第3章 一元函数微分学知识体系

考研数学，高等数学的第三章一元函数微分学的知识体系，适用于数三考生。part1. 中值定理：定理1：罗尔定理；定理2：拉格朗日定理；定理3：柯西中值定理。

第三章 一元函数微分学

• part1. 中值定理
  • 定理1：罗尔定理
    • 条件
      • 可忽略
        • 在闭区间连续
        • 在开区间可导
      • 重要条件：f(a)=f(b)
    • 结论
      • 则
    • 证明过程
      • 1. 连续->存在m,M
      • 2. 讨论m,M
        • 1)当m=M, 常函数，区间内存在一点导数为0
        • 2)当m<M, 两边相等，在开区间内一定存在m或M，则该点导数为0
    • 存在问题
      • 条件3太苛刻
  • 定理2：拉格朗日定理
    • 条件
      • 可忽略
        • 在闭，连续
        • 在开，可导
    • 结论
    • 证明过程
      • 1. 构造
        • 则
      • 2. 用罗尔证明
    • 存在问题
      • 只涉及一个函数
  • 定理3：柯西中值定理
    • 条件
      • 可忽略
        • f(x),g(x)在闭区间连续
        • 在开区间可导
      • 重要：
    • 结论
      • 则
    • 证明过程
      • 1. 构造
        • 则
        • 仿造拉格朗日，将x->g(x)
      • 2. 用罗尔定理
  • 定理4：泰勒公式/泰勒中值定理
    • 目的：提升精确度
    • 定理：
    • 余项写法
      • 皮亚诺余项：o(...)
      • 拉格朗日余项：
    • 特殊形式：麦克劳林公式，x=0时
• part2. 极值
  • 判断是否是极值点的思路
    • 1.
    • 2. 找到怀疑对象
    • 3. 判别法
      • 定理1（使用f'）第一充分条件
      • 定理2（使用f''）第二充分条件
        • >0, 极小值点
        • <0, 极大值点
• part3. 几个小问题
  • 一. 判别凹凸性
    • 【定理】
      • f(x)内二阶可导
        • f''>0, 凹
        • f''<0, 凸
    • 1. D
    • 2. 找到怀疑对象
    • 3. 把D分成若干区间，分区间讨论f''
  • 二. 渐近线
    • 分类
      • 水平
        • if
          • y=A
      • 铅直
        • 先存在间断点
        • if
          • x=a
      • 斜
        • if
          • y=ax+b
    • 一个方向上，水平、斜互斥
  • 三. 弧微分
    • 情况一：y=f(x)
    • 情况二：参数方程