第四章 数据的概括性度量

这是一篇关于第四章 数据的概括性度量的思维导图，包括：集中趋势、离散程度、偏态与峰度的度量。

第四章 数据的概括性度量

• 集中趋势
  • 1)分类数据
    • 众数：M0，出现次数最多的变量值，在数据量大时有用，也可用于数值/顺序数据 特点：不受极端值影响；具有明显集中趋势点；不具有唯一性
  • 2)顺序数据
    • 中位数：Me，也可用于数值型数据，位置为(n+1)/2 特点：不受极端值影响；具有唯一性；偏斜程度大
    • 四分位数：下四分位数(25%，QL=(n+1)/4)；上四分位数(75%，Qu=3(n+1)/4)
  • 3)数值型数据
    • 简单平均数：适用于未分组数据 特点：受极端值影响，具有唯一性，对称分布
    • 加权平均数：适用于分组数据，Mi为组中值，fi为频数
    • 几何平均数：平均比率，平均增长率
  • 4)众数、中位数、平均值的比较
    • 对称分布：Mo=Me=X拔(X拔指的是X的均值)
    • 左偏(高峰在右侧，长尾在左侧)：Mo>Me>X拔
    • 右偏(高峰在左侧，长尾在右侧)：Mo<Me<X拔
• 离散程度
  • 各变量偏离中心值的程度
    • 1)分类数据：异众比率，即非众数组频数占总频数的比例， fm为众数组频数，比率越高，众数代表性越低，离散程度越大
    • 2)顺序数据：四分位差，Qd=Qu-QL(上-下)； 四分位差越小，离散程度越低，不受极端值影响
    • 3)数值型数据
      • 极差：R=极大值-极小值，受极端值影响
      • 平均差(平均绝对离差)
        • 未分组：
        • 分组：(Mi为组中值)
      • 样本方差
        • 未分组：
        • 分组：
      • 标准差
        • 未分组：
        • 分组：
      • 相对位置的度量
        • 标准分数(Z分数)：标准化后均值为0，标准差为1；
        • 经验法则：前提是要对称分布 约有68%的数据在±1个标准差的范围之内 约有95%的数据在±2个标准差的范围之内 约有99%的数据在±3个标准差的范围之内
        • 切比雪夫不等式：若不对称分布 至少有75%的数据在±1个标准差范围之内 至少有89%的数据在±2个标准差范围之内 至少有94%的数据在±3个标准差范围之内
    • 4)相对离散程度：离散系数(变异系数)，比较不同样本数据的离散程度，越小越稳定
• 偏态与峰度的度量
  • 1)偏态(偏斜程度)
    • 未分组：
    • 分组：
    • 特点：>0右偏，<0左偏；>1/<-1高度偏态分布；0.5-1/(-1)-(-0.5)中度偏态分布
  • 2)峰态(扁平程度)
    • 未分组：
    • 分组：
    • 特点：>0尖峰，<0扁平