高等代数第五章二次型

高等代数知识点整理分享，将二次型化为标准形的方法：配方法-二次型中含有平方项、平方差法-二次型中只有交叉项。

五 二次型

• 二次型及其矩阵表示
  • 二次型的定义：二次齐次多项式
  • 线性替换、非退化
  • 二次型的矩阵：对称矩阵且唯一
    • A=A'
  • 二次型可用矩阵的乘积表示：X'AX
  • 合同变换
    • 合同的定义
    • 合同关系是一种等价关系
      • 自反性
      • 对称性
      • 传递性
• 标准形
  • 不唯一，与所作的非退化线性替换有关
  • 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式
    • 标准形
  • 将二次型化为标准形的方法
    • 配方法-二次型中含有平方项
    • 平方差法-二次型中只有交叉项
    • 非退化线性替换
  • 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵
  • 根据二次型的非退化线性替换进行矩阵的合同变换
• 唯一性
  • 规范形
  • 复二次型
    • 规范形：由二次型矩阵的秩r决定
    • 任意一个复二次型经过一适当的非退化线性替换都可以变成规范性
    • 两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等
    • 规范形的矩阵表示
  • 实二次型
    • 规范形：由秩r、正惯性指数p两个数决定
    • 任意一个实二次型经过一适当的非退化线性替换都可以变成规范性
    • 规范形的唯一性的证明
    • 正惯性指数、负惯性指数、符号差
    • 规范形的矩阵表示
  • 惯性定理：规范形的唯一性
• 正定二次型
  • 正定二次型的定义
  • 非退化实线性替换保持正定性不变
  • n元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n
    • 正定二次型的规范形的表示
  • 若二次型X'AX正定，则实对称矩阵A称为正定的
  • 正定矩阵的性质
    • 行列式大于0
    • 与单位矩阵E合同
  • 顺序主子式的定义
  • 实二次型是正定的充要条件是矩阵A顺序主子式全大于0（证明）
  • 负定、半正定、半负定、不定二次型的定义
  • 半正定二次型的5个等价条件