导图社区 平面几何
这是一篇关于平面几何的思维导图,主要内容包括:解析几何,解三角形,平面向量。将知识点进行了归纳和整理,帮助学习者理解和记忆。直击重点,可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,知识点系统且全面,希望对大家有所帮助!
编辑于2024-06-24 08:33:51平面几何
平面向量
概念
定义
既有大小又有方向的量叫做向量
向量的大小叫做向量的模长
表示方法
几何
用一条带箭头的线段表示
代数
其中A是起点,B是终点
坐标表示
基本概念
零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
单位向量:长度等于1的向量.
方向没有规定
平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量:长度相等且方向相反的向量.
线性运算
向量的加法
几何
平行四边形法则
核心:共起点
三角形法则
核心:首尾相接
代数
运算律
规定:
向量的减法
几何
三角形法则
指向被减向量
化“减”为“加”
核心:相反向量
代数
向量的数乘
几何
方向
(1)
(2)
(3)
大小
易错点:
代数
运算律
(1)
(2)
(3)
向量共线定理
特别注意向量b是非零向量
平面向量基本定理
基底
核心:不共线
在选择基底的时候,尽可能选择已知模长和夹角的向量
定理
核心要点:任何两个不共线的向量都可以作为基底
应用
正交分解
基底垂直
单位正交分解
基底为单位向量且垂直
向量坐标的由来
基底置换
不同基底之间的转换
解方程组的方法
三点共线
向量的坐标
定义
运算
子主题
两点之间的距离公式
数量积(非零向量)
夹角
核心:共起点
范围:
投影
投影
投影向量
投影向量的表达式
e是与b方向相同的单位向量
投影向量的模长
数量积
定义
几何
代数
夹角公式
运算律
(1)
(2)
特别注意:
(3)
规律与应用
易错点
向量平行不具有传递性
反例:
零向量
零向量的方向是任意的
规定:
规定:
易混点
三角形法则适用于所有向量;而平行四边形法则适用于不共线的两个向量
物理中的矢量与数学中的向量并不是完全相同的概念,例如力、位移等矢量的起点是固定的,而数学中的向量可以自由平移;还有书写规则也不相同.但两者就内涵和计算法则而言,几乎完全相同.
三点共线
向量法
斜率法
分类讨论
当直线AB、AC的斜率都存在时
当直线AB、AC的斜率都不存在时,A,B,C三点共线
直线的方程
首先利用A,B两点求出直线AB的方程,接着只需要验证点C是否在直线AB上,即可判断A,B,C三点是否共线.
特别提示:已知三点的坐标时 ,以上三种方法皆可使用;若是坐标未知,则只能使用向量法.
平行与垂直
平行
垂直
不等式
三角形的边长之间的关系
两边之差小于第三边
两边之和大于第三边
柯西不等式
这里等号成立的条件是两个向量平行
解三角形
正弦定理
常用变形
可用于边角互化
连比式的性质
余弦定理
勾股定理是余弦定理的特例
推导过程
三角形的面积公式
三角形中的三角函数关系
诱导公式
射影定理
代数形式
几何意义
边角互化可以证明代数形式的射影定理,几何表达使得对射影定理的理解更加深刻.
三角形的三线
等腰三角形具有三线合一的性质
中线
点D是边BC的中点
平方之后可以求中线长
高
解析几何中可以借此求出直线AD的方程
由此可以证明正弦定理
角平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等
直线AD的方向向量为
经常作为条件给出,本质说明了角平分线
三角形的四心
等边三角形具有四心合一的性质
内心
内切圆圆心,即三条角平分线的交点
主要用于求内切圆半径
外心
外接圆圆心,即三边垂直平分线的交点
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点
垂心
三条高线的交点
重心
三条中线的交点
点G是中线的三等分点
拓展应用
如图,点G是AC的三等分点
规律与应用
易忽略
大角对大边,小角对小边
解三角形的过程中,这是隐藏信息,在多个答案的情况下,尤其需要注意
三角形的内角和等于p
在已知一个角的情况下,另外两个角的关系是确定的,经常用于代入消元
易错点
计算错误
两个角互补
必须熟记特殊角的三角函数值
画图不规范
在解题过程中,最好是画出图形,将已知条件标注在图形上,进而确定最优的解题路径,因此规范工整的图形是解题的最佳辅助.
易混点
正余弦定理的选择
一般情况下,如果已知的角比较多,则选择正弦定理;如果已知的边比较多,则选择余弦定理
三角形”三线“和”四心“
牢记三角形的几何性质,还要从向量的角度来进一步理解这些这些几何性质
测量距离
目标:测量AB
已知:CD,ÐADC,ÐBDC,ÐACD,ÐBDC
解题过程
第一步:在DADC中求出AC
第二步:在DBDC中,求出BC
第三步:在DACB中,求出AB
测量高度
仰角和俯角
铅垂线指垂直于地面的直线
水平线指平行于地面的直线
坡角和坡度
坡角
坡面与水平面所成的二面角的度数
坡度(坡比)
坡面的铅直高度与水平长度之比
坡角为q
坡度为
目标:测量AB
已知:CD,ÐACB,ÐADB
解题过程
第一步:在DACD中,求出AD
子主题:在DADB中,求出AB
目标:测量AB
已知:CD,ÐACB,ÐADB,ÐBCD,ÐBDC
已知条件未必给出全部,解题过程中根据已知信息灵活选择解题方法
解题过程
第一步:在DBCD中,求出BC
第二步:在DACB中,求出AB
测量夹角
方位角
从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
点A的方位角为a
方向角
相对于某一正方向的水平角
点A的方向角为南偏东30度
点A的方向角为东偏南60度
总结:无论是解决多边形问题,还是测量问题,最核心的思路是在三角形中求出某些边或角,经过多次转换三角形,达到解题的目的.
解析几何
子主题
解三角形
正弦定理
常用变形
可用于边角互化
连比式的性质
余弦定理
勾股定理是余弦定理的特例
推导过程
三角形的面积公式
三角形中的三角函数关系
诱导公式
射影定理
代数形式
几何意义
边角互化可以证明代数形式的射影定理,几何表达使得对射影定理的理解更加深刻.
三角形的三线
等腰三角形具有三线合一的性质
中线
点D是边BC的中点
平方之后可以求中线长
高
解析几何中可以借此求出直线AD的方程
由此可以证明正弦定理
角平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等
直线AD的方向向量为
经常作为条件给出,本质说明了角平分线
三角形的四心
等边三角形具有四心合一的性质
内心
内切圆圆心,即三条角平分线的交点
主要用于求内切圆半径
外心
外接圆圆心,即三边垂直平分线的交点
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点
垂心
三条高线的交点
重心
三条中线的交点
点G是中线的三等分点
拓展应用
如图,点G是AC的三等分点
规律与应用
易忽略
大角对大边,小角对小边
解三角形的过程中,这是隐藏信息,在多个答案的情况下,尤其需要注意
三角形的内角和等于p
在已知一个角的情况下,另外两个角的关系是确定的,经常用于代入消元
易错点
计算错误
两个角互补
必须熟记特殊角的三角函数值
画图不规范
在解题过程中,最好是画出图形,将已知条件标注在图形上,进而确定最优的解题路径,因此规范工整的图形是解题的最佳辅助.
易混点
正余弦定理的选择
一般情况下,如果已知的角比较多,则选择正弦定理;如果已知的边比较多,则选择余弦定理
三角形”三线“和”四心“
牢记三角形的几何性质,还要从向量的角度来进一步理解这些这些几何性质
测量距离
目标:测量AB
已知:CD,ÐADC,ÐBDC,ÐACD,ÐBDC
解题过程
第一步:在DADC中求出AC
第二步:在DBDC中,求出BC
第三步:在DACB中,求出AB
测量高度
仰角和俯角
铅垂线指垂直于地面的直线
水平线指平行于地面的直线
坡角和坡度
坡角
坡面与水平面所成的二面角的度数
坡度(坡比)
坡面的铅直高度与水平长度之比
坡角为q
坡度为
目标:测量AB
已知:CD,ÐACB,ÐADB
解题过程
第一步:在DACD中,求出AD
子主题:在DADB中,求出AB
目标:测量AB
已知:CD,ÐACB,ÐADB,ÐBCD,ÐBDC
解题过程
第一步:在DBCD中,求出BC
第二步:在DACB中,求出AB
测量夹角
方位角
从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
点A的方位角为a
方向角
相对于某一正方向的水平角
点A的方向角为南偏东30度
点A的方向角为东偏南60度
总结:无论是解决多边形问题,还是测量问题,最核心的思路是在三角形中求出某些边或角,经过多次转换三角形,达到解题的目的.