出来的车辆数
        • Fo: 每分钟从收费亭出来的车辆数
        • 出流障碍 K [车/分钟]: 当出流量超过它时发生瓶颈效应
      • 模型的建立
        • 每辆车的平均等待时间
        • 每辆车的平均服务时间
        • 出口的瓶颈引起的时间
      • 模型求解
        • 6 车道 Fo(τ,B) 曲面拟合
        • 模型求解: 6 车道 W1, W3 与 B 的拟合
        • 最佳收费亭数量的确定
          • 四次多项式拟合: W1-B; W3-B.
          • 令 dW/dB = 0(三次多项式函数) 可求得最佳 B
      • 结果与分析
        • 满足期望
          • 收费亭数量B随L单调递增
          • 结果在模型1给出的上界之下
          • 每车道一个收费亭的设置从来都不是最佳
        • 优点&缺点
          • 考虑瓶颈，能给出问题的公式描述
          • 缺乏鲁棒性，掩盖了交通行为细节
    • 模型3 — 元胞自动机
      • 假设
        • 收费广场中有三种元胞：
          • 车辆元胞
          • 空置元胞
          • 禁止元胞
        • 元胞代表一个可容纳标准车辆的物理空间以及车辆前后缓冲区域
        • 所有的车都具有相同的尺寸
      • 模型建立
        • 入流量的离散标准化
        • 收费站平面图数组化
        • 动力学规则
          • 前进规则
            • 若 t 时刻 i 位置状态是车, 且 i + 1 位置为空，v则 t + 1 时刻 i 位置变为空, i + 1 位置变为车
          • 换道规则
            • 若 t 时刻 i 位置和 i + 1 位置状态都为车, 则 t + 1 时刻 i 位置的车尝试换道, 左右机率相等
        • 花费总时间的计算
          • Wi = Wi-1 + 1(plaza(x, y) > 0)
      • 结果与分析
      • 元胞自动机交通模型的讨论
        • 元胞类型: 模型可通过增加元胞类型来得到改进, 但新的特征可能不会改变系统的基本行为
        • 元胞尺寸: 无法明确评估这种假设是否在某些重要方面限制了模型
        • 车辆类型: 作为扩展, 没有探讨使用多个元胞表示较大车辆
  • 几种模型结果的比较
• 程序实现
  • 拟合
    • 多元线性回归
    • 傅里叶级数近似 (拟合)
  • 模型一: 并联服务台排队论模拟
  • 模型三：
    • 模型三: 收费站平面图的矩阵化
    • 模型三: 前进规则
    • 模型三: 换道规则