线性系统的时域分析法

线性系统的时域分析法知识导图，讲述了时域响应、动态性能、稳态性能、线性系统的稳定性分析、线性系统的准确性分析。

线性系统的时域分析法

• 基本概念
  • 时域响应
    • 响应c(t)=暂态响应分量+稳态响应分量
    • 零状态响应
      • 在零初始条件下得到的响应，只决定于系统本身
    • 零输入响应
      • 完全由输入输出的初始条件决定的项。
    • 响应：c(t)与系统结构参数有关、与外加输入信号、与初始条件有关。
    • 函数是什么关系，其响应也是同样的关系（导数与积分） 系统对输入信号导数的响应， 就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应， 就等于系统对该输入信号响应的积分； 积分常数由零初始条件确定。
  • 动态性能
    • 系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间 t 的变化状况的指标，为动态性能指标
    • 指标
      • 上升时间(tr) Rise Time
        • 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越 短，响应速度越快。对有振荡的系统，定义为响应从零第一次上升到 终值所需的时间。
      • .峰值时间（tp） Peak Time
      • 超调量（Maximum Overshoot）
      • 调整时间(ts) Settling Time
        • 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。 用稳态值的百分数（通常取5%或2%）
      • 振荡次数
  • 稳态性能
    • 指标
      • 稳态误差
        • 如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合， 就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
  • 一阶系统的单位阶跃响应曲线
    • 变化的快慢由T决定，也即闭环极点
    • 响应曲线在t=0时的切线斜率为1/T
  • 二阶系统的时域分析
    • 过阻尼 ξ>1
      • 两个不相等的实根
        • 主导极点（离虚轴近）
    • 临界阻尼 (ξ =1)
      • 两个相等的实根
        • 无超调单调上升过程，过渡过程时间长
    • 欠阻尼状态 (0 < ξ <1)
      • 一对共轭复根
    • 无阻尼状态 (ξ = 0）
      • 虚轴上，瞬态响应为等幅振荡
        • 等幅振荡
    • 负阻尼 (ξ < 0)
      • 两个正实部的特征根，响应发散
        • 响应 h(t)→∞是一个振荡发散过程， 这种系统是不稳定的
    • 总结
    • 指标计算
    • 讨论
    • 改善方法
      • 比例微分
        • 提前控制
      • 输出量负反馈
        • 增大
  • 高阶系统的单位阶跃响应
    • 只留下主导零极点
  • R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
• 线性系统的稳定性分析
  • 稳定性：指当扰动消失以后，系统可以以足够的准确度，经过一 段时间，可以恢复平衡状态的性质，叫稳定性。 相反，如果不能恢复平衡态叫不稳定
  • 设线性系统在初始条件为0时，作用一个理想脉冲
  • 稳定的充分必要条件： 闭环特征极点全都严格位于虚轴左侧
  • 判定线性系统稳定的基本方法
    • 1.特征方程法：解特征方程，求出特征根
    • 2.代数判据法：劳斯判据、赫尔维茨判据
      • 赫尔维茨判据
    • 3.根轨迹法： 图解法
    • 4.频率稳定判据：乃奎斯特判据
    • 稳定性只取决于闭环特征根(闭环极点）与系统零点无关。
  • 劳斯判据
    • 第一列全为正，则稳定； 变号次数是右根极点个数
      • 劳斯表某行第一个元素为0 ，而其他元素不全为0
        • 把0元素用任意小的正数ε 取代
      • 劳斯表某一行的元素全为0
        • <1> 用全0 元素的上一行构造辅助方程 <2> 将辅助方程对s求导 <3> 由求导后方程的各项系统取代0元素 <4> 由辅助方程可求不稳定的根
• 线性系统的准确性分析
  • 稳态误差：衡量系统的准确性能好坏，反映了系统跟踪控制信号，抑 制扰动信号能力。
  • 无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统; 有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统;
  • 稳态误差
    • 定义
      • 对于稳定系统，当其暂态响应分量衰减到足够小时稳态响应的期 望值与实际值的差，叫稳态误差
    • 暂态分量+稳态分量； 主控误差+扰动误差
    • 计算方法
      • 终值定理
      • 静态误差系数法（基于终值定理）
    • 讨论
      • （1）两个相同系统，输入信号不同，则稳态误差不同， 故稳态误差跟外界输入信号有关。 （2）稳态误差跟系统类型有关，跟结构及参数有关; （3）K越大 ess越小 准确性越好 稳定性越差 （4）各误差都是位置量纲的 （5）不同类型系统所跟踪的信号是不一样的 （6）不同类型系统所能跟踪的信号是不一样的; （7）系数反映系统消除稳态误差能力的大小，因此稳态误差 系数越大越好。 （8）类型越高，误差越小;
    • 动态误差系数法
      • 求法
    • 1. 提高G1(s)的放大倍数可以,减小esn 2. 当G1(s)中含有一个积分环节时,即扰动信号施加点以前的前向通道有积 分环节时, 还可消除扰动的误差. 3. 如果 设置于扰动施加以前,则对扰动误差与给定误差都可以减少
    • 改善系统的控制增益的措施 （减小或消除稳态误差的措施）