多元函数积分学

多元函数积分学知识总结，包括三重积分、第一型积分、第二型积分【有向函数有向积分】等内容，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。

多元函数积分学

• 1.
  • 1. 预备
    • 1.1. 曲线
      • 1.1.1. 空间曲线的切线与法平面
        • 1.1.1.1. 参数方程曲线
          • 1.1.1.1.1. 切向量
          • 1.1.1.1.2. 切线方程
          • 1.1.1.1.3. 法平面方程
          • 从向量关系的角度来把握；平行、垂直
        • 1.1.1.2. 方程组曲线
          • 1.1.1.2. 曲面交线
          • 1.1.1.2.1. 切向量
            • 1.1.1.2.1.1. 该处的切向量与该处两个曲面的法向量都正交，从这个角度理解切向量的表达式。
          • 1.1.1.2.2. 切线方程
          • 1.1.1.2.3. 法平面方程
          • 从向量关系的角度来把握；平行、垂直
      • 1.1.2. 空间曲线在坐标面上的投影
        • 1.1.2.1. 注意表达式（消去Z，建立XOY平面内XY的函数关系，最后的表达式不要忘了加上Z=0）
    • 1.2. 曲面
      • 1.2.1. 空间曲面切平面与法线
        • 1.2.1.1. 隐式方程给出曲面
          • 1.2.1.1.1. 法向量
            • 1.2.1.1.1.1. 从向量正交的角度去理解表达式
          • 1.2.1.1.2. 法线
          • 1.2.1.1.3. 切平面
          • 从向量关系的角度来把握；平行、垂直
        • 1.2.1.2. 显示函数给出曲面
          • 1.2.1.2.1. 法向量
            • 1.2.1.2.1.1. 从向量正交的角度去理解表达式
          • 1.2.1.2.2. 法线
          • 1.2.1.2.3. 切平面
          • 从向量关系的角度来把握；平行、垂直
        • 1.2.1.3. 参数方程给出曲面
          • 1.2.1.3.1. 法向量
            • 1.2.1.3.1.1. 该处的法向量与经过该点的两条曲线（位于曲面内）的切向量正交，从这个角度理解法向量表达式
          • 1.2.1.3.2. 法线
          • 1.2.1.3.3. 切平面
          • 从向量关系的角度来把握；平行、垂直
      • 1.2.2. 旋转曲面（绕定直线）
        • 1.2.2.1. 表达式求法
          • 1.2.2.1.1. 一个垂直关系
          • 1.2.2.1.2. 一个距离相等
    • 1.3. 向量
      • 1.3.1. 数量积（内积、点积）
      • 1.3.2. 向量积（外积、叉积）
        • 1.3.2.1. 计算公式（矩阵表示）
      • 1.3.3. 混合积
        • 1.3.3.1. 了解怎么用矩阵表示，意义
      • 1.3.4. 向量方向角和方向余弦
    • 1.4. 平面
      • 1.4.1. 一般式
      • 1.4.2. 点法式
      • 1.4.3. 三点式
      • 1.4.4. 截距式
      • 1.4.5. 平面束方程（过定直线的平面族）
    • 1.5. 直线
      • 1.5.1. 一般式
        • 1.5.1.1. 了解方向向量的思路
      • 1.5.2. 点向式
      • 1.5.3. 参数式
      • 1.5.4. 两点式
    • 位置关系
      • 点的平面的距离
        • 点向量在法向量上的投影
      • 直线与直线
        • 平行
        • 垂直
        • 夹角（0－PI/2）
        • 两个方向向量关系
      • 平面与平面
        • 平行
        • 垂直
        • 夹角（0－PI/2）
        • 两个法向量关系
      • 平面与直线
        • 平行
        • 垂直
        • 夹角（0－PI/2）
        • 方向向量、法向量关系
    • 1.6. 场论初步
      • 1.6.1. 方导
        • 1.6.1.1. 正常导数在某方向的投影
        • 1.6.1.2. 偏导不存在时，方导也能存在
      • 1.6.2. 梯度
        • 1.6.2.1. 各个方向的变化速率向量
      • 关系：梯度在方向上的投影就是方向导数；方导最大值就是梯度的模
      • 1.6.3. 散度
        • 1.6.3.1. 各自对各自变量的偏导和
      • 1.6.4. 旋度
        • 1.6.4.1. 表达式（矩阵）
  • 2. 积分
    • 2.1. 三重积分
      • 2.1.1. 概念
        • 2.1.1.1. 概念
        • 2.1.1.2. 对称性
          • 2.1.1.2.1. 普通
            • 2.1.1.2.1.1. 关于面对称
          • 2.1.1.2.2. 轮换
            • 2.1.1.2.2.1. 积分变量地位相等
      • 2.1.2. 计算
        • 2.1.2.1. 直角坐标
          • 2.1.2.1.1. 先一后二法（上下曲面+侧柱面）
          • 2.1.2.1.2. 先二后一法（旋转曲面，截面可知）
        • 2.1.2.2. 柱面坐标
          • 2.1.2.2.1. 转化为柱坐标表示后，用先一后二法
          • 2.1.2.2.2. 比较适用于有圆截面且积分函数有平方和的
          • 2.1.2.2.3. 变换后的形式不要漏东西
        • 2.1.2.3. 球面坐标
          • 2.1.2.3.1. 变换后的形式不要漏东西
          • 2.1.2.3.2. 适用于积分函数带有平方和
          • 2.1.2.3.3. 球面坐标系下的积分范围
      • 2.1.3. 应用
        • 2.1.3.1. 体积、质心、重心、惯量、引力
    • 2.2. 第一型积分
      • 2.2.1. 曲线
        • 平面曲线
        • 2.2.1.1. 对称性
          • 2.2.1.1.1. 普通
          • 2.2.1.1.2. 轮换
        • 2.2.1.2. 计算
          • 2.2.1.2.1. 直角坐标
          • 2.2.1.2.2. 参数方程
          • 2.2.1.2.3. 极坐标
          • 一投二代三计算
            • 1. 注意 ds 的表达（反投影）
            • 2. 注意各自的积分范围
        • 2.2.1.3. 应用
          • 2.2.1.3.1. 弧长、质量、质心、惯量
      • 2.2.2. 曲面
        • 2.2.2.1. 对称性
          • 2.2.2.1.1. 普通
          • 2.2.2.1.2. 轮换
        • 2.2.2.2. 计算
          • 2.2.2.2.1. 一投二代三计算（化为二重积分）
          • 2.2.2.2.2. 注意 ds 的表达 （反投影）
        • 2.2.2.3. 应用
          • 2.2.2.3.1. 面积、质量、质心、惯量
    • 2.3. 第二型积分【有向函数有向积分】
      • 2.3.1. 曲线
        • 2.3.1.1. 意义：一种功
        • 2.3.1.2. 计算
          • 2.3.1.2.1. 基本方法：一投二代三计算（化为定积分）
            • 2.3.1.2.1.1. 参数化，注意起点、终点的对应
          • 2.3.1.2.2. 格林公式（线到面）
            • 2.3.1.2.2.1. 条件
              • 2.3.1.2.2.1.1. 有界闭区域D由分段光滑L围成
              • 2.3.1.2.2.1.2. P Q 在D上具有一阶连续偏导
              • 2.3.1.2.2.1.3. L 取正向
            • 2.3.1.2.2.2. 形式
              • 2.3.1.2.2.2.1. Pdx+Qdy = （Qx－Py）dxdy
            • 2.3.1.2.2.3. 种类
              • 2.3.1.2.2.3.1. 封闭曲线
                • 2.3.1.2.2.3.1.1. 内部无奇点
                  • 2.3.1.2.2.3.1.1.1. 直接用格林公式
                • 2.3.1.2.2.3.1.2. 内部有奇点
                  • 2.3.1.2.2.3.1.2.1. 若奇点外满足：Qx=Py，则换同向路径（一般令分母等于常数），起终点不需与原路径重合
              • 2.3.1.2.2.3.2. 非封闭线
                • 2.3.1.2.2.3.2.1. 若 Qx=Py（无旋） ，则换简单路径，起终点与原路径重合且对应。
                • 2.3.1.2.2.3.2.2. 增减简单曲线
              • 2.3.1.2.2.3.3. 路径无关
                • 2.3.1.2.2.3.3.1. 关键：D内 Qx=Py 处处成立【注意等价说法】
                • 2.3.1.2.2.3.3.2. 原函数求法（折线）
          • 2.3.1.2.3. 两类曲线积分关系
            • 2.3.1.2.3.1. 投影（cos a , sin a）ds = （dx , dy）
          • 2.3.1.2.4. 空间问题
            • 2.3.1.2.4.1. 一投二代三计算（参数方程，化为单变量定积分）
            • 2.3.1.2.4.2. Stokes 公式（ 2线到2面到1面）
              • 2.3.1.2.4.2.1. 条件
                • 2.3.1.2.4.2.1.1. 曲线封闭于同一平面
                • 2.3.1.2.4.2.1.2. 是分片光滑有向曲面的逐段光滑边界
                • 2.3.1.2.4.2.1.3. 偏导连续
              • 2.3.1.2.4.2.2. 形式（行列式）
            • 2.3.1.2.4.3. 无旋场，可以换路径
      • 2.3.2. 曲面
        • 2.3.2.1. 意义：一种通量（流量）
        • 2.3.2.2. 计算
          • 2.3.2.2.1. 基本方法：一投二代三计算（化为二重积分）
            • 2.3.2.2.1.1. 三个积分分别计算
            • 2.3.2.2.1.2. 注意投影不重叠原则
            • 2.3.2.2.1.3. 投影之后要加相应的正负号
          • 2.3.2.2.2. 转换投影法
            • 2.3.2.2.2.1. 投影到XOY
            • 2.3.2.2.2.2. 投影到YOZ
            • 2.3.2.2.2.3. 投影到ZOX
            • 注意表达式
          • 2.3.2.2.3. 高斯公式（2面到体）
            • 2.3.2.2.3.1. 条件
              • 2.3.2.2.3.1.1. 有界闭区域Ω由分片光滑Σ围成
              • 2.3.2.2.3.1.2. P Q R 具有一阶连续偏导
              • 2.3.2.2.3.1.3. Σ 取外侧
            • 2.3.2.2.3.2. 形式
              • 2.3.2.2.3.2.1. Pdydz + Qdzdx +Rdxdy = ( Px + Qy + Qz )dv
            • 2.3.2.2.3.3. 种类
              • 2.3.2.2.3.3.1. 封闭曲面
                • 2.3.2.2.3.3.1.1. 内部无奇点
                  • 2.3.2.2.3.3.1.1.1. 直接用高斯公式
                • 2.3.2.2.3.3.1.2. 内部有奇点
                  • 2.3.2.2.3.3.1.2.1. 若奇点外满足：Div F =0 ,则换同向曲面积分（令分母为常数），边界不需与原曲面重合
              • 2.3.2.2.3.3.2. 非封闭面
                • 2.3.2.2.3.3.2.1. 若 Div F =0，这可以换简单面积分，边界与原曲面重合（内外向相反，保证积分函数流向相同）
                • 2.3.2.2.3.3.2.2. 增减简单曲面
              • 2.3.2.2.3.3.3. 由 Div F =0 ，建立方程求 f(x)
          • 2.3.2.2.4. 两类曲面积分的关系
            • 2.3.2.2.4.1. 投影（cos α，cos β，cos γ）ds=（dydz，dzdx，dxdy）
• 是在面上满足还是在体上满足？