统计学第四章数据的概括性度量

统计学第四章数据的概括性度量期末考试，集中趋势的度量：分类数据：众数Mo、顺序数据：中位数和分位数、数值型数据：平均数。

数据的概括性度量

• 集中趋势的度量
  • 分类数据：众数Mo
    • 也可适用于顺序数据、数值型数据
  • 顺序数据：中位数和分位数
    • 也适用数值型数据，不适用于分类数据
    • 中位数Me位置=
    • 四分位数
      • 下四分位数QL位置=
      • 上四分位数Qu位置=
  • 数值型数据：平均数
    • 简单平均数(未经分组)
    • 样本加权平均数（根据分组数据算）
    • 几何平均数：n个变量值乘积的n此方根
      • 当变量值为比率形式，如平均增长率
  • 众数，中位数、平均数比较
    • 关系
      • 对称分布
      • 左偏分布
      • 右偏分布
    • 应用场合
      • 众数：一组数据分布的峰值，不受极端值影响
        • 缺点：【不唯一性，1个/2个/】【数据少，不宜众】
      • 中位数：一组数据中间位置的代表值，不受极端值影响
        • 适用一组数据的偏斜程度大时
      • 平均数：易受极端值影响，对于偏态数据代表性差
• 离散程度的度量
  • 分类数据：异众比率Vr
    • • 非众数组的频数占总频数的比例
      • 异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差
  • 顺序数据：四分位差（内距/四分间距）
    • 反映中间50%数据的离散程度
    • • 上四分位数-下四分位数
    • 数值越小，中间数据越集中；越大，越分散
    • 不受极值影响
    • 也可用于数值型数据；不适合分类数据
  • 数值型数据：方差、标准差
    • 极差（全距）
      • 易受极端值影响
      • 不能反映中间数据的分散情况，因而不能准确描述出数据的分散程度
    • 平均差（平均绝对离差）
      • 各变量值与其平均数离差绝对值的平均数
      • 未分组
      • 分组
      • 以平均数为中心，反映每个数据与平均数的差异程度
      • 全面反映一组数据的离散状况
      • 平均差越大，数据离散程度越大
    • 方差
      • 各变量值与其平均数离差平方的平均数
      • 标准差
        • 未分组
        • 分组
    • 相对位置的度量
      • 标准分数（统计标准化公式）
        • 不同量纲的变量进行处理
        • e.g.
          • 若某个已知的标准分数为-1.5，则该数值低于平均数1.5倍的标准差。
      • 经验法则
        • 数据为对称分布
        • 约68%的数据在平均数±1个标准差的范围之内
        • 约95%的数据在平均数±2个标准差的范围之内
        • 约99%的数据在平均数±3个标准差的范围之内
      • 切比雪夫不等式
        • 数据不为对称分布
        • 至少有75%的数据在平均数±2个标准差的范围之内
        • 至少有89%的数据在平均数±3个标准差的范围之内
        • 至少有94%的数据在平均数±4个标准差的范围之内
  • 相对离散程度：离散系数（变异系数）
    • 主要用于比较不同样本数据的离散程度
    • 平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值，是不能用标准差直接比较其离散程度的
    • 可消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响
    • • 一组数据的标准差与其相应平均数之比
    • 离散系数越大，数据离散程度越大
• 偏态与峰态的度量
  • 偏态系数（SK）
    • 未分组
    • 分组
    • 对数据分布对称的测度——偏态系数=0；越接近0，偏斜程度越低
    • 偏态系数>1或<-1,——高度偏态分布
    • 偏态系数0.5~1或-1~-0.5之间——中等偏态分布
    • SK正，正偏/右偏
    • SK负，负偏/左偏
  • 峰态系数（K）
    • 未分组
    • 分组
    • 对数据分布平峰或尖峰程度的测度
    • 数据服从正态分布——K=0
    • K>0，尖峰，数据分布更集中
    • K<0，扁平分布，数据分布越分散
• 集中趋势：指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组中心点的位置所在。