圆锥曲线与方程学习笔记

高三备考！圆锥曲线与方程讲述了曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线。本图内容详尽，条理清晰，绝对是备考签到小帮手，收藏下图学习吧！

圆锥曲线与方程

曲线与方程

定义

在坐标系中，曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）0的实数解建立了如下的关系

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点

基本步骤

①建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上任一M的坐标

②写出适合的条件p的点M的集合P={M|p（M）}

③用坐标表示条件P(M),列出方程f（x，y）=0

④化方程f（x，y）=0为最简形式

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上

常见轨迹

到两点距离相等的点的轨迹=连接两点的线段的垂直平分线

到角两边距离相等点的轨迹=是这个角的平分线所在直线

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆

到直线的距离等于某一定值的点的轨迹=与这条直线平行的两条直线

椭圆

定义

平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点为焦点，焦点的距离叫做椭圆的焦距

标准方程

拓展

椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为2b²/a

到中心距离最小的点为b点，距离最大的点a点

焦点距离最大的点是a点

以椭圆上一点P，焦点为顶点的三角形

①|PF₁|+|PF₂|=2a

②4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosθ

③S△PF₁F₂=1/2*|PF₁||PF₂|sinθ

简单几何性质

离心率的范围0<e<1,e越接近1，则c越接近a，b=√a²-c²越小，椭圆越扁

e越接近0，则c越接近于0，b越接近a，椭圆越接近圆

当且仅当a=b，c=0，两焦点重合，图形为圆，方程为x²+y²=a²

焦点永远在长轴上

双曲线

定义

平面内与两个定点F₁F₂的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹，F₁，F₂为焦点，焦点距离叫做焦距

标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

c²=a²+b²

简单几何性质

离心率e的取值范围e>1,当e越来越接近1，双曲线开口越小，e越接近+∞时，开口越大

渐近线可以看成是标准方程将1换为0得到的方程，双曲线和渐近线无限接近但不相交

特殊双曲线

等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线，叫做等轴双曲线

标准方程

x²-y²=a²

y²-x²=a²

e=√2

渐近线为y±x

共轭双曲线

以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的另一双曲线叫做共轭双曲线

已知双曲线的方程为

其共轭双曲线的方程得-1

性质

①互为共轭的双曲线有相同的渐近线，相同的焦距

②它们的四个焦点在同一个圆x²+y²=a²+b²上

③它们的两个的离心率的倒数的平方和为1

抛物线

定义

平面内一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线

标准方程

焦点在x轴上

标准方程y²=±2Px（P>0）

焦点为（±P/2，0）

准线方程x=±P/2

焦点在y轴上

标准方程x²=±2Py（P>0）

焦点为（0，±P/2）

准线方程y=±P/2

简单几何性质

p的几何意义是抛物线焦点到准线的距离，对方程y²=2px（p>0）当x值确定时，|y|越大，抛物线开口越大

焦点弦的性质

设AB是过抛物线焦点F的弦，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

①x₁x₂=p²/4，y₁y₂=-P²

②弦长|AB|=x₁+x₂+P=2P/sin²α（α为弦AB的倾斜角）

③1/|FA|+1/|FB|=2/P

④以弦AB为直径的圆与准线相切