导图社区 M1:角平分线
初中数学角平分线相关知识梳理,包含:1.角平分线基础知识;2.角平分线基础模型;3.角平分线进阶模型;4.相关拓展知识。适合初中学生,尤其是备战中考的初三学生。
8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
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角平分线
基本知识点
定义
从一个角的定点引出一条射线,把这个角分成两个完全相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线
角平分线是一条射线,但是三角形的角平分线是一条线段
角平分线定理
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
角平分线逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
角平分线尺规作图
①以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角的两边于M,N

②分别以M,N为圆心,大于二分之一MN为半径画弧,两弧交于点P
③作射线OP,射线OP即为所求
三角形内心
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心
内心到三角形三条边的距离相等
内心是三角形内切圆的圆心
角平分线模型
基础模型
内内角平分线模型
OB,OC是三角形两内角平分线
内外角平分线模型
OB是∠ABC的角平分线,OC是∠ACE的角平分线
外外角平分线模型
OB是∠CBE的角平分线,OC是∠BCF的∠平分线
平行平分出等腰模型
GM是∠BGH的角平分线,AB∥CD
圆中角平分线可得相等线段
已知:∠BAC是圆O的圆周角,∠DOE是圆O的圆心角,AF平分∠BAC,OG平分∠DOE,连接BF、CF、DG、EG,则BF=CF,DG=EG
进阶模型
角平分线上的点向两边做垂线
过角平分线上一点向角的两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题
例题
对称构造全等
在角的两边上取相等的线段,结合角平分线构造全等三角形(角边等,造全等)
角平分线+平行线, 构造等腰三角形
①
过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形
②
过角一边上的点作角平分线的平行线,交角的另一边所在直线于一点,也可构造等腰三角形
已知:OC平分∠AOB,点D是OA上一点,过点D作DE∥OC交OB的反向延长线于点E,则OD=OE
角平分线+垂线,构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的另一边相交,则可得到一个等腰三角形
角平分线+等角,构造相似
已知:OC平分∠AOB,点E、F分别在OA、OB上,过点E作EM⊥OC于点M,过点F作FN⊥OC于点N,则△OEM∽△OFN
已知:OC平分∠AOB,点E、F在OC上,作EM⊥OA于点M,作FN⊥OB于点N,则△OEM∽△OFN
③
已知:OC平分∠AOB,点E、F在OC上,作∠EMO=∠FNO,则△OEM∽OFN
拓展
角平分线分线段成比例定理
三角形角平分线的两边之比等于被这个角平分线分的底边两条线段之比
AD平分∠BAC,求
证明
面积法
相似法
角平分线长公式
已知AD为△ABC的角平分线
AD²=AB×AC-BD×CD