专升本高数知识重点

关于专升本高数知识重点(全套)的思维导图，包含收敛级数加括号仍收敛且和不变（括号增加收敛性，可使有些发散变收敛），绝对值增加发散性（可使有些收敛极限变发散）等。

高数

• 函数，极限，连续性
  • 函数
    • 函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
    • 分段函数
    • 函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
    • 反函数，复合函数
    • 基本初等函数的性质和图像，初等函数
  • 极限
    • 极限（含左、右极限）的定义
    • 极限存在的充要条件
      • 左极限=右极限=该点极限
    • 极限四则运算法则
    • 两个重要极限
    • 无穷大、无穷小的概念及相互关系， 无穷小的性质，无穷小量的比较，用等价无穷小求极限
  • 连续性
    • 函数在一点处连续、间断的概念，间断点的类型： 包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二类间断点
      • 可去间断点
        • 左右极限都存在且相等
      • 跳跃间断点
        • 左右极限都存在但不相等
      • 无穷间断点
        • x~x0时，f(x)=∞
      • 振荡间断点
        • x~x0时，f(x)不存在
    • 初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 （介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
      • 连续
        • f(x)在x0点处有定义
        • 在x0极限存在
        • 在x0处的极限值等于该点的函数值
• 一元函数微分学
  • 导数与微分
    • 导数的概念及其几何意义
    • 可导性与连续性的关系
      • 可导：左右导数都存在且相等
    • 平面曲线的切线方程与法线方程
    • 导数的基本公式，四则运算法则，复合函数的求导方法
    • 微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
    • 高阶导数的概念
    • 显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
    • 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
    • 由参数方程所确定的函数的二阶导数
  • 中值定理与导数应用
    • 罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
      • 微分中值定理
        • 费马引理
          • 函数f(x)在点x₀处可导，且在x₀处取得极值，那么f'(x₀)=0
        • 罗尔定理
          • 在闭区间[a,b]上连续
          • 在开区间（a,b)内可导
          • 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
          • 那么在（a,b）内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f'(ξ)=0
        • 拉格朗日中值定理
          • 在闭区间[a,b]上连续
          • 在开区间（a,b）内可导
          • 那么至少存在一点ξ∈（a,b）使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
        • 柯西中值定理
          • 如果函数f(x)及F(x)满足
            • 在闭区间[a,b]上连续
            • 在开区间（a,b）内可导
            • 对任一x∈(a,b),F'(x)≠0
            • 那么在（a,b）内至少有一点ξ，使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)] =f'(ξ)/F'(ξ)
        • 泰勒中值定理
          • n阶泰勒公式佩亚诺余项
          • n阶泰勒公式拉格朗日余项
            • 为拉格朗日中值定理的推广
          • 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
          • 带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
    • 洛必达法则
    • 未定型的极限
    • 函数的单调性及判定
      • f'(x)>0,函数在区间上单调递增
      • f'(x)<0,函数在区间上单调递减
    • 函数的极值及求法
      • f''(x0)>0,f(x0)为极小值
      • f''(x0)<0,f(x0)为极大值
    • 函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
      • f''(x0)>0,f(x)在区间内是凹的
      • f''(x0)<0,f(x)在区间内是凸的
    • 函数的最大值、最小值
• 一元函数积分学
  • 不定积分
    • 原函数的概念、原函数存在定理
    • 不定积分的概念及性质
    • 不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
      • 直接积分、凑微分、根式代换/三角代换、分部积分
    • 简单有理函数的积分
  • 定积分
    • 定积分的概念及其几何意义
    • 定积分的基本性质
    • 变上限函数及导数
    • 牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
• 定积分的应用
  • 平面图形的面积
    • X型
      • 上下为曲线
      • 左右为垂直与x轴的直线
      • y=ax+b 上-下
    • Y型
      • 左右为曲线
      • 上下为垂直与y轴的直线
      • x=ay-b 右-左
  • 旋转体的体积
• 向量代数与空间解析几何
  • 向量代数
    • 空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
    • 单位向量及方向余弦
    • 向量的线性运算，数量积和向量积运算
    • 向量平行、垂直的充要条件
  • 空间解析几何
    • 平面的方程及其求法
    • 空间直线的方程及其求法
    • 平面、直线的位置关系（平行、垂直）
• 多元函数微分学
  • 多元函数的极限与连续
    • 多元函数的概念，二元函数的定义域
    • 二元函数的极限与连续性
  • 偏导数与全微分
    • 偏导数的概念
    • 二元函数一、二阶偏导数的求法，求复合函数与隐函数 的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
  • 偏导数的应用
    • 二元函数的全微分及极值
      • 无条件极值
        • 求偏导，令偏导数等于0求驻点
        • 求二阶偏导Fxx=A，Fxy=B，Fyy=C
        • 求出B²-AC的值
          • 值小于0，有极值点
            • A<0，极大值点
            • A>0，极小值点
          • 大于0，不是极值点
          • 等于0，可能是极值点，也可能不是
      • 条件极值
        • 拉格朗日乘数法
          • 找目标函数，约束条件
          • 与原函数组成拉格朗日函数L(x,y)
          • 对x,y求偏导
          • 解方程组，所得点即为极值点
    • 空间曲面的切平面方程和法线方程
• 二重积分与微分方程
  • 概念与计算
    • 二重积分的概念及性质、几何意义
      • 几何意义
        • 以积分区域D为底，以被积函数f(x,y)为顶的曲顶柱体体积
    • 直角坐标系下计算二重积分
      • 求面积的步骤
        • （1） 画图、描点、定区域
        • （2） 定型（X、Y）
        • （3） 列表式
          • X型：y=ax+b
          • Y型：x=ay+b
        • （4） 计算
        • 后积先定限， 限内画条线， 先交下限写， 后交上限见
    • 交换积分次序
      • 依据二次积分限写出积分区域D
      • 画出图形
      • 换型求积分
    • 极坐标系下计算二重积分
      • 极坐标系下二重积分 适用于圆形、扇形、圆环
        • 换元：令x=rcosθ，y=rsinθ
        • 定限：确定x、a的范围
        • 写出表达式:∫(a→b)dθ∫(φ1→φ2)f(rcosθ,rsinθ)rdr
        • 解法步骤
  • 常微分方程
    • 概念
      • 常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
    • 一阶方程
      • 一阶可分离变量方程
        • 分离变量，相同变量放在一起
        • 两边同时积分计算
      • 齐次微分方程(一般为y+x，xy，y/x形式)
        • 先将方程化为y'=φ(y/x)或 dy/dx=φ(y/x)的形式
          • φ(u)，u=y/x，u=yx，u=y+x
        • 换元，令u=y/x，y=ux,两边同时求导得 dy/dx=x'u+u'x,化简得du/dx=[φ(u)-u]/x
        • 两边同时积分，求出通解后，换回u=y/x即可
        • 解法步骤
      • 一阶线性方程
        • 方程：dy/dx+P(X)y=Q(x), 或y'+P(X)y=Q(x)
        • 找出P(x)，Q(x)
        • 把P(x)，Q(x)代入方程解出答案
    • 二阶方程
      • 二阶常系数齐次线性微分方程
        • 通解
          • （判断p²-4q>0）
          • （判断p²-4q=0）
          • （判断p²-4q<0）
            • 子主题
          • 对 应 特 征 方 程
            • (r-r1)(r-r2)=0
            • (r-r1)²=0
            • (r-α)²+β²=0
• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 性质
      • 级数收敛，×系数k也收敛
      • 极限相加减
        • 两个极限收敛，则相加减也收敛
        • 一个极限收敛，一个极限发散，则相加减必发散
        • 如果两个都发散，敛散性不定
      • 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性
      • 收敛级数加括号仍收敛且和不变（括号增加收敛性，可使有些发散变收敛），绝对值增加发散性（可使有些收敛极限变发散）
        • 级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛，级数加括号以后发散，原级数一定发散
      • 级数收敛的必要条件：若级数Un收敛，则极限Un=0
        • 若极限Un=0，级数Un不一定收敛
        • 若级数Un≠0，级数Un一定发散
    • 级数类型
      • 等比级数
        • • |q|<1,级数收敛
          • |q|≥1,级数发散
      • P-级数
        • • p>1，级数收敛
          • p≤1，级数发散
          • p=1为调和级数，发散
      • 交错级数
        • • Un≥Un+1
          • 莱布尼兹定理
    • 正项敛散性判别
      • 比值判别法(达朗贝尔判别法)
        • 当ρ<1时，级数收敛
        • 或ρ>1时，级数发散
        • 当ρ=1时，可能收敛，也可能发散
      • 比较判别法
        • • 方法一：找等价无穷小(sinx，tanx)
          • 方法二：p=分母最高次减分子最高次
    • 绝对收敛与条件收敛
      • 绝对收敛：级数|Un|收敛，则级数Un收敛
      • 条件收敛：级数Un收敛，但级数|Un|发散
      • 结论
        • 绝对收敛的级数一定收敛
        • 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散
      • 绝对收敛与条件收敛相加减
        • 绝对+条件=条件
        • 绝对+绝对=绝对
        • 条件+条件=不定
  • 幂级数
    • 常见方程
      • 三 种 情 况
      • • 当ρ<1时，级数收敛
        • 或ρ>1时，级数发散
        • 当ρ=1时，可能收敛，也可能发散
    • 收敛区间和收敛域
      • 比值求收敛半径
      • 确定收敛区间
      • 带入两个端点，计算是否收敛
      • 若系数未给出用阿贝尔定理
        • 条件收敛是端点
        • 由比值可算出R，找出端点划分区域
        • 看题目是否给出某端点收敛，最后确定收敛去时加上
• 线性代数
  • 行列式
    • 二、三阶行列式
      • 对角线法则
    • n阶行列式
      • n阶行列式D等于任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和
      • n阶行列式D等于任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零
    • 性质
      • 若行列式的某列（行）的元素全为零，则D=0
      • 互换行列式的两行(列)，行列式变号
      • 若n阶行列式中有两列（行）相同，则|D=0
      • 倍加行（列）变换不改变行列式的值D=0
      • 若行列式的某一行(列)的各元素皆为两数之和，则D可以分成两个行列式之和
    • 克莱姆法则
      • 齐次线性方程组（b全为零）
        • D≠0，有唯一零解
        • D=0，有非零解
      • 非齐次线性方程组（至少有一个b≠0）
        • D≠0，有唯一解
        • D=0，有非零解
    • 矩阵
      • 常规矩阵
        • 单位矩阵
          • 主对角线全为1，其他全为0
        • 对角矩阵
          • 非主对角元素都是0的矩阵
        • 数量阵
          • 主对角线元素全为a
        • 上下三角矩阵
        • 对称矩阵
          • 对角线两侧对称位置上元素相等
        • 反对称矩阵
          • 主对角线元素为0，对称位置上的元素为相反数
      • 矩阵的运算
        • 加法
          • 同形矩阵对应位置分别相加
        • 数乘
          • kA=k×A每一个位置元素
        • 乘法
      • 运算法则
        • 加法
          • A+B = B+A
          • (A+B)+C = A+(B+C)
          • A+O = A
          • A-A=O
        • 数乘矩阵
          • k(mA) = (km)A = m(kA)
          • (k+m)A = kA+mA
          • k(A+B) = kA+kB
          • 1A = A, 0A=O
        • 乘法
          • (AB)C = A(BC)
          • A(B+C) = AB + AC
          • (B+C)A = BA + CA
          • 注
            • AB⇏BA(多数)
            • AB=0 ⇏A=0或B=0
            • AB = AC 且C≠0 ⇏ B=C
        • 转置
        • 方阵的行列式
        • 伴随矩阵
          • 定义
            • 由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵
              • 记作A*，注意排列方式
          • 运算公式
            • A*A = AA* = |A|E
              • 如果A可逆
                • 四个新公式P41
            • • |A|≠0
          • 求法
            • 定义法
              • 注意： （1）不要丢+-号 （2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置
            • 公式法
              • 注意： A可逆且A逆容易求
        • 可逆矩阵
          • 定义
            • A是n矩阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = E 则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵
              • 记作A^-1 = B
          • 定理
            • 定理1
              • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
                • A^-1
            • 定理2
              • A可逆的充要条件是 |A|≠0
            • 定理3
              • A,B为n阶可逆矩阵，且AB=E, 则BA=E
            • 定理4
              • A是n阶，如果AB=E,则A可逆，且B是A的逆矩阵
          • 充分必要条件
            • 存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)
            • |A|≠0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关
            • A的特征值全不为0
            • 非齐次方程组Ax=b有唯一解
            • 齐次方程组只有唯一解
          • 性质
          • 求法
            • 法一
            • 法二
              • • 由上向下变成上三角
                • 由下往上变对角
                • 行×k变主线为1
            • 法三
              • • 定义法 B=(E+A)^-1(E-A), 求(B+E)^-1?
            • 法四
              • 分块矩阵求
                • 主线
                • 副线
            • 法五
              • 初等矩阵的求逆
                • 性质
          • 证明矩阵(A..)可逆
            • 反证法
              • (A..)不可逆，则|(A...)|=0（结合方程组有无解）
            • |(A...)|≠0
            • 齐次方程组只有唯一解
  • 线性方程
    • 线性相关性
      • 线性相关
      • 线性无关
  • 齐次线性方程组
    • AX=0
      • R(A)=n，矩阵的秩等于未知数的个数，有唯一零解
      • R(A)<n，矩阵的秩小于未知数的个数，无穷多解
  • 非齐次线性方程组
    • AX=B
• 概率论初步
  • 随机事件及其概论
    • 事件间的关系和运算
      • 包含
      • 和（并）
      • 积（交）
      • 差
      • 互斥事件(互不相容)
      • 互逆事件(对立)
    • 运算
      • 交换律
        • A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
      • 结合律
        • A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
      • 分配律
        • A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
      • 对偶事件
        • 短杠变长杠， 开口变方向
      • 事件的独立性
        • P(AB)=P(A)P(B)
    • 随机事件的概率
      • 性质
        • 对于任意事件，有0≤P(A)≤1
      • 古典概率
      • 条件概率P(B|A)
        • 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率
      • 概率加法公式
        • P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
      • 概率乘法公式
        • P(AB)=P(A).P(B|A)=P(B).P(A|B)
    • 问 题 经 常 包 含 两 种 形 式
      • 排列
      • 组合
  • 随机变量及其分布
    • 离散型随机变量的分布列
    • 连续型随机变量的概率密度
      • f(x)≥0
    • 分布函数
      • • （1） 分段函数
        • （2） x的取值为分界点
        • （3） 单调不减
        • （4） 0，x<xmin
        • （5） 1，x≥xmax
    • 常用离散型随机变量的分布
      • 两点分布
      • 二项分布
      • 泊松分布
      • 超几何分布
    • 常用连续型随机变量的分布
      • 均匀分布
      • 指数分布
      • 正态分布
  • 随机变量的数字特征
    • 数学期望
      • 简称期望或均值，记作E(ξ)
      • 连续型随机变量的数学期望
    • 离差
      • ξ-E(ξ)
    • 方差
      • D(ξ)=E[ξ-E(ξ)]²
      • D(ξ)=E(ξ²)-[E(ξ)]²
    • 标准差
    • 性质
      • E(kξ)=kE(ξ)，D(kξ)=k²D(ξ)
      • E(aξ+b)=aE(ξ)+b，D(aξ+b)=a²D(ξ)
    • 常用随机变量的期望和方差
      • 两点分布
        • P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1-p=q；E(ξ)=p，D(ξ)=pq
      • 二项分布
      • 泊松分布
      • 几何分布
      • 超几何分布
      • 均匀分布
      • 指数分布
      • 正态分布