圆锥曲线与方程学习笔记

高三备考！圆锥曲线与方程讲述了曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线。本图内容详尽，条理清晰，绝对是备考签到小帮手，收藏下图学习吧！

圆锥曲线与方程

• 曲线与方程
  • 定义
    • 在坐标系中，曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）0的实数解建立了如下的关系
      • ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解
      • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
  • 基本步骤
    • ①建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上任一M的坐标
    • ②写出适合的条件p的点M的集合P={M|p（M）}
    • ③用坐标表示条件P(M),列出方程f（x，y）=0
    • ④化方程f（x，y）=0为最简形式
    • ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
  • 常见轨迹
    • 到两点距离相等的点的轨迹=连接两点的线段的垂直平分线
    • 到角两边距离相等点的轨迹=是这个角的平分线所在直线
    • 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆
    • 到直线的距离等于某一定值的点的轨迹=与这条直线平行的两条直线
• 椭圆
  • 定义
    • 平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点为焦点，焦点的距离叫做椭圆的焦距
  • 标准方程
    • 拓展
      • 椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为2b²/a
      • 到中心距离最小的点为b点，距离最大的点a点
      • 焦点距离最大的点是a点
      • 以椭圆上一点P，焦点为顶点的三角形
        • ①|PF₁|+|PF₂|=2a
        • ②4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosθ
        • ③S△PF₁F₂=1/2*|PF₁||PF₂|sinθ
  • 简单几何性质
    • • 离心率的范围0<e<1,e越接近1，则c越接近a，b=√a²-c²越小，椭圆越扁
      • e越接近0，则c越接近于0，b越接近a，椭圆越接近圆
      • 当且仅当a=b，c=0，两焦点重合，图形为圆，方程为x²+y²=a²
      • 焦点永远在长轴上
• 双曲线
  • 定义
    • 平面内与两个定点F₁F₂的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹，F₁，F₂为焦点，焦点距离叫做焦距
  • 标准方程
    • 焦点在x轴上
    • 焦点在y轴上
    • c²=a²+b²
  • 简单几何性质
    • 离心率e的取值范围e>1,当e越来越接近1，双曲线开口越小，e越接近+∞时，开口越大
    • 渐近线可以看成是标准方程将1换为0得到的方程，双曲线和渐近线无限接近但不相交
  • 特殊双曲线
    • 等轴双曲线
      • 实轴和虚轴等长的双曲线，叫做等轴双曲线
      • 标准方程
        • x²-y²=a²
        • y²-x²=a²
      • e=√2
      • 渐近线为y±x
    • 共轭双曲线
      • 以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的另一双曲线叫做共轭双曲线
      • 已知双曲线的方程为
        • 其共轭双曲线的方程得-1
      • 性质
        • ①互为共轭的双曲线有相同的渐近线，相同的焦距
        • ②它们的四个焦点在同一个圆x²+y²=a²+b²上
        • ③它们的两个的离心率的倒数的平方和为1
• 抛物线
  • 定义
    • 平面内一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线
  • 标准方程
    • 焦点在x轴上
      • 标准方程y²=±2Px（P>0）
      • 焦点为（±P/2，0）
      • 准线方程x=±P/2
    • 焦点在y轴上
      • 标准方程x²=±2Py（P>0）
      • 焦点为（0，±P/2）
      • 准线方程y=±P/2
  • 简单几何性质
    • p的几何意义是抛物线焦点到准线的距离，对方程y²=2px（p>0）当x值确定时，|y|越大，抛物线开口越大
  • 焦点弦的性质
    • 设AB是过抛物线焦点F的弦，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
      • ①x₁x₂=p²/4，y₁y₂=-P²
      • ②弦长|AB|=x₁+x₂+P=2P/sin²α（α为弦AB的倾斜角）
      • ③1/|FA|+1/|FB|=2/P
      • ④以弦AB为直径的圆与准线相切