第三章向量组的线性相关性

向量组的线性相关性的思维导图，包含若矩阵中有一个r阶子式D不等于0，则含有D的相应元素r个行向量及r个列向量；A能由B线性表示，则A线性无关，A的个数≤B的个数。

第三章 向量组的线性相关性

• 向量概念
• 向量组
• 向量的计算
• 向量空间
  • 对加法和数乘封闭
  • 必须含有零向量
  • 如果由a,b所生成的，记作L(a,b)
  • 子空间
    • 平凡子空间
    • 非平凡子空间
• 线性组合
• 等价
  • 含义
    • 向量组AB可互相线性表示
  • 性质
    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性
  • • 最大无关组与全组等价
  • 矩阵和向量组的联系
    • 进行有限次初等行变换的等价
      • 等价的齐次线性方程组同解
• 最大无关组
  • 不唯一但所含个数一样
  • 定义
• 线性无关
  • 判断方法
    • 不是线性无关
    • 找不到不全为0的数
    • c1.......cm都为0
  • n维单位向量
  • 充要条件
    • 所含向量的个数=它的秩
  • 若矩阵中有一个r阶子式D不等于0，则含有D的相应元素r个行向量及r个列向量
  • A能由B线性表示，则A线性无关，A的个数≤B的个数
  • 等价的线性无关的向量组所含向量个数相同
  • A的秩，B的秩，若A能由B线性表示，则A的秩≤B的秩
    • 子主题
• 线性相关
  • 零向量
  • 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例
  • 充要条件
    • 这个向量组至少有一个向量可由其余向量线性表示
    • 子主题
  • 部分能推出整体
  • 矩阵判别法
    • 最常用
    • 个数小于等于维数
      • 这组向量线性相关
        • 线性无关时，齐次线性方程组只有0解，矩阵A的秩=向量个数
      • 齐次方程组有非0解
      • 矩阵A的秩小于向量个数
    • 个数=维数
      • 线性相关
        • 行列式=0
      • 线性无关
        • 行列式不等于0
    • 个数＞维数
      • 线性相关
    • 齐次线性方程组有没有非0解
  • 如果矩阵中所有r阶子式全为0，则A的任意r个行向量和列向量都
• 三秩相等
  • 矩阵，行向量，列向量
• 经过有限次初等变换原矩阵和现矩阵对应的K个行列向量有相同相关性
• 基
  • 定义
    • 类似于最大无关组第二个定义，向量个数为维数，为几维向量记做dim(）
  • 零向量空间没基
  • 向量坐标
• 过渡矩阵