导数

高等数学之导数与微分知识总结，包括导数的概念、导数的运算法则与基本公式、隐函数与参数方程确定的函数的导数、高阶导数等内容。

导数

• 导数的定义
  • x→x。,limΔy/Δx (等同于Δx→0)
    • 联系无穷小
    • 有时定义求更简单
  • 设函数y=f(x)在邻域U(x。)内有定义，任取Δx使x+Δx∈U(X。) 如果极限Δx→0，limΔy/Δx存在 则称f(x)在x。处可导。并称该极限值为y在x。的导数
    • 导数存在即dy为dx的同阶无穷小
  • y'(x。)，y'|x=x。,dy/dx|x=x。
• 导数的表示
  • 子主题
• 导数的性质
  • 几何意义
    • 函数的导数=函数斜率
      • 函数曲线连续光滑，且斜率不垂直于x轴
    • 切线方程
      • y-y。=y'(x-x。)
    • 切点法线
      • y-y。=-1/y'(x-x。)
  • 导数结果为∞则称为无穷大导数
  • 单侧导数
    • 导数作为极限的形式，具有极限的性质
    • 可导≡左右导数存在且相等
      • 对于分段函数，满足该条件也是可导的
    • 左导数
  • 与连续性
    • 可导
    • 连续
    • 可导一定连续
    • 连续不一定可导
• 基本初等函数的导数
  • 常数
  • 幂函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
    • 正弦
      • • 余弦
    • 正切
      • • 余切
    • 正割
      • • 余割
• 初等函数的导数
  • 四则运算
    • 加减
    • 乘
    • 除
    • 多重乘除
      • 对函数求ln（对数）后用隐函数的方法求导
      • • 注意lnx，x>0
  • 嵌套
    • • u=g(x)在x点可导 且y=f(u)有定义
      • u不动
    • 证明
    • 幂函数嵌套
      • • • 两种方式互逆，一般方法一更简单些
      • 例
      • 例
        • • 严格来讲，ln需讨论x>0
• 反函数的导数
  • 若函数在区间内单调且可导，则其反函数存在，且反函数等于原函数导数的倒数
  • • 求饭函数的导数时一般先写出原函数
      • y=arcsinx → siny=x
  • 证
    • 图示法
      • 切线与x轴夹角互余
  • 反三角函数
    • • 过程
• 隐函数及其求导
  • 定义
    • 对应法则不明显的函数
      • 即不易转化为y=f(x)的函数
  • 求导
    • 直接对方程两边的x进行求导 （即左右分别当作一个函数，y相当于含有x的式子）
  • 例题
• 高阶导数
  • 导函数仍是导数，即可以对导数进行求导
  • 高阶导数的求法
    • 逐阶求解
    • • 循环
    • 当a=n时，有~=！n
  • 运算法则
    • 加法
    • 乘法（莱布尼茨公式）
• 参数方程求导
  • 对于两个参数方程分别求导再结合y'=dy/dx可得
  • 例
    • 证明r=a(1+cosθ)与r=a(1-cosθ)相互垂直
  • 参数方程的二阶导数
    • 求法
      • 1.
      • 2.
      • 3.
    • 例
• 双曲线与反双曲线的导数
• 三角函数一些等式关系
• (ln2x)'=1/x