导图社区 高数
高数知识框架：第一章 函数极限连续（函数概念及常见函数、函数的性质、题型函数有界性，单调性，周期性及奇偶性的判定）、第二章 导数与微分
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高数
第一章 函数 极限 连续
函数
函数概念及常见函数
函数概念
定义1 总有一个
注 两个基本要素 定义域 对应规则
符号函数 取整函数 x-1 < [x] <= x
复合函数
定义2 Df 交 Rg 不为空集
反函数
定义3一个x对应一个y
注 (1)不是每个函数都有反函数
(2) 单调函数一定有反函数，反之则不然
(3) y=f(x) x=f(-1)(y)重合 y=f(x) y=f(-1)(x)关于y=x对称
(4) f(-1)[f(x)]=x f[f(-1)(x)]=x
例3
初等函数
定义4 幂(图像按指数由大到小) 指 对 三 反三 基本初等函数
定义5 常数和基本初等函数经过有限次 加 减 乘 除 和 复合 初等函数
函数的性质
单调性 定义
奇偶性 定义
注(1) 常见奇偶函数 奇 f(x)-f(-x) 偶 f(x)+f(-x) 板书1-18
(2) 奇函数图像关于原点对称 在x=0有定义f(0)=0 偶函数关于y轴对称
(3) 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇
周期性 定义
注 (1)sinx cosx 2派 sin2x ｜sinx｜ 派
(2)f(x) T f(ax+b) T/|a|
有界性 定义(有界，无界)
注 (1) f(x)为有界函数 定义域
(2) 常见有界 板书1-21
例5
有 存在M 任意 恒有<=
无 任取M 存在一个 使>
题型
函数有界性，单调性，周期性及奇偶性的判定 例6
复合函数 例7 8
极限
极限的概念
数列的极限
定义 任取 存在 当n>N 恒有
注 (1)反三 N 作用
(2)几何意义
(3)数列极限与前n项无关
(4)数列极限为a 等价于 该数列奇偶子列极限存在相等且等于a
数列极限为a则|数列|极限为|a|，反之不成立 ||a|-|b|| <= |a-b| 数列极限为0充分必要条件|数列|极限为|0|
函数的极限
自变量趋于无穷大时的函数极限 定义
正无穷
负无穷
无穷
定理 函数趋于无穷极限为A 等价 函数趋于正负无穷极限都为A
自变量趋于有限值时的函数极限 定义
注 (1) 反三的任意性，反三 得它 的作用
(2) 几何意义 图像 板书2-2
(3) x->x0 但x不等于x0
左极限 右极限
需要分左，右极限求极限的问题主要有三种
分段函数在分界点处的极限(在该分界点两侧函数表达式不同)
e的∞次方型极限
arctan∞型极限
定理 函数趋向x0极限A 等价 左右极限存在都等于A
极限的性质
唯一性
有界性
(数列) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界 收敛一定有界 有界不一定收敛 an=(-1)^n
(函数) 若f(x)在x趋于x0极限存在，则f(x)在x0某去心邻域有界(即局部有界) 极限存在一定局部有界 局部有界极限不一定存在 x->0 sin1/x
保号性
数列
极限推数列 A>0 存在 当 xn>0
数列推极限 有等号 存在 当 xn>=0 A>=0
函数 x->x0
极限推函数 A>0 存在得它 当去心邻域 xn>0
函数推极限 有等号
极限值与无穷小之间的关系
limf(x) = A <=> f(x) = A + a(x) 其中 lim a(x) = 0
极限存在准则
夹逼准则 n项和
单调有界准则 1. 证存在 2. a=f(a) =>a
无穷小量
无穷小量的概念
无穷小量的比较 高 低 同 等 无穷小的阶
无穷小的性质
有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
无穷小量与有界量的积仍是无穷小
无穷大量
无穷大量的概念
常用的一些无穷大量的比较 板书2-20
无穷大量的性质
两个无穷大量的积仍为无穷大量
无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
无穷大量与无界变量的关系
数列xn是无穷大量 任取 存在 当 恒有 都
数列xn是无界变量 任取 存在 使 有
无穷大量 => 无界变量
无穷大量与无穷小量的关系 f(x)不等于0
极限的概念性质及存在准则 选择 证明
例14
求极限 计算 填空
利用基本极限求极限
常用基本极限 板书3-5
1的∞次方型 分三步 写标准型 求极限(存在) 写结果
利用等价无穷小代换求极限
代换原则
乘除关系可以换
加减关系在一定条件下可以换 减 换后不等价 加 换后之比极限不为-1
常用的等价无穷小 板书3-12 例23推广(1+x)的a次方-1 ～ ax 例25
利用有理运算法则求极限
有理运算法则
注（1）存在 +- 不存在 = 不存在
(2) 不存在 +- 不存在 = 不确定
(3) 存在 */ 不存在 = 不确定
(4) 不存在 */ 不存在 = 不确定
常用结论 例29
极限非零的因子的极限可以先求出来
极限存在分母极限趋于0分子极限趋于0
极限存在且不等于0分子极限趋于0分母极限趋于0
利用洛必达法则求极限
注 适用类型 7种 例31 32 33
利用泰勒公式求极限
泰勒公式 常用泰勒 板书4-7 例36
利用夹逼原理求极限
例39(小结论) 40
利用单调有界准则求极限
证存在 算极限 例42(不等式)
利用定积分定义求极限
板书4-19(不等式)
n项和 夹逼 定积分
有lnx可试着拉格朗日 例21
无穷小量阶的比较
例43(推广) 47
两个无穷小相加减，求极限时可舍去高阶无穷小
函数的连续性
连续性的概念 例3
定义1
定义2 存在 相等 有意义
定义3 左，右连续
定理 函数连续 等价于 函数左连续且右连续
定义4 区间上连续
间断点及其分类
定义5 间断点的定义
x0的某去心邻域有定义，但x0处不连续
间断点的分类
第一类间断点 左右极限存在
可去 相等
跳跃 不等
第二类间断点 左右至少一个不存在
震荡
等
连续性的运算与性质
定理1 连续函数和差积商(分母不为零)仍连续
定理2 连续函数复合仍连续
定理3 基本初等函数在其定义域内是连续
定理4初等函数在其定义区间内是连续
闭区间上连续函数的性质
定理5(有界性定理)
闭区间连续，闭区间有界
定理6(最值定理）
闭区间连续，有最大最小值
定理7(介值定理）
闭区间连续，端点值不等。 闭区间连续，区间内可取到最小最大值之间的一切值
*定理8(零点定理）
闭区间连续，端点值异号
讨论函数连续性及间断点的类型 * 例8
有关闭区间上连续函数性质的证明题 例10
第二章 导数与微分
导数与微分的概念
导数的概念 6-3
定义1 导数 （x0+三角x
子主题
导数公式与求导法则
高阶导数
导数定义
复合，隐函数，参数方程求导
导数应用
主题
