九年级数学知识思维导图

九年级数学知识思维导图，内容有代数（一元二次方程、函数）、几何（旋转、旋转对称、圆、相似、锐角三角函数、投影）、统计（概率）。

九年级数学知识思维导图 （人教版）

• 代数
  • 一元二次方程
    • 概述
      • 定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程称为一元二次方程。
      • 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) ，其中ax2称为二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数，ｃ是常数项。
      • 解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。一元二次方程可以有两个不等的根，也可以只有一个根，也可以没有根。
    • 解一元二次方程
      • 步骤：先将一元二次方程改写为一般形式（利用等式的性质），然后降次，最后解一元一次方程。
      • 降次
        • 定义：把一个一元二次方程转化为几个一元一次方程的过程称为降次。
        • 方法
          • 配方法：使用等式的性质，将一元二次方程的等号的一边转化成完全平方式，然后再在等式的两边同时开平方，从而实现降次的方法。
          • 公式法
            • 判别式：式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式。通常用希腊字母“Δ”表示它，Δ＝b2-4ac。
            • １.当判别式等于０时，方程有一个实数根。 ２.当判别式大于０时，方程有两个实数根。 ３.当判别式小于０时，方程无实数根。
            • 求根公式：当判别式大于等于０时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为： 这个式子叫做方程的求根公式。
          • 因式分解法：把一元二次方程的一般形式分解成两个一次二项式乘积＝０的形式，进而得到方程解。
    • 一元二次方程根与系数的关系：两个根的和等于一次项系数除二次项系数的相反数，两个根的积等于常数项除以二次项的系数。
    • 一元二次不等式
      • 一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c<0（a不等于0）。
      • 一元二次不等式也可通过配方法，因式分解法等方法求解。
  • 函数
    • 抛物线
      • 抛物线：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
      • 抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。抛物线的准线与对称轴垂直，过抛物线的焦点做垂直于抛物线对称轴的直线交抛物线于两点，连接这两焦点的线段为抛物线的通径。
      • 顶点是原点的抛物线抛物线标准方程：右开口抛物线：y2=2px，左开口方程：y2=-2px，上开口方程：y=2px2，下开口方程：y=-2px2。其中p为焦点到准线的距离,P越大，开口越大，通径的长度为2p。
      • 切线
        • 抛物线的切线是刚好触碰到抛物线的直线。
        • 设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。
        • 如何做抛物线的切线：（1）P在抛物线上若过P作准线的垂线，设A为垂足，连接PF（F是焦点），作∠APF的平分线PQ，直线PQ为切线。（2）若P在抛物线外，连接PF，以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B，过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N，连接PM、PN，则PM、PN为所求切线。
    • 二次函数
      • 定义：函数解析式形如或能转化为Y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)形式的函数称为二次函数，其中，x是自变量，a，b,c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数以及常数项。
      • 图像和性质
        • 二次函数的图像是上开口或下开口的抛物线。
        • 二次函数Y=ax2图像和性质：一般来说，抛物线Y=ax2的对称轴是Y轴，顶点是平面直角坐标系的原点。 当a大于0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a小于0时，则相反。|a|越大，开口越小。
        • 二次函数Y=a（x-h)2+k图像和性质：其图像是Y=ax2的图像向上方平移h个单位，向右边平移k个单位。顶点的横坐标是h，纵坐标是k。其对称轴是x=h。
        • 二次函数ax2+bx+c图像及性质：任何一个形式为ax2+bx+c的函数解析式都可以转化为Y=a（x-h)2+k的形式，具体方法有两种。一种是通过配方法,将等号的右边转化形式；另一种是直接通过公式，公式为。
      • 由待定系数法求二次函数解析式需要二次函数图像上三个点的坐标。
      • 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数Y=ax2+bx+c与X轴交点的横坐标对应的是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实数根；若没有交点，那么没有实数根。
      • 一元二次不等式可通过二次函数图象进行求解。将一元二次不等式化为二次函数形式，通过二次函数图象与X轴的交点，然后根据题中所需求<0或>0而推出答案。
      • 二次函数Y=ax2+bx+c的导数是2ax+b。
    • 反比例函数
      • 定义：解析式形如或能转化为形式的函数，称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，x的取值范围是一切不等于0的函数。
      • 反比例函数在使用待定系数法求解析式时，需要一组自变量与函数的对应值。
      • 反比例行数的图像有两条曲线组成，称为双曲线。
      • 反比例函数的图像与性质：反比例函数的图像是双曲线，具有以下性质：当K＞0时，双曲线的两个曲线分别位于第1，第3象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。当K＜0时，双曲线的两个曲线分别位于第2，第4象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
      • 在同一直角坐标系中，随着|k|的增大，函数的图像位置相对于坐标原点越来越远。
      • 反比例函数的图像是关于原点的中心对称图形。
      • 在同一个反比例函数中，无论自变量如何变化，其函数与自变量的乘积相等。
    • 分段函数
      • 分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。
      • 分段函数是一个函数，而不是几个函数。
• 几何
  • 旋转
    • 定义：将一个平面图形在平面内绕某个点转动一个角度，称为旋转。
    • 物体围绕着旋转的点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角，图形上的一个点T，经过旋转变为点F，这两个点称为对应点。
    • 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。
  • 旋转对称
    • 如果一个图形绕某点O旋转角度A后的图形与原图形重合，则此图形关于点O有角A的旋转对称。
    • 把正N边形围绕其中心旋转的整数倍后，所得的正N边形与原正多边形重合，那么正N边形关于其中心有的旋转对称。
    • 中心对称
      • 定义：把一个图形围绕某一点旋转180度，如果图形重合，那么这两个图形中心对称，或关于这个点对称，这个点称为对称中心。
      • 性质：中心对称的两个图形对称点所连线段，都经过对称中心，且被对称中心平分。中心对称的两个图形是全等图形。
      • 原点对称坐标：当两个平面直角坐标系的点关于原点对称时，他们相应的坐标符号相反。
  • 圆
    • 圆的性质
      • 定义：在一个平面内，线段OA绕其固定的端点O旋转一周，另一个端点A形成的图像叫圆，O叫做圆心，OA叫做半径。以O为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O。
      • 圆的标准方程：在平面直角坐标系上，某个圆的半径为r，圆上一点的坐标为（x，y），圆心的坐标为（a，b），那么圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。
      • 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径都是其对称轴。
      • 扇形：有组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。
      • 弦
        • 连接圆上任意两点的线段称为弦。
        • 通过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，是圆中最长的弦。
        • 越靠近圆心的弦越长。
        • 两条不过圆心的直线相交，那么两条直线不互相平分。
        • 在一个圆中，相等弦的弦心距相等。
      • 弧
        • 圆上任意两点间的部分称为圆弧，简称弧；弧的符号是：
        • 圆的任意一条直径的两个端点，把圆分成两条弧，每条弧都称为半圆。
        • 大于半圆的弧叫做优弧。用弧的两个端点和弧中的任意一个点来表示。小于半圆的弧称为劣弧，用两个端点来表示。
      • 弦径定理：垂直于弦的直径会平分弦，而且平分弦所对的两条弧。
      • 能够重合的两个圆称为等圆，等圆的半径相等。能够重合的圆弧叫做等弧。圆心在同一位置的圆叫做同心圆。
      • 圆心角
        • 顶点在圆心的角叫做圆心角。
        • 等圆中，相等的圆心角所对的弧，弦相等，反之亦然。
      • 圆周角
        • 顶点在圆上且两条边都与圆相交，这样的角称为圆周角。
        • 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
        • 同弧或等弧所对的圆周角相等。
        • 越长的弧，所对的圆周角越长。半圆或直径所对的圆周角是直角。
    • 弧度
      • 弧度和角度一样是角的测量单位。
      • 弧度的缩写为rad。
      • 在一个圆中，弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度，也可以写成rad。
    • 点和圆的位置关系
      • 如果⊙O的半径为R，点P到圆心的距离OP=D，那么点P在圆外 D>R，点P在圆上D=R，点P在圆内D<R。
      • 做圆：做圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。经过一个点A做圆，以A之外任意一个点为圆心，能做出无数个圆。经过AB两点做圆，圆心到AB的距离相等，圆心在线段AB的中垂线上，能做出无数个。经过不在同一条直线上的ABC三个点做圆，圆心到这ABC的距离相等，圆心在ABC的连线的中垂线的交点上，这种圆只有一个。
    • 直线和圆的位置关系
      • 当直线和圆有两个公共点，那么这条直线和圆相交，叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，这条直线与圆相切，叫做圆的切线，相交的点叫做切点；直线和圆没有公共点时，直线与圆相离。
      • 如果⊙O的半径为R，直线P到圆心的距离OP=D，那么直线P和圆相交 D<R，直线P与圆相切D=R，直线P与圆相离D>R。
      • 如果直线与圆的交点有两个，直线落在园内。
      • 连接圆上的任意两点，连接这两点的线段上的其他点均在圆内。
      • 切线
        • 定义：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
        • 在切线上一点到切点的线段长，叫做这一点与圆的切线长。
        • 从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
    • 圆与圆的位置关系
      • 相离
        • 如果两个圆没有公共点，那么两个圆相离。
        • 在两个圆相离的情况中，如果一个圆在另一个圆之外，称为外离；如果一个圆在另一个圆之内，称为内含。
      • 相切
        • 如果两个圆有一个公共点，那么两个圆相切，公共点叫切点。
        • 在两个圆相切的情况中，如果一个圆在另一个圆之外，称为外切；如果一个圆在另一个圆之内，称为内切。
        • 如果两个圆相切，它们圆心的连线经过切点。
        • 两圆相切，圆心不同。
      • 相交
        • 如果两个圆有两个公共点，那么两个圆相交。
        • 两圆相交，圆心不同。
      • 圆心距：两个圆圆心的距离。
    • 圆与多边形
      • 外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做这个多边形的外接圆，平面图形的外接圆圆心叫做外心。三角形的外接圆圆心是三角形边的垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形之中，直角三角形的外心在三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形之外。
      • 内切圆：与平面图形各面都相切的圆叫做平面图形的内切圆，平面图形内切圆的圆心称为外心。三角形的内心是三角形的角平分线的交点。
      • 旁接圆：跟三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆叫做旁接圆。每个三角形都有3个旁接圆，其圆心称为旁心，旁心是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点。
    • 圆的相关计算
      • π，读作pi，是一个常用的无理数，多用于圆的计算，约为3.14。
  • 相似
    • 图形的相似
      • 定义：形状相同的图形称为相似图象。
      • 相似符号：∽
      • 如果两个边个数相同的多边形的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形称为相似多边形。
      • 相似多边形的对应边的比，称为相似比。
      • 相似多边形的对应线段的比等于相似比。
    • 相似三角形
      • 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
      • 两条直线被一条平行线所截，所得的线段成比例。
      • 三角形的角平分线将底边分成的线段之比，等于三角形另外两边的比。
      • 相似三角形的判定
        • 三个角分别相等，三条边成比例的三角形相似。
        • 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
        • 三边成比例的两个三角形相似。
        • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
        • 两角分别相等的两个三角形相似。
        • 在直角三角形中，由直角顶点向斜边作垂线，所构成的两个三角形与原三角形相似，并互相相似。
      • 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
    • 位似图形
      • 定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点分别对应，并且对应点的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形。
      • 位似图形对应点的连线经过的点称为位似中心。
      • 若两个位似图形的相应线段的比是x：1，那么这两个图形的对应点到位似中心的距离的比也是x：1。
  • 锐角三角函数
    • 定义:角A的正弦（sin），余弦（cos），正切（tan），余弦（cot），正割(sec)，余割(csc)称为角A的三角函数。
    • 性质：三角函数只与角的角度大小有关，与其它的因素无关。
    • 在平面直角坐标系xOy中，设顶点是点O，∠α的一个边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠α的另一个边上不与原点O重合的任意一点，则：
    • 正弦定理和余弦定理：一个三角形的三个角为∠A、∠B、∠C，这三个角的对边分别是a、b、c。a/sin（A）=b/sin（B）=c/sin（C）。cos（A）=（b2+c2-a2）/2bc，cos（B）=（a2+c2-b2）/2ac，cos（C）=（a2+b2-c2）/2ab。
  • 投影
    • 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子，称为物体的投影。
    • 照射光线称为投影线，投影所在的平面称为投影面。
    • 中心投影：由同一点发出的光线形成的投影称为中心投影。
    • 平行投影
      • 由平行光线形成的投影称为平行投影。
      • 平行投影的性质：在其他条件相同的情况下，物体的投影长度越长，物体的长度越长。
      • 正投影：投影线垂直于投影面所产生的投影称为正投影。
      • 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状大小完全相等。
    • 三视图
      • 当我们从某个方向观察某个物体时，所看到的平面图形称为物体的视图。视图可以看做物体在某个方向光线下的正投影。
      • 对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的由前向后观察物体得到的视图称为主视图。在水平面内得到的从上向下得到的视图称为俯视图。在左面观察物体得到的视图称为左视图。
      • 一个物体的主视图、俯视图和左视图，称为物体的三视图。
• 统计
  • 概率
    • 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
    • 不可能事件：必然不会发生的事件。
    • 必然事件：一定会发生的事件。
    • 概率定义：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的值，我们称之为概率P（A）。
    • 概率的计算：如果在一次试验中，有N种可能的结果，且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中M种结果，那么事件A发生的概率是：
    • 在中，有0≤≤1。因此0≤P（A）≤1。当A为必然事件时，P（A）=1，当A为不可能事件时，P（A）=0。事件发生的可能性越大，事件的概率就越接近1，反之亦然。
    • 列举法求概率：在计算概率的时候，当可能的结果是有限且均等的，那么我们可以把结果全部列出来，然后再进行计算，这种方法称为列举法求概率。
    • 频率估计概率：如果一个事件可能的结果是无限的，那么可以通过频率估计概率。对于一般的随机事件，做大量重复试验时，随着实验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数附近摆动。因此，可以通过大量重复实验，用一个随机事件发生的频率来估算这个随机事件的概率。