平面几何

这是一篇关于平面几何的思维导图，主要内容包括：解析几何，解三角形，平面向量。将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

平面几何

• 平面向量
  • 概念
    • 定义
      • 既有大小又有方向的量叫做向量
        • 向量的大小叫做向量的模长
    • 表示方法
      • 几何
        • 用一条带箭头的线段表示
      • 代数
        • • 其中A是起点，B是终点
      • 坐标表示
    • 基本概念
      • 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
        • 单位向量：长度等于1的向量.
          • 方向没有规定
      • 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量.
      • 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
        • 相反向量：长度相等且方向相反的向量.
  • 线性运算
    • 向量的加法
      • 几何
        • 平行四边形法则
          • 核心：共起点
        • 三角形法则
          • 核心：首尾相接
      • 代数
      • 运算律
        • • 规定：
    • 向量的减法
      • 几何
        • 三角形法则
          • • • 指向被减向量
        • 化“减”为“加”
          • 核心：相反向量
      • 代数
    • 向量的数乘
      • 几何
        • • 方向
            • （1）
            • （2）
            • （3）
          • 大小
            • • 易错点：
      • 代数
      • 运算律
        • （1）
          • （2）
        • （3）
      • 向量共线定理
        • • 特别注意向量b是非零向量
    • 平面向量基本定理
      • 基底
        • 核心：不共线
          • 在选择基底的时候，尽可能选择已知模长和夹角的向量
      • 定理
        • 核心要点：任何两个不共线的向量都可以作为基底
      • 应用
        • 正交分解
          • 基底垂直
          • 单位正交分解
            • 基底为单位向量且垂直
              • 向量坐标的由来
        • 基底置换
          • 不同基底之间的转换
            • 解方程组的方法
        • 三点共线
  • 向量的坐标
    • 定义
    • 运算
      • • • • 子主题
      • • • 两点之间的距离公式
  • 数量积（非零向量）
    • 夹角
      • 核心：共起点
        • 范围：
    • 投影
      • 投影
      • 投影向量
      • 投影向量的表达式
        • • e是与b方向相同的单位向量
      • 投影向量的模长
    • 数量积
      • 定义
        • 几何
        • 代数
      • 夹角公式
      • 运算律
        • （1）
          • （2）
            • 特别注意：
        • （3）
  • 规律与应用
    • 易错点
      • 向量平行不具有传递性
        • • 反例：
      • 零向量
        • 零向量的方向是任意的
        • 规定：
        • 规定：
    • 易混点
      • 三角形法则适用于所有向量；而平行四边形法则适用于不共线的两个向量
      • 物理中的矢量与数学中的向量并不是完全相同的概念，例如力、位移等矢量的起点是固定的，而数学中的向量可以自由平移；还有书写规则也不相同.但两者就内涵和计算法则而言，几乎完全相同.
    • 三点共线
      • 向量法
      • 斜率法
        • 分类讨论
          • 当直线AB、AC的斜率都存在时
          • 当直线AB、AC的斜率都不存在时，A，B，C三点共线
      • 直线的方程
        • 首先利用A，B两点求出直线AB的方程，接着只需要验证点C是否在直线AB上，即可判断A，B，C三点是否共线.
      • 特别提示：已知三点的坐标时 ，以上三种方法皆可使用；若是坐标未知，则只能使用向量法.
    • 平行与垂直
      • 平行
      • 垂直
    • 不等式
      • 三角形的边长之间的关系
        • 两边之差小于第三边
        • 两边之和大于第三边
      • 柯西不等式
        • • • 这里等号成立的条件是两个向量平行
• 解三角形
  • 正弦定理
    • • 常用变形
        • • • • 可用于边角互化
        • • • 连比式的性质
  • 余弦定理
    • 勾股定理是余弦定理的特例
    • 推导过程
  • 三角形的面积公式
  • 三角形中的三角函数关系
    • • 诱导公式
  • 射影定理
    • 代数形式
    • 几何意义
    • 边角互化可以证明代数形式的射影定理，几何表达使得对射影定理的理解更加深刻.
  • 三角形的三线
    • 等腰三角形具有三线合一的性质
    • 中线
      • • • 点D是边BC的中点
            • • 平方之后可以求中线长
    • 高
      • • • • • 解析几何中可以借此求出直线AD的方程
          • • • • 由此可以证明正弦定理
    • 角平分线
      • • 角平分线上的点到角两边的距离相等
        • 直线AD的方向向量为
          • 经常作为条件给出，本质说明了角平分线
  • 三角形的四心
    • 等边三角形具有四心合一的性质
    • 内心
      • 内切圆圆心，即三条角平分线的交点
        • • • 主要用于求内切圆半径
    • 外心
      • 外接圆圆心，即三边垂直平分线的交点
        • 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点
    • 垂心
      • 三条高线的交点
    • 重心
      • 三条中线的交点
        • • 点G是中线的三等分点
          • 拓展应用
            • • 如图，点G是AC的三等分点
  • 规律与应用
    • 易忽略
      • 大角对大边，小角对小边
        • • 解三角形的过程中，这是隐藏信息，在多个答案的情况下，尤其需要注意
      • 三角形的内角和等于p
        • • 在已知一个角的情况下，另外两个角的关系是确定的，经常用于代入消元
    • 易错点
      • 计算错误
        • • 两个角互补
        • • 必须熟记特殊角的三角函数值
      • 画图不规范
        • 在解题过程中，最好是画出图形，将已知条件标注在图形上，进而确定最优的解题路径，因此规范工整的图形是解题的最佳辅助.
    • 易混点
      • 正余弦定理的选择
        • 一般情况下，如果已知的角比较多，则选择正弦定理；如果已知的边比较多，则选择余弦定理
      • 三角形”三线“和”四心“
        • 牢记三角形的几何性质，还要从向量的角度来进一步理解这些这些几何性质
    • 测量距离
      • • 目标：测量AB
        • 已知：CD，ÐADC，ÐBDC，ÐACD，ÐBDC
        • 解题过程
          • 第一步：在DADC中求出AC
          • 第二步：在DBDC中，求出BC
          • 第三步：在DACB中，求出AB
    • 测量高度
      • 仰角和俯角
        • • 铅垂线指垂直于地面的直线
            • 水平线指平行于地面的直线
      • 坡角和坡度
        • 坡角
          • 坡面与水平面所成的二面角的度数
        • 坡度（坡比）
          • 坡面的铅直高度与水平长度之比
        • • 坡角为q
          • 坡度为
      • • 目标：测量AB
        • 已知：CD，ÐACB，ÐADB
        • 解题过程
          • 第一步：在DACD中，求出AD
          • 子主题：在DADB中，求出AB
      • • 目标：测量AB
        • 已知：CD，ÐACB，ÐADB，ÐBCD，ÐBDC
          • 已知条件未必给出全部，解题过程中根据已知信息灵活选择解题方法
        • 解题过程
          • 第一步：在DBCD中，求出BC
          • 第二步：在DACB中，求出AB
    • 测量夹角
      • 方位角
        • 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
          • • 点A的方位角为a
      • 方向角
        • 相对于某一正方向的水平角
          • • 点A的方向角为南偏东30度
            • 点A的方向角为东偏南60度
    • 总结：无论是解决多边形问题，还是测量问题，最核心的思路是在三角形中求出某些边或角，经过多次转换三角形，达到解题的目的.
• 解析几何
  • 子主题

解三角形

• 正弦定理
  • • 常用变形
      • • • • 可用于边角互化
      • • • 连比式的性质
• 余弦定理
  • 勾股定理是余弦定理的特例
  • 推导过程
• 三角形的面积公式
• 三角形中的三角函数关系
  • • 诱导公式
• 射影定理
  • 代数形式
  • 几何意义
  • 边角互化可以证明代数形式的射影定理，几何表达使得对射影定理的理解更加深刻.
• 三角形的三线
  • 等腰三角形具有三线合一的性质
  • 中线
    • • • 点D是边BC的中点
          • • 平方之后可以求中线长
  • 高
    • • • • • 解析几何中可以借此求出直线AD的方程
        • • • • 由此可以证明正弦定理
  • 角平分线
    • • 角平分线上的点到角两边的距离相等
      • 直线AD的方向向量为
        • 经常作为条件给出，本质说明了角平分线
• 三角形的四心
  • 等边三角形具有四心合一的性质
  • 内心
    • 内切圆圆心，即三条角平分线的交点
      • • • 主要用于求内切圆半径
  • 外心
    • 外接圆圆心，即三边垂直平分线的交点
      • 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点
  • 垂心
    • 三条高线的交点
  • 重心
    • 三条中线的交点
      • • 点G是中线的三等分点
        • 拓展应用
          • • 如图，点G是AC的三等分点
• 规律与应用
  • 易忽略
    • 大角对大边，小角对小边
      • • 解三角形的过程中，这是隐藏信息，在多个答案的情况下，尤其需要注意
    • 三角形的内角和等于p
      • • 在已知一个角的情况下，另外两个角的关系是确定的，经常用于代入消元
  • 易错点
    • 计算错误
      • • 两个角互补
      • • 必须熟记特殊角的三角函数值
    • 画图不规范
      • 在解题过程中，最好是画出图形，将已知条件标注在图形上，进而确定最优的解题路径，因此规范工整的图形是解题的最佳辅助.
  • 易混点
    • 正余弦定理的选择
      • 一般情况下，如果已知的角比较多，则选择正弦定理；如果已知的边比较多，则选择余弦定理
    • 三角形”三线“和”四心“
      • 牢记三角形的几何性质，还要从向量的角度来进一步理解这些这些几何性质
  • 测量距离
    • • 目标：测量AB
      • 已知：CD，ÐADC，ÐBDC，ÐACD，ÐBDC
      • 解题过程
        • 第一步：在DADC中求出AC
        • 第二步：在DBDC中，求出BC
        • 第三步：在DACB中，求出AB
  • 测量高度
    • 仰角和俯角
      • • 铅垂线指垂直于地面的直线
          • 水平线指平行于地面的直线
    • 坡角和坡度
      • 坡角
        • 坡面与水平面所成的二面角的度数
      • 坡度（坡比）
        • 坡面的铅直高度与水平长度之比
      • • 坡角为q
        • 坡度为
    • • 目标：测量AB
      • 已知：CD，ÐACB，ÐADB
      • 解题过程
        • 第一步：在DACD中，求出AD
        • 子主题：在DADB中，求出AB
    • • 目标：测量AB
      • 已知：CD，ÐACB，ÐADB，ÐBCD，ÐBDC
      • 解题过程
        • 第一步：在DBCD中，求出BC
        • 第二步：在DACB中，求出AB
  • 测量夹角
    • 方位角
      • 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
        • • 点A的方位角为a
    • 方向角
      • 相对于某一正方向的水平角
        • • 点A的方向角为南偏东30度
          • 点A的方向角为东偏南60度
  • 总结：无论是解决多边形问题，还是测量问题，最核心的思路是在三角形中求出某些边或角，经过多次转换三角形，达到解题的目的.