导图社区 考研数学高数基础13学霸笔记
根据网易有道考研数学网课学霸笔记整理而成,条分缕析,思路清晰,帮助各路考研学子梳理思路、一战成硕!
社区模板帮助中心,点此进入>>
考研数学高数基础13学霸笔记
教材高数13 幂级数
先积分再求导 先求导再积分 化为泰勒级数
数三截止,数三大题所在
一、函数项级数
1.概念
通项全部是幂函数那就是幂级数,通项若全部是三角函数那就是三角级数
收敛域可以理解为定义域
2.重要级数
幂级数(数学一、三)
灵活性较高
傅里叶级数(三角级数)(仅数学一)
考法灵活性比较差
二、幂级数
2.收敛区间与收敛域
收敛区间相当于收敛域去掉两个端点的开区间
(1)比值法、根值法
比值法
根值法
总结
<1 解得收敛区间
绝对收敛
可以直接根据收敛区间去判断端点代入是否收敛
=1 讨论
计算出来收敛的结果留下来并入收敛域就是端点
当然也可能计算出来发散的结果
收敛的结果分类
条件收敛
收敛域
经典例题
根据式子就可以看出来收敛中心在哪里
>1 发散
(2)阿贝尔定理
(3)收敛半径
因为极限不一定存在所以若给出收敛半径无法推导出ρ
若极限不存在就尝试根号法
相关思考
极限不存在就是无穷大吗?
极限不存在不一定是无穷大,但无穷大一定是一种特殊的极限不存在的情况
为何若给出收敛半径无法推导出ρ?
比值法求不出来极限但是切换为根值法可能就会求出R
比值法与根值法结果并不同步
求收敛半径
注意遇到一般类型的幂函数采用方法一需要换元
如果原式子是(x-1)的3n次方则算出来还要开三次方
3.幂级数求和函数
性质1怎么用?——求某一点处和函数值可以通过求该点处的极限来迂回求解
性质2其中逐项积分中积分的下限最好是收敛中心,这样比较好算
题型总结
基本题型
升级题型
乘除含n的某数
引申
易错点
关于抽象幂级数变换角标的问题
仅仅在先求导再积分时候会遇到
数项级数模样
经常转换成幂级数
重要结论
求导、积分、平移不改变收敛半径
但求导和积分可能改变端点的敛散性
因此某些求解可以类比已知的基本类型从而快速求解
4.函数展开成幂级数
实质就是泰勒公式
泰勒级数
题型
定义域和收敛域必须要互相对比且有共同的部分才可以
收敛域要参考定义域
不方便直接展开的话那就先求导再积分