中值定理

一张思维导图带你学习中值定理的知识点，包含罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，收藏下图学习吧！

23高数汤家凤

• 中值定理
  • 罗尔定理
    • 条件
      • f属于C[a,b]
      • (a,b)内可导
      • f(a)=f(b)
    • 结论
      • 存在t,使得f(t)的导数在（a,b）=0
    • 证明
      • 存在m,M.
        • M=m时
          • 恒有结论成立
        • m\=M
          • 至少有m,或M在（a,b）中，则有f(t)的导数等于0或者不存在，又因为（a,b）内可导，得出结论
    • 例题
      • 结合零点定理
        • 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)乘f(b）＜0,”可以推出结论“该函数在区间（a,b)一定至少有一个零点。而不是说函数在区间（a,b)有零点就一定满足f(a)乘f(b）＜0
      • 结合介值定理
        • ，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。 [1]
      • 结合最大最小值定理
        • 闭区间内连续，一定存在m,M
  • 拉格朗日中值定理
    • 条件
      • f属于C[a,b]
      • (a,b)内可导
    • 结论
      • 当a<c<b时，则在(a,b)中至少有一点c,使得f'(c)=f(b)-f(a)/(b-a)
    • 证明
      • L曲线-Lab,再求导，利用罗尔定理
    • 小知识点
      • 加减乘，不改变连续性，可导性
      • 分母不为0，则加减乘除，都不影响连续性，可导性
  • 柯西中值定理
    • 条件
      • f属于C[a,b]
      • (a,b)内可导
      • g'(x)\=0.x属于(a,b)
    • 结论
      • 注意：
        • g'(x)\=0,(a,b)=>{g'(t)\=0; g(b)-g(a)\=0}
    • 证明：
      • L替换为C，中(x-a)替换为g(x)-g(a),然后利用相应罗尔定理。且g'(t)\=0
  • 联系
    • 罗尔定理是拉格朗日定理的特例