导图社区 考研数学高数基础07学霸笔记
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考研数学高数基础07学霸笔记
教材高数07 反积分与定积分的几何应用
知识铺垫
定积分（常义积分）
基本理解
即可以通过分割、近似、求和取极限来进行研究
反常积分
即无法通过分割、近似、求和取极限来进行研究
两种情形
区间是无穷区间
区间有限但是函数趋于无穷
一、反常积分的概念及计算
1.无穷限的反常积分
（1）概念（其中还有个敛散性的概念）
误区辨析
这种思路是错误的，误解了第三种情况，不可以将正负无穷理解为相反数（二者趋向的速度可能不同），第三种情况必须分别算出极限再相减
（2）计算
原则
只要是收敛的，就满足“偶倍奇零”
考研必考收敛
收敛与发散的判定
对于该原则的正确理解
只是形式上的“偶倍奇零”，因为正负无穷趋向于的速度不一样（即正负无穷不是相反数）
详细的推理证明
简而言之就是最终的结果形成了“偶倍奇零”
实例
基础实例（理解知识）
进阶实例（经典须记住——形成了二级结论）
P积分与对数P积分（通过换元可以变成P积分类型）
老师点拨
随着P的变化，图像就像一个弯曲跷跷板一样，这边压住另一边就弹起来
高阶实例——形成了大的必记规律
伽马函数考查规律： 数学一、三需掌握 数学二仅仅记住结论即可
2.无界函数的反常积分
（1）概念
重要注意点
瑕点
也就是无界的点
何时取负何时取正？
看是在积分的上限还是下限
在积分上限，瑕点取负（左侧）
在积分下限，瑕点取正（右侧）
计算或者判定时候要看清楚有几个瑕点，是否需要分开讨论
关于对数函数的计算
讨论P积分
二、反常积分敛散性的判定
比较审敛原理
原理内容
推广应用
也就是看被积函数与谁相似
前提条件
定理
原则方法
典型实例
判断方法总结
放缩法
往往针对分式
有界性
往往针对有三角函数的情况
极限法
x趋向于无穷时候，用“等价无穷大”
如何处理瑕点？
转化为等价或者同阶无穷小量
三、定积分的几何应用（微分法）
1.求面积
（1）直角坐标
（2）极坐标
（3）参数方程
数一、二重点，数三了解
2.求体积
（1）旋转体
绕x轴
绕y轴
绕一般轴（平行于x或者y轴）
均是绕轴旋转
但是就算考查一条轴穿过所求面积也一定是对称的（不对称穿过实在是太复杂了）
了解即可
涉及到二重积分
二重积分使用注意事项
简单类型不如直接使用定积分（因为二重积分在该类型上的结论便是定积分）
补充知识
点到直线的距离
（2）已知平行截面面积的立体体积
3.求弧长（仅数学一、二）
4.求侧面积（仅数学一、二）
