导图社区 考研数学高数基础15学霸笔记
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考研数学高数基础15学霸笔记
教材高数15 三重积分与傅里叶级数
一、三重积分的概念
三重积分的意义
物理意义
几何意义
不均匀的空间物体的质量
内容
二、三重积分的性质（与二重积分一致）
1.普通对称性(偶倍奇零)
2.轮换对称性
题型
函数等于z，可以看成含有x、y但系数为0
三、三重积分的计算
1.截面法
理解关键
就是相当于把计算对象切割成很多可以二重积分计算的平面薄片
重要题型
计算简便性思考
式子中仅有x存在，最简单的一定是将x当成常数来处理(最简单入门题型就是式子中仅有一个常数)，因此垂直于x轴切割形成的薄片，计算薄片质量时候就可以将x当成常数处理，从而简化计算
2.投影法
犹如将计算对象切割成为土豆丝，累积土豆丝
3.柱面坐标
相当于投影法+极坐标系
即用投影法写出来的式子，将前边投影部分替换成极坐标形式，后边出现x、y的部分相应调整成r、θ的式子
4.球面坐标(小题常考)
升级版极坐标系
四、三重积分的应用
1.形心与质心
2.转动惯量
下角标x、o、y分别表示绕着x轴旋转，绕着原点旋转，绕着xoy平面旋转(高维空间)
五、傅里叶级数（三角级数）
学会基本计算即可
研究内容
周期函数，通过三角函数的叠加来模拟一般的周期函数
1.三角函数系
两两相乘用积化和差公式可以求出为0
一个函数的平方可以用点火公式求出为π
2.傅里叶级数
总结
注意
A0表示常数
a0的出现完全就是为了数学上的形式美感
思想方法
对于含有初相位的三角函数式子，展开并换元得到不含初相位的三角函数式子然后就可以用三角函数系的知识求解
3.狄利克雷收敛定理
在一个周期内至多只有有限个极值点
意味着函数不可以是振荡
间断点的时候，级数不一定收敛于该点的函数值，但却收敛于左右极限的平均值
点评
傅里叶级数具有非常好的收敛性，几乎处处收敛
题型总结
模板步骤
写式子，求参数，写式子，根据定理算需排除的点，列式子
思考
奇函数展开成了正弦级数，偶函数展开成了余弦级数
4.正弦级数、余弦级数
常考原因
计算量不太大但考查知识点较多
经典题型
