导图社区 圆锥曲线与方程学习笔记
高三备考!圆锥曲线与方程讲述了曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线。本图内容详尽,条理清晰,绝对是备考签到小帮手,收藏下图学习吧!
编辑于2019-10-20 08:39:52圆锥曲线与方程
曲线与方程
定义
在坐标系中,曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
基本步骤
①建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任一M的坐标
②写出适合的条件p的点M的集合P={M|p(M)}
③用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0
④化方程f(x,y)=0为最简形式
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
常见轨迹
到两点距离相等的点的轨迹=连接两点的线段的垂直平分线
到角两边距离相等点的轨迹=是这个角的平分线所在直线
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆
到直线的距离等于某一定值的点的轨迹=与这条直线平行的两条直线
椭圆
定义
平面内与两个定点F₁,F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点为焦点,焦点的距离叫做椭圆的焦距
标准方程
拓展
椭圆的通径:过焦点且垂直于长轴的弦,长为2b²/a
到中心距离最小的点为b点,距离最大的点a点
焦点距离最大的点是a点
以椭圆上一点P,焦点为顶点的三角形
①|PF₁|+|PF₂|=2a
②4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosθ
③S△PF₁F₂=1/2*|PF₁||PF₂|sinθ
简单几何性质
离心率的范围0<e<1,e越接近1,则c越接近a,b=√a²-c²越小,椭圆越扁
e越接近0,则c越接近于0,b越接近a,椭圆越接近圆
当且仅当a=b,c=0,两焦点重合,图形为圆,方程为x²+y²=a²
焦点永远在长轴上
双曲线
定义
平面内与两个定点F₁F₂的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹,F₁,F₂为焦点,焦点距离叫做焦距
标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
c²=a²+b²
简单几何性质
离心率e的取值范围e>1,当e越来越接近1,双曲线开口越小,e越接近+∞时,开口越大
渐近线可以看成是标准方程将1换为0得到的方程,双曲线和渐近线无限接近但不相交
特殊双曲线
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线,叫做等轴双曲线
标准方程
x²-y²=a²
y²-x²=a²
e=√2
渐近线为y±x
共轭双曲线
以一双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的另一双曲线叫做共轭双曲线
已知双曲线的方程为
其共轭双曲线的方程得-1
性质
①互为共轭的双曲线有相同的渐近线,相同的焦距
②它们的四个焦点在同一个圆x²+y²=a²+b²上
③它们的两个的离心率的倒数的平方和为1
抛物线
定义
平面内一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线
标准方程
焦点在x轴上
标准方程y²=±2Px(P>0)
焦点为(±P/2,0)
准线方程x=±P/2
焦点在y轴上
标准方程x²=±2Py(P>0)
焦点为(0,±P/2)
准线方程y=±P/2
简单几何性质
p的几何意义是抛物线焦点到准线的距离,对方程y²=2px(p>0)当x值确定时,|y|越大,抛物线开口越大
焦点弦的性质
设AB是过抛物线焦点F的弦,若A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
①x₁x₂=p²/4,y₁y₂=-P²
②弦长|AB|=x₁+x₂+P=2P/sin²α(α为弦AB的倾斜角)
③1/|FA|+1/|FB|=2/P
④以弦AB为直径的圆与准线相切