第六章 六西格玛分析

六西格玛分析阶段概述，导图给我们介绍了点估计、区间估计、假设检验、方差分析、变异源分析、拟检验合优度、列联表、非参数检验、相关分析、回归分析等方面的内容。

六西格玛分析

• 点估计
  • 总体均值点估计
    • 样本均值
      • 当n<=2时 二者效应相等
      • 当3<n<10时,可以可以使用中位数
      • 当n>10时, 使用样本均值
    • 样本中位数
  • 总体方差点估计
    • 样本方差是总体方差的无偏估计量
  • 总体标准差点估计
    • 样本标准差是总体标准差的有偏估计
      • Rbar/d2
        • 当n<=2时 二者效应相等
      • S/c4
        • 当3<n<30时, S/c4优于Rbar/d2
      • S
        • 当n>30时无需做出修正直接使用样本标准差
• 区间估计
  • 总体标准差已知
    • x+/- Z1-a/2*(σ/√n)
  • 总体标准差未知且n<30
    • x+/-t1-a/2*(s/√n)*(n-1)
  • 总体标准差未知且n>30
    • x+/- Z1-a/2*(s/√n)
  • 总体均值已知
    • σ=√(∑(x-u)2/χ21-a/2)~√(∑(x-u)2/χ2a/2)
  • 总体均值未知
    • σ=√((S2 (n-1))/χ21-a/2)~√((S2 (n-1))/χ2a/2)
• 假设检验
  • 统计量
    • 单正太总体均值
      • Z统计量
        • 正太性
        • 独立随机性
        • 无离群值
        • 统计量公式
          • Z=Xbar-u/σ/√n
          • ∣Z∣>=Z1-a/2
          • Z>=Z1-a
          • Z<=Za
      • T统计量
        • 正太性
        • 独立随机性
        • 无离群值
        • n<30
        • 统计量公式
          • T=Xbar-u/s/√n
          • ∣T∣>=T1-a/2*(n-1)
          • T>=T1-a*(n-1)
          • T<=Ta*(n-1)
    • 单正太总体方差
      • 正太性
      • 独立随机性
      • 无离群值
      • 统计量公式
        • χ2=(n-1)*s2/σ2
        • χ2>=χ21-a/2（n-1) 或 χ2<=χ2a/2(n-1)
        • χ2>=χ21-a（n-1)
        • χ2<=χ2a（n-1)
    • 双正太总体均值
      • 统计量公式
        • Z统计量
          • Xbar-Ybar/σ/√(1/n2+1/m2)
        • T统计量
          • Xbar-Ybar/(sx2*(n-1)*sy2*(m-1)/(n+m-2))/√(1/n2+1/m2)
    • 双正太总体方差
      • 统计量公式
        • F统计量
          • F=Sx2/Sy2 (n-1)*(m-1)
    • 单双比例检验
      • 单比例检验
        • 大样本Z=P-P0/√p*(1-p)/n
      • 双比例检验
        • 大样本Z=P1-P2/√p*(1-p)/(1/n+1/m)
    • 配对T检验
      • 配对后的数据满足正太性
      • 配对后的数据满足独立随机性
      • 统计量公式
        • T=dbar/√sd/n(n-1)
    • 假设检验功效与样本量
      • n=(Z1-α+Z1-β)2*(σ/Δ)2
      • n、α、β成反比关系
  • 假设检验原理
    • 反证法
    • 小概率事件
  • 假设检验的步骤
    • 建立假设
    • 选择统计量确定拒绝域形式
    • 确认显著性水平
      • 一类错误
        • 原假设成立却拒绝
      • 二类错误
        • 备择假设成立却拒绝或原假设不成立却接受
    • 计算统计量
    • 对比统计量与拒绝域临界值做出判断
• 方差分析
  • 方差分析条件
    • 正太
    • 独立随机
    • 各组方差相等
  • 方差分析原理
    • 因子组间效应与组内误差比较；如果因子组间效应＞组内误差则因子效应显著
  • 方差分析类型
    • 单因素方差分析
      • SSt=SSa+SSe
        • F检验公式
          • F=MSa/MSe
            • MSa=SSa/dfa
            • MSe=SSe/dfe
          • 自由度分解
            • dft=dfa+dfe
    • 双因素方差分析
      • 因子无交互作用
        • SSt=SSa+SSb+SSe
          • F检验公式
            • F=MSa/MSe
            • F=MSb/MSe
            • 自由度分解公式
              • dft=dfa+dfb+dfe
      • 因子存在交互作用
        • SSt=SSa+SSb+SSa*b+SSe
          • F检验公式
            • F=MSa/MSe
            • F=MSb/MSe
            • F=MSa*b/MSe
            • 自由度分解公式
              • dft=dfa+dfb+dfa*b+dfe
• 变异源分析
  • 变异类型
    • 产品内变异
      • 不做为因子，视为随机误差
    • 产品间变异
      • 做为因子
        • 因子各个水平的平均值与因子的总平均值之差为该因子效应
    • 时间变异
  • 因子效应关系
    • 交叉
      • 与随机效应存在交互作用
        • 例如: Y=A+B+C+A*B+A*C+B*C+A*B*C
    • 嵌套
      • 不存在交互作用
        • 例如: Y=A+B(A)+C(A B) 或Y=A+B(A)+C+A*C
    • 固定效应
    • 随机效应
      • 存在方差分量
• 拟检验合优度
  • χ2=∑(oi-oe)2/oe
• 列联表
  • χ2=∑(Pi-Pe)2/Pe
  • Pe=行和*列和/总数
• 非参数检验
  • 符号检验
    • n<30
      • 方法1:使用二项分布分别求出随机变量的概率；然后根据显著性水平取拒绝域
      • 方法2: 查表 Sa: min(n-,n+)<=S拒绝原假设
    • n>30
      • 近似正太Z
        • 均值=0.5n
        • 方差=0.25n
  • MWW检验
    • 数据满足独立随机性即可
      • 可以检验双总体是否相同的问题
      • 利用秩和进行查表检验
  • Mood中位数检验
    • 检验双总体是否相同
      • 将两个样本数据进行排秩,然后找到中位数；分别计算n-和n+然后查表
  • Wilcoxon符号秩和检验
    • 检验单总体是否相同或配对总体相同问题
  • 克鲁斯卡尔-沃利斯检验
    • 检验多总体是否相同问题
  • 非参数检验数据类型需要定距或定比数据；除非定序数据精度很高
• 相关分析
  • 相关系数r越接近+/-1 说明数据越关且成线性相关；
  • 如果r为0不能说两组数据没有关系，只能说非线性关系
  • 相关系数r与样本量有关
• 回归分析
  • 一元线性回归
    • Y=b+b1X+error
      • 计算Sxy/Sx求出斜率
      • 利用最小二乘法通过X、Y的平均值(xbar,Ybar) 带入模型求出截距后可以求出拟合模型
      • R-square/R-square(adjust)
        • R-square=SSr/SSt=1-(SSe/SSt)
        • R-square(adjust)=1-((SSe/(n-1-P))/(SSt/(n-1)))
      • 回归方程显著性检验
        • 斜率检验
        • F检验
          • F=SSr/SSe=1-(SSe/SSt)
          • F>F1-a(dfr,dfe)
        • 相关系数检验
      • 回归模型残差诊断
        • 残差与观测值顺序
          • 正常
            • 残差应与观测值顺序横轴0坐标上下随机波动
          • 不正常
            • 残差在0轴连续上升或下降或交替上升下降；说明残差自相关或有其他数据混入其中
        • 残差与拟合值
          • 正常
            • 残差应该在0轴附近程带状分布
          • 不正常
            • 残差程喇叭口,说明拟合不好需要对Y进行转换
            • 残差程U字形说明拟合不好需要对Y进行高阶转换
        • 残差应符合正太分布
        • 残差性质
          • 残差均值期望为0
          • 各个自变量处的残差方差相等，具有方差齐性
          • 方差服从正太分布
          • 方差具有独立随机性
  • 线性回归多元
    • Y=b+b1X1+b2X2+error
  • 逻辑回归