导图社区 高等数学A1
- 403
- 11
- 2
- 举报
高等数学A1
下图汇总了高等数学A1的知识点，包括函数与极限、导数与微分、微积分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等。
编辑于2022-04-12 17:09:42- 高等数学A1
- 相似推荐
- 大纲
高等数学A1
本思维导图由于制作匆忙有可能存在遗漏或错误，若为您带来不便，烦请谅解。
第一章 函数与极限
映射与函数
映射
复合映射
定义：两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。其中，b称为元素a在映射f下的像，记作：b=f(a)。a称为b关于映射f的原像。集合A中所有元素的像的集合称为映射f的值域，记作f(A)。
满射：B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原像可以多个） 单射：原像集中不同元素的像不同的映射称为单射 ：若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集。 双射：若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的双射。
逆映射：设 f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样得到的映射称为映射 f：A→B的逆映射，记作 1/f：B→A。
设有两个映射g：X→Y，f：A→Z，其中Y⊆A，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，他将每个x∈X映成f[g（x）]∈Z，这个映射称为映射g和f构成的复合映射记作f·g。g的值域必须包含在f的定义域内，否则，不能构成复合映射。
函数
定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。A称为定义域，B称为值域。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
表示方法
表格法
图形法
解析法（公式法）
类别
绝对值函数|x|
取整函数（阶梯曲线y=[x]） （非初等函数）
分段函数：对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的 并集，值域也是各段函数值域的并集
反函数：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=1/f(y) 。反函数x=1/f (y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
复合函数：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量。
特性
有界性：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
单调性：也叫函数的增减性，描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f（x）的自变量在其定义区间内增大时，函数值也随着增大，则称该函数为在该区间上单调递增。当函数f（x）的自变量在其定义区间内减小时，函数值也随着减小，则称该函数为在该区间上单调递减。单调递增和单调递减统称为函数的单调性。函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。
奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫基函数。奇函数关于原点成中心对称，偶函数图象关于y的轴对称。
周期性：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
运算：（f±g）（x）=f（x）±g（x），x∈D。（f · g）（x）=f（x）· g（x），x∈D。（f/g）（x）=f（x）/g（x），x∈D或{x|g（x）=0，x∈D}。
初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
函数的极限
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都有δ>0，使不等式在|f（x）-a|<ε在|x-x0|∈（0，δ）时恒成立，那么常数就叫做函数f（x）当x→x0时的极限，记作当x→x0时f（x）→A。
邻域：以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设δ是任一正数，则开区间(a－δ，a+δ)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域。去心邻域则是指在a的邻域中去掉a的数的集合。
单侧极限
左极限：假设f（x）是定义在区间（a，b）上的函数，如果下列准则成立：任意给定正数ε，能够找到δ>0，使得满足不等式b-δ<x<b的一切x，恒有|f（x）-a|<ε。则称当由左边趋于b时，收敛于极限a。记为f（x0^-）=A。
右极限：假设f（x）是定义在区间（a，b）上的函数，如果下列准则成立：任意给定正数ε，能够找到δ>0，使得满足不等式b<x<b+δ的一切x，恒有|f（x）-a|<ε。则称当由右边趋于b时，收敛于极限a。记为f（x0^+）=A。
函数在一点处极限存在时，函数在此处的左极限和右极限均存在，且左右极限相等。
性质
唯一性：如果极限当x→x0时f（x）→A，那么这个极限唯一。
局部有界性:如果一个函数收敛（有极限），那么这个函数一定有界。
局部保号性：如果极限当x→x0时f（x）→A，且A>0或A<0，那么存在常数δ>0，使得0<|x-x0|<δ是，有f（x）>0或f（x）<0。
函数与数列极限存在关系
无穷大与无穷小
无穷小
若果函数f（x）当x→x0或x→∞时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→x0或x→∞时的无穷小。
定理：在自变量的同一变化过程x→x0或x→∞中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小。
无穷大：函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。
定理：在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。
极限运算法则
两个无穷小的和是无穷小。
有限函数和无穷小乘积是无穷小。
如果limf（x）=A，limg（x）=B，那么（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；（2）lim[f（x）•g（x）]=limf（x）•limg（x）=A•B；若又有B≠0，则lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x）=A/B。
如果f（x）≥g（x），而limf（x）=A，limg（x）=B，那么A≥B。
设函数y=f[g（x）]是由函数u=g（x）与函数y=f（u）复合而成，f[g（x）]在点x0的某去心邻域内有定义，若当x→x0时g（x）→u0，当u→u0时f（u）→A，且存在δ0>0，当x∈点x0的δ0去心邻域时，有g（x）≠u0，则当x→x0时f[g（x）]→A=当u→u0时f（u）→A。
极限存在法则/两个重要极限
夹逼准则：如果当x∈点x0的r去心邻域或|x|>M时，g（x）≤f（x）≤h（x）；且当x→x0或x→∞时，g（x）=A，h（x）=A，那么当x→x0或x→∞时，f（x）存在且等于A。
设函数f（x）在点x0的某个左邻域内单调且有界，则f（x）在x0的左极限必定存在。
柯西极限存在准则：当x→x0函数f（x）收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x1-x0|<δ，0<|x2-x0|<δ时，有|f（x1）-f（x2）|<ε。当x→∞时函数f（x）收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当|x1|>X，|x2|>X时，有|f（x1）-f（x2）|<ε。x1、x2是f(x)的定义区间上任意两个实数。以上准则针对单侧极限依然有效。
无穷小的比较
如果lim（β/α）=0，那么β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）。如果lim（β/α）=∞，那么β是比α低阶的无穷小。如果lim（β/α）=c≠0，那么β和α是同阶的无穷小。如果lim（β/α^k）=c≠0，那么β是α的k阶无穷小。如果lim（β/α）=1，那么β和α是等阶无穷小，记作α~β。
定理：b=a+0(a)
等价无穷小的性质
反射性
对称性
传递性
函数的连续性与间断点
连续性
定义：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果当Δx→0时Δy=0，那么函数y=f（x）在点x0连续。
增量：设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值和初值的差u2-u1就叫做变量u的增量，记作Δu。
左连续：若函数f（x）在x0处的左极限为f(x0)，即f(x0+0)=f(x0)，则称f在x0处左连续。 右连续：若函数f（x）在x0处的右极限为f(x0)，即f(x0+0)=f(x0)，则称f在x0处右连续。
区间上的连续函数：函数在该区间上连续。若区间包括断点，那么函数在右端点连续是指左连续；函数在左端点连续是指右连续。
间断点
定义：设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义，在此前提下如果函数f（x）满足下列三种前提之一：在x=x0处没有定义；虽在x=x0有定义，但x→x0时f（x）不存在；虽在x=x0有定义，且当x→x0时f（x）存在，但x→x0时f（x）≠f（x0），那么函数f（x0）在点x0为不连续，点x0为不间断点。
连续函数的运算与初等函数的连续性
设函数f（x）和g（x）在点x0连续，则它们的和差f（x）±g（x）、积f（x）·g（x）及商（f（x））/（g（x））都在点x0连续。
如果函数y=f（x）在区间Ix上单调增加或单调减少且连续，那么其反函数 x=1/f（y）也在对应的区间Iy={y|y=f（x），x∈Ix}上单调增加或单调减少且连续。
复合函数：设函数y=f[g（x）]是由函数u=g（x）与函数y=f（u）复合而成，U（x0）⊆D（f·g）。若函数u=g（x）在x=x0连接，且g（x0）=u0，而函数y=f（x）在u=u0连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0也连续。
初等函数在定义区间内连续。
闭区间上连续函数的性质
对于区间I上有定义的函数f（x），如果有x0∈I，使得对于任意x∈I都有f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），那么f（x0）是函数f（x）在区间I上的最大值（最小值）。
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得其最大值和最小值。
零点定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）×f（b）<0，则在开区间（a，b）内至少有一点c，是f（c）=0。
介值定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上拦截，且在这区间的端点取不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一个点c，使得f（c）=C（a<c<b）。
一致连续性定理：某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足|x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。
第二章 导数与微分
导数概念
定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为f‘（x0），即f’（x0）=（当Δx→0时）Δy/Δx。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，那么就称函数f（x）在开区间I内可导。这时，对于任意x∈I，都对应着f（x）的一个确定的导数值。这样就构成了一个新函数，这个函数就叫做原来函数y=f（x）导函数，记作y‘或f’（x）。
导数公式：若f（x）=C（C为常数），f‘（x）=0；若f（x）=x^n（n为不等于1的实数），f‘（x）=nx^（n-1）；若f（x）=x，f‘（x）=1；若f（x）=sin x，f‘（x）=cos x；若f（x）=cos x，f‘（x）=-sin x；若f（x）=a^x（a>0，a≠1），f‘（x）=（a^x）ln a；若f（x）=log a x（a>0，a≠1），f‘（x）=1/（xln a）。
几何意义：一个函数f（x）在点x0处的导数等于这个函数在点x0处的斜率。
可导性与连续性的关系：一个函数如果可导那么必然连续，但是一个函数如果连续这个函数不一定可导。
导数的求导法则
如果函数y=f（x）和y=g（x）都在点x具有导数，那他们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）[f（x）±g（x）]‘=f‘（x）±g’（x）；（2）[f（x）g（x）]‘=f’（x）g（x）+f（x）g‘（x）；[f（x）/g（x）]’=（f‘（x）g（x）-f（x）g’（x））/g^2（x），其中g（x）≠0。
如果函数x=f（y）在区间Iy内单调、可导且f‘（y）≠0，那么它的反函数y=1/f（x）在区间Ix={x|x=f（y），y∈Iy}内也可导，且[1/f（x）]’=1/（f‘（x））。
设y=f（u），且u=g（x）且f（u）及g（x）都可导，则复合函数y=f[g（x）]导数为y’（x）=f‘（u）· g’（x）。
高阶导数
定义：函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数。我们把y‘=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数，记作y‘’。相同的，我们将二阶导数的导数叫做三阶导数。以此类推，（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数，记作y^（n）。如果函数y=f（x）具有n阶导数那么这个函数f（x）为n阶可导。如果一个函数拥有n阶导数那么这个函数一定拥有一切低于n阶的导数。
莱布尼兹公式
记忆方式，类比（u+v）^n按二项式定理展开
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数/相关变化率
显函数：一个函数如果能用形如y=f（x）的解析式表示，其中分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数。
隐函数：如果由方程F（x，y）可确定y是x的函数，即在某个范围内存在函数y=f（x），是F（x，f（x））=0，由这种方式表示的函数是隐函数。
将隐函数化成显函数叫做隐函数的显化。
求导方法隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：先在隐函数的两边取对数，然后再求出函数的导数。
相关变化率的定义：设x=x（t）及y=y（t）都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率x’与y’之间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
函数的微分
定义：设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为Δy=AΔx+o(Δx),其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f（x）在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f（x）在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。
主部/线性主部：设a和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，如果b=a+o（a），则称a是b的主部。
函数f（x）点x=可微的充分必要条件是函数f（x）在点x0可导，且当f（x）在点x0可微时，其微分一定是dy=f‘（x0）Δx。函数y=f（x）在任一点x的微分，称为函数的微分，记作dy，即dy=f‘（x）Δx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。只要将函数的导数乘自变量的微分就能得出函数的微分。
几何意义：对于可微函数y=f（x）而言，当Δy是曲线y=f（x）上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当|Δx|很小时，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
函数和差积商的微分法则：d（a±c）=da±dc；d（Ca）=Cda；d（ac）=a dc+c da；d（a/c）=（c da-a dc）/（c^2），其中c≠0.
复合函数的微分法则：设y=f（u）及u=g（x）都可导，则复合函数y=f[g（x）]的微分为dy=f‘（u）g‘（x）dx。
微分的应用
函数的近似计算
误差估计
间接测量误差
绝对误差 相对误差 绝对误差限（简称绝对误差） 相对误差限（简称相对误差）
第七章 微分方程
微分方程的基本概念
表示未知函数或未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。微分方程中所出现的位置函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶。
如果将一个函数带入微分方程能使其变为 恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶级相同，这样的解叫做微分方程的通解。
在微分方程中用来确定任意常数的条件是初值条件。确定了通解中的任意常数以后就得到了微分方程的特解。
微分方程的解的图形是曲线，称为微分方程的积分曲线。
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成g（y）dy=f（x）dx的形式那么原方程成为可分离变量的微分方程。如果微分方程g（y）dy=f（x）dx中的函数f（x）和g（y）是连续的。且g（y）≠0，那么g（y）dy=f（x）dx式两端积分后得到的关系式∫g（y）dy=∫f（x）dx或者G（y）=F（x）+C（其中G（y）是g（x）的原函数，F（x）是f（x）的原函数）叫做方程g（y）dy=f（x）dx的隐式通解。
齐次方程
如果一阶微分方程可化成dy/dx=c（y/x）的形式，那么就称这个方程为齐次方程。
在齐次方程dy/dx=c（y/x）中，引进未知函数u=y/x，就可以把它化为可分离变量的方程。因为由u=y/x有y=ux，dy/dx=u+x（du/dx），带入方程dy/dx=c（y/x）使得方程u+x（du/dx）=c（u），即x（du/dx）=c（u）-u。分离变量，得du/（c（u）-u）=dx/x。两端积分，得∫du/（c（u）-u）=∫dx/x。求出积分后，再以y/x代替u，变得所给齐次方程的通解。
方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）当c=c1=0是齐次的，否则不是。在非齐次的情景，可用下列变换把他化为齐次方程：令x=X+h，y=Y+k，其中h和k是待定的常数。于是dx=dX，dy=dY，使方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）成为dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c1）。如果方程组ah+bk+c=0，a1h+b1k+c1=0中a1/a≠b1/b，那么可以定出h及k是他们满足上述方程组。这样，方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）可化为齐次方程dY/dX=（aX+bY）/(a1X+b1Y)。求出该方程的通解后在通解中以x-h替换X，y-k替换Y，便得方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的通解。当a1/a=b1/b时，h及k无法求得。但这时令a1/a=b1/b=r，从而方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）可写成dy/dx=（ax+by+c）/[r（ax+by）+c1]。引入新变量u=ax+by，则du/dx=a+b（dy/dx）。于是方程dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）成为1/b[（du/dx）-a]=（u+c）/（ru+c1），这是可分离变量的方程。
一阶线性微分方程
方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）叫做一阶线性微分方程因为他对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)≡0，那么方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）是齐次的；如果Q（x）≠0，那么方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）称为非齐次的。
设（dy/dx）+P（x）y=Q（x）为非齐次线性方程。为了求出非齐次线性方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）的解，我们先把Q（x）换成零而写出方程（dy/dx）+P（x）y=0。方程（dy/dx）+P（x）y=0叫做对应于非齐次线性方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）的齐次线性方程。方程（dy/dx）+P（x）y=0是可分离变量的，分离变量后得dy/y=-P（x）dx，两端积分，得y=Ce^(-∫P（x）dx)，其中C=±e^C1;这是对应的齐次方程（dy/dx）+P（x）y=0的通解。现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）的通解。这方法是把（dy/dx）+P（x）y=0的通解中的C换成x的未知函数u（x），即做变换y=ue^(-∫P（x）dx)，于是dy/dx=u‘e^(-∫P（x）dx)-uP（x）e^(-∫P（x）dx)。将方程y=ue^(-∫P（x）dx)和dy/dx=u‘e^(-∫P（x）dx)-uP（x）e^(-∫P（x）dx)代入方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）得u‘e^(-∫P（x）dx)=Q（x）。两端积分，得u=∫Q（x）e^(-∫P（x）dx)dx+C。将上式代入y=ue^(-∫P（x）dx)变得非齐次线性方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）的通解。
方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）（y^n）叫做伯努利方程，当n=0或n=1时，这是线性微分方程。当n≠0，n≠1时，这方程不是线性的，当时通过变量的代换，便可把它化为线性的。事实上，将y^n除方程（dy/dx）+P（x）y=Q（x）（y^n）的两端，得（y^-n）（dy/dx）+P（x）（y^1-n）=Q（x）。让我们引入新的因变量z=y^（1-n），那么dz/dx=（1-n）y^（-n）（dy/dx）。用（1-n）乘方程 （y^-n）（dy/dx）+P（x）（y^1-n）=Q（x）的两端，再通过上述代换便得线性方程（dz/dx）+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）。求出这方程的通解后，以y^（1-n）代换z便得到伯努利方程的通解。
可降阶的高阶微分方程
微分方程y^n=f（x）的右端仅含有自变量x。容易看出只要把y^（n-1）作为新的未知函数，那么方程y^n=f（x）即使新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程y^（n-1）=∫f（x）dx+C1。同理可得y^（n-2）=∫[∫f（x）dx+C1]dx+C2。依此方法持续进行，连续积分n次，便得方程y^n=f（x）的含有n个任意常数的通解。
方程y‘’=f（x，y‘）的右端不显含未知函数y。如果我们设y‘=p，那么y‘’=dp/dx=p‘，而方程y‘’=f（x，y‘）就成为p‘=f（x，p）。这是关于变量x，p的一阶微分方程。设其通解为p=g（x，C1）.对其进行积分，便得到方程y‘’=f（x，y‘）的通解y=∫g（x，C1）dx+C2.
方程y‘’=f（y，y‘）中不明显的含自变量x。为了求出它的解，令y‘=p，那么y‘’=dp/dx=dp/dy·dy/dx=p·（dp/dy）。这样方程y‘’=f（y，y‘）就成为p（dp/dy）=f（y，p）。这是一个关于变量y，p的一阶微分方程。设它的通解为y‘=p=g（y，C1），分离变量并积分，便得方程y‘’=f（y，y‘）的通解为∫dy/g（y，C1）=x+C2。
高阶线性微分方程
方程[（dy/dx）^2]+P（x）（dy/dx）+Q（x）y=f（x）叫做二阶线性微分方程。当方程右端f（x）恒等于0时，方程是齐次的。当f（x）不恒等于0时，方程式非齐次的。
如果函数y1（x）和y2（x）是方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）y=0的两个线性无关解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是y‘’+P（x）y‘+Q（x）y=0的通解，其中C1，C2是任意常数。
设y1（x），y2（x），......，yn（x）为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为0的常数k1，k2，......，kn，使得当x∈I是由恒等式k1y1+k2y2+......+knyn≡0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关，否则称线性无关。对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则他们是线性相关。
设g（x）是二阶非齐次线性方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f（x）的一个特解。Y（x）是与y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f（x）对应的齐次方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=0的通解，则y=Y（x）+g（x）是二阶非线性微分方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f（x）的通解。
设非齐次线性方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f（x）的右端f（x）是两个函数之和和，即y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f1（x）+f2（x），而g1（x）与g2（x）分别是方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f1（x）和方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）=f2（x）的特解，则g1（x）+g2（x）就是原方程的特解。
如果Cy（x）是齐次方程的通解，那么，可以利用变换y1=uy（x）来解非齐次线性方程。整个方法叫做场数变易法。
常系数齐次线性微分方程
在二阶线性微分方程y‘’+P（x）y‘+Q（x）y=0中，如果y’，y的系数P（x）和Q(x)均为常数，即y‘’+P（x）y‘+Q（x）y=0式成为y‘’+py‘+qy=0，其中p，q是常数，那么称y‘’+py‘+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程。如果p，q不全为常数，称y‘’+P（x）y‘+Q（x）y=0为二阶变系数齐次线性微分方程。
只要常数r满足代数方程r^2+pr+q=0，函数y=e^（rx）就是微分方程y‘’+py‘+qy=0的解。代数方程r^2+pr+q=0是为微分方程y‘’+py‘+qy=0的特征方程。
求二阶常系数齐次线性微分方程y‘’+py‘+qy=0同届的步骤如下：写出微分方程y‘’+py‘+qy=0的特征方程r2+pr+q，求出特征方程的根r1和r2。如果r1和r2不相等，那么微分方程y‘’+py‘+qy=0的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)；如果r1和r2相等，那么微分方程y‘’+py‘+qy=0的通解为y=（C1+C2x）e^(r1x)；如果r1和r2是一对共辄复根r1，2=a±b1，那么微分方程y‘’+py‘+qy=0的通解为y=（C1cosbx+C2sinbx）e^(ax)。
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
第六章 定积分的应用
定积分的元素法
可加性 面积元素
元素为被积表达式
定积分在几何学上的应用
直角坐标
极坐标
扇形面积A=1/2r^2€
体积
平面曲线的弧长
对光滑的曲线弧是可求长的
定积分在物理学上的应用
第五章 定积分
定积分的概念与性质
设函数f（x）在[a，b]上有界，连续，非负。由直线x=a、y=0、x=b和曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形， 其中曲线弧称为曲边。其中曲边梯形的面积是函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作（本子主题的最下面）。其中f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a，b]叫做积分区间。
可积条件：设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积。
定积分近似值求法
矩形法
梯形法
抛物线法（辛普森法）
性质
微积分基本公式
牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）：区间上定积分等于原函数在区间上的增量
定积分的换元法和分部积分法
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=g（t）满足条件：（1）g（A）=a，g（B）=b；（2）g（t）在[A，B]上具有连续导数，且值域为[a，b]，则有
反常积分
无穷限的反常积分
无界函数的反常积分
如果函数f（x）在点a的任意一点a的任意一邻域内都无界，那么点a称为函数f（x）的瑕点或无界间断点。无界函数的反常积分又称为瑕积分。
收敛与发散
第四章 不定积分
不定积分的概念与性质
如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x），即对任意x∈I都有F（x）‘=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I上的一个原函数。
原函数存在定理：连续函数一定有原函数
在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作∫f（x）dx。其中记号∫称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量。
积分曲线：一个函数的原函数的图形叫做这个函数的积分曲线。
基本积分表
性质
设函数f（x）及g（x）的原函数存在，则∫[f（x）+g（x）]dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx。
设函数f（x）的原函数存在，k为非零函数，则∫kf（x）dx=k∫f（x）dx。
换元积分法（换元法）
设f（u）具有原函数，u=g（x）可导，则有换元公式：∫f[g（x）]g‘（x）dx=[∫f（x）du]，其中u=g（x）。
换积分变量x 利用三角公式
适用于带根号的式子 画辅助三角形换元
1+tan^2t=sec^2t ch^2t-sh^2t=1
设x=g（t）是单调的可导函数，而且g‘（t）≠0.又设f[g（t）]g‘t具有原函数，则有换元公式∫f（x）dx=[∫f[g（t）]g‘（t）dt]，其中t=1/t（x）。
分部积分法：设函数u=u（x）及n=n（x）具有连续导数则这两个函数乘积的导数公式为（un）‘=u‘n+un‘。所以∫un‘dx=un-∫u‘ndx。
有理函数的积分
两个多项式的商P（x）/Q（x）称为有理函数，或者有理分式。当分子多项式P（x）的次数小于分母多项式Q（x）的次数时，撑着有理函数为真分式，否则称为假分式。
将有理函数分解成多个有理函数的和，之后再进行求导。可大大减少步骤。
化有理函数
Sin=2tan/(1+tan^2)
cos=(1-tan^2)/(1+tan^2)
u=tan(x/2)
积分表的使用
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
费马引理：设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥f（x0），那么f‘（x0）=0.
罗尔定理：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）区间端点处函数值相等，那么在（a，b）内至少有一点c，a<c<b，使得f’（c）=0。
拉格朗日中值定理（微分中值定理）：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，嘛呢在（a，b）内至少有一点c，a<c<b，使等式f（b）-f（a）=f‘（c）（b-a）。
柯西中值定理：如果函数f（x）及F（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任意x∈（a，b），F’（x）≠0，那么在（a，b）内至少有一点c，使等式（f（b）-f（a））/(F（b）-F（a）)=f‘（c）/F‘（c）。
洛必达法则
设（1）当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋近于零；（2）在点a的某去心邻域内，f’（x）及F‘（x）都存在且F’（x）≠0；当x→a时f‘（x）/F’（x）存在或为无穷大，则当x→a时f（x）/F（x）=f‘（x）/F’（x）。
设（1）当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋近于零；（2）当|x|>N时f’（x）及F‘（x）都存在且F’（x）≠0；当x→a时f‘（x）/F’（x）存在或为无穷大，则当x→∞时f（x）/F（x）=f‘（x）/F’（x）。
函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性的判定法：设函数y=f（x）在[a，b]上连接，在（a，b）内可导。（1）如果在（a，b）内f‘（x）≥0，且等号仅在有限多个点成立，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f‘（x）≤0，且等号仅在有限多个点成立，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少。
凹凸性的判定
设f（x）在区间I上连续，如果对I上任意两点x1和x2恒有f（（x1+x2）/2）<（f（x1）+f（x2））/2，那么称f（x）在I上的图形是向上凹的；如果恒有f（（x1+x2）/2）>（f（x1）+f（x2））/2，那么称f（x）在I上的图形是向上凸的。
设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f‘’（x）>0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的；（2）若在（a，b）内f‘’（x）<0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的。
拐点：设y=f（x）在区间I上连续，x0是I内的点。如果曲线y=f（x）在经过点（x0，f（x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0，f（x0））为这曲线的拐点。曲线拐点处的二阶导数总等于0。
函数的极值与最大值最小值
定义：设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域内的任意x，有f（x）<f（x0）（f（x）>f（x0）），那么就称f（x0）是函数f（x）的一个极大值点（或极小值点）。
定理
设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则f‘（x0）=0。
设函数f（x）在x0处连续，且在x0的δ去心邻域内可导。（1）若x∈（x0-δ，x0），f‘（x）>0，而x∈（x0，x0+δ）时，f‘（x）<0，则f（x）在x0处取得极大值；（2）若x∈（x0-δ，x0），f‘（x）<0，而x∈（x0，x0+δ）时，f‘（x）>0，则f（x）在x0处取得极小值。
设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f‘（x0）=0，f‘’（x0）≠0，则（1）当f‘’（x0）<0时，函数f（x）在x0出去的极大值；（2）当f‘’（x0）>0时，函数f（x）在x0出去的极大值。
函数图形的描绘
定义域及特性（奇偶、周期）
零点间断点导数不存在的点
一二阶导符号，升降凹凸拐点
水平铅直渐近线etc变化趋势
一二阶导零点不存在点函数值
曲率
弧微分：设函数f（x）在区间（a，b）内具有连续导数。在曲线y=f（x）上取固定点M0（x0，y0）作为度量弧长的基本点，并规定依x增大的方向作为曲线的正向。对曲线上任意点M（x，y），规定点M0和点M之间的有向弧段的值为s（简称为弧s）。所以s的绝对值等于这段弧的长度，当点M0和点M之间的有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0.显然，弧s与x存在函数关系：s=s（x），而且s（x）是x的单调递增函数。函数s（x）的导数ds/dx=±√[1+（y‘）^2]。由于s=s（x）是单调递增函数，从而根号前应取正号，于是有ds=√[1+（y‘）^2]dx。这就是弧微分公式。
设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基本点。设曲线上点M对应于弧s，在点M处曲线的倾角为a，曲线上另外一点M’对应于弧s+Δs，在点M’处的切线倾角为a+Δa，则在点M和点M’之间的弧段的长度为|Δs|，当动点从M移动到M’是切线转过的角度为|Δa|。我们用比值|Δa|/|Δs|来表示在点M和点M’之间的弧段的平均曲率，并记作K。
设曲线的直角坐标方程是y=f（x），且f（x）具有二阶导数（此时f‘（x）连续）。那么曲率K=|y‘’|/[（1+y‘^2）^（3/2）]。
曲率圆
设曲线L在点M处的曲率为K，在点M处曲线的法线上凹的一侧取一点D，使得 DM=1/K=p，以D为圆心，p为半径做圆，这个圆就叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径p叫做曲线在点M处的曲率半径。
曲率中心的计算公式：设已知曲线的方程是y=f（x），且其二阶导数y‘’在点x不为零，则曲线在对应点M（x，y）的曲率中心D（a，b）的坐标为a=x-[y‘（1+y‘^2）]/y‘’，b=y+（1+y‘^2）/y‘’。
方程的近似解
二分法
切线法
割线法