选修导数及其应用

高三备考必看！高中数学选修导数及其应用读书笔记来啦！导数的概念、导数的运算、复合函数的导数、函数单调性、函数极值和最值以及生活中的实际应用等内容都可以在下图中找到相关的知识归纳。

导数及其应用

• 概念
  • 从x₁到x₂平均变化率：△x
    • △x是一个整体符号，△x=x₂-x₁
    • △x是对x₁的一种增量，可用x₁+△x代替x₂
    • 类似地：△y=f（x₂）-f（x₁），平均变化率表示△y/△x（△x不为0）
  • 导数
    • 函数f（x）在x=x₀处的顺时变化率
    • 即函数y=f（x）在x=x₀的导数，记作f'（x）
  • 导函数
    • 当x≠x₀，x变化时，f'（x）便是x的一个函数，即f（x）的导函数
  • 几何意义
    • 函数f（x）在x=x₀处的导数就是切线PT的的斜率k
    • 物理意义为运动物体在某一时刻的瞬时速度
• 运算
  • 导数公式
  • 运算法则
• 复合函数的导数
  • 定义
    • y=f(g(x))
  • 求导法则
    • y=f(g(x))的导数和y=f（u），u=g（x）的导数间的关系为Yx'=Yu'*Ux'，即y对u的导数与u对x的导数的乘积
• 函数单调性
  • 定义
    • 在某个区间（a，b）内如果f'（x）>0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，如果<0，单调递减，=0则f（x）在区间内为常数
    • f（x）为增函数推不出f'(x)>0
  • 利用导数确定函数的单调性步骤
    • ①确定函数f（x）的定义域
    • ②求出函数的导数
    • ③解不等式f'(x)>0，得函数的单调递增区间。<0则递减
• 函数极值
  • 定义
    • 极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小
    • 极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
    • 函数的极值不是唯一的，即一个函数的某区间上或和定义域内极大值或极小值可以不止一个
  • 求函数y=f（x）的方法
    • 当f'(x₀)=0时，如果x₀附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x)₀是极大值，左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,那么f(x₀)是极小值
• 函数最值
  • 定义
    • 在区间内，函数曲线上一定能够取到最值，并且最值必须在极值点或端点处取得
    • 图像在开区间不一定有最值，如果只有一个极值，则该极值为最值
    • 极值不一定是最值
  • 求y=f（x）在[a，b]上最值的步骤
    • ①求函数y=f（x）在（a，b）内的极值
    • ②将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
• 生活中优化问题举例
  • 优化问题的概念
    • 求利润最大，用料最省，效率最高等问题
  • 基本思路
  • 解决问题的步骤
    • ①分析实际问题中各量之间的关系，列出数学模型
    • ②写出变量之间的函数关系y=f（x）
    • ③求函数的导数f'（x）,解方程f'（x）=0
    • ④比较函数在区间的端点和使f'（x）=0的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值