三角形、平行 四边形、梯形（苏教版四下第七单元）

小学生数学学习思维导图，三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形，有3条边、3个顶点、3个角。

三角形、平行 四边形、梯形（苏教版四下第七单元）

• 认识三角形
  • 定义
    • 三角形：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形，有3条边、3个顶点、3个角。
  • 顶点
    • 特点：三个顶点不可能在同一条直线上。
  • 特征
    • 具有稳定性。
  • 底和高
    • 定义：从三角形的一个顶点到到对边的垂直线段是三角形的高，这条边数是三角形的底。
    • 数量：三角形有3条高，三条底边，存在着一一对应的关系，但长短没有必然的联系。
    • 位置：锐角三角形的高都在内部，直角三角形的高一条在内部，其它两条是直角边，钝角三角形有一条高在内部，二条在外部。
    • 交点：三条高都交于一点，有的交于内部，有的交于直角的顶点，有的相交于外部。
  • 应用
    • 利用底长和高长画三角形。
    • 利用三角形的顶点到对边的所有线段中，高最短来解决实际问题。
• 三角形三边关系
  • 关系：
    • 在三角形中，任意两边长度的和一定大于第三边。任意一边的长度大于另外两边的长度差（长边减短边）
  • 提示
    • 当两条较短的边的长度和等于第三边时也不能围成三角形。
  • 应用
    • 围三角形
      • 判断三条线段a、b、c能否围成三角形，要看a+b>c、a+c>b和b+c>a这三个条件。若有一个不成立，则围不成三角形。
    • 线状物体剪成三角形
      • 先分析出最长边的范围，再用列举法，更容易解决问题。
    • 求三角形周长
      • 利用三角形三边关系，结合题目的具体条件求出周长。
• 三角形内角和
  • 和
    • 三角形内角和等于180°。
  • 平角
    • 平角也也是180°。把三角形的三个内角拼在一起，就是一个平角。
  • 转化的思想
    • 将三角形的3个内角都向内折，拼成一个平角的过程体现了转化思想。
  • 应用
    • 求未知角的大小1
      • 应用内角和为180°，结合已知条件来解决问题。
    • 求未知角的大小2
      • 应用内角和与平角均为180°，结合已知条件来解决问题。
    • 求未知角的大小3
      • 画线段图来解决问题。
• 三角形的分类
  • 按角分
    • 直角三角形
      • 有一个角是直角的三角形
    • 锐角三角形
      • 3个角都是锐角的三角形
    • 钝角三角形
      • 有一个角是钝角的三角形
  • 按边分
    • 普通三角形
      • 3条边不相等的三角形
    • 等腰三角形
      • 2条边相等的三角形。直角、锐角、钝角三角形都有可能是等腰三角形。
    • 等边三角形
      • 3条边都相等的三角形，等边三角形的每个角都是60°，是锐角三角形。
  • 判断
    • 按最大的角判断
      • 最大的角是钝角就是钝角三角形；最大的角是直角就是直角三角形；最大的是锐角就是锐角三角形。
  • 提示
    • 角的数量
      • 一个三角形中一定有两个锐角，不可能有两个直角或钝角。
  • 集合思想的应用
    • 把三角形分类的过程用图表示，整体与个体，就是集合的思想。
  • 判断应用
    • 直接用三角形的内角和角的分类知识判断。
    • 用最大角的概念来判断。
• 等腰三角形等边三角形
  • 等腰三角形
    • 定义
      • 两条边相等的三角形是等腰三角形。
    • 特征
      • 等腰三角形两个底角相等。
      • 是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
    • 提示
      • 等腰三角形的等腰和底边，和三角形的位置没有关系，底边不一定在底部，腰也不一定在上部。
      • 直角三角形的直角两个边相等时，是等腰直角三角形，底角为45°。
  • 等边三角形
    • 定义
      • 3条边都相等的三角形是等边三角形。
    • 特征
      • 等边三角形的3个角都相等，都为60°，是锐角三角形。
      • 等边三角形是特殊的等腰三角形。
      • 等边三角形是轴对称图形，且有3条对称轴。
    • 提示
      • 只有锐角三角形是等边三角形。
  • 应用
    • 利用等腰三角形的特征解决周长等问题。
    • 利用等边三角形的特征解决边长等问题。
    • 运用画图法解决等腰三角形的边长问题。
• 四边形
  • 任意四边形
  • 平行四边
    • 一般平行四边形
    • 矩形
      • 长方形
      • 正方形
  • 梯形
• 认识平行四边形
  • 定义
    • 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
  • 特征
    • 基本特征
      • 有4条边，四个角，两组对边分别平行且相等。
    • 拓展
      • 平行四边形相邻两个角的度数和为180°，内角和为360°。
      • 平行四边形具有易变形的特点。
  • 底和高
    • 定义
      • 从四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条边是平行四边形的底。
    • 高的特点
      • 高一般画在图形的内部。
      • 平行四边形同一条底边的高有无数条，且都相等。
      • 不同底边上的高不一定相等。（只有正方形的高相等（与边长相等）。
  • 应用
    • 搞清平行四边形底和高的对应关系：一般有两组不同的对边（正方形除外），所以有两种不同的高，要搞清楚对应关系。
    • 运用图示法解决和平行四边形有关的如修路等实际问题。
• 认识梯形
  • 定义
    • 梯形是只有一组对边平行的四边形。
  • 与平行四边形比较
    • 相同
      • 都是4条边，有四个角。
    • 不同
      • 平行四边有2组平行对边，梯形只有一组对边平行。
      • 平行四边形中对边平行且相等；梯形中互相平行的边长不相等，另一组对边可能相等，也可相等（等腰）。
  • 结构
    • 上底下底
      • 互相平行的一组对边分别是梯形的上的上底和下底。
    • 腰
      • 不平行的一组对边是梯形的腰。
    • 高
      • 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段交作梯形的高。梯形的高有无数条，相互平行且相等。
    • 类型
      • 一般梯形、等腰梯形、直角梯形（有一个角为90°）
  • 等腰梯形
    • 定义
      • 两条腰的长度相等的梯形叫作等腰梯形。
    • 特点
      • 两腰相等，两个锐角相等，两个钝角也相等。
      • 是一个轴对称图形，只有一条对称轴。
      • 提示：等腰梯形中可能有一条底边与腰相等，即有可能三条边相等。
  • 应用
    • 注意梯形的高不一定比腰短，如在直角梯形中，高与直角腰相等。
    • 任意完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
• 多边形的内角和
  • 多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°
  • 应用
    • 逆向运用多边形内角和公式解决问题。
  • 提示
    • 直角梯形中有两个90°的角，只要知道其他两角中的一个角的度数，即可求另外角的度数。
• 方法思想
  • 逆向思维
    • 是对司空见惯的、似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方法。
  • 探索规律的过程
    • 提出问题---自主探索---观察分析--归纳总结
  • 转化思想
    • 把多边形分成若干个三角形，把求多边形的内角和转化成求若干个三角形内角和，体现了转化思想。
  • 比较法
    • 是一种通过观察、分析找出研究对象的相同点和不同点研究方法，它是认识事物的一种基本方法。
  • 集合思想
    • 就是运用集合的概念、逻辑语言、运算图形等解决数学问题的思想方法。把三角形分类的过程渗透了集合思想。
  • 归纳法
    • 研究三角形的内角和，从熟悉的三角尺入手，再通过测量、计算或拼一拼等方法研究一般的三角形。这种从特殊到一般的研究方法称为归纳法。
  • 操作法
    • 通过用小棒尝试围成三角形来解决问题，就运用了操作法。
  • 尝试法
    • 有些数学问题比较繁杂，缺乏线索，只有通过尝试才能找到答案，这种通过尝试才能找到答案的方法，叫尝试法。