导图社区 矩阵知识点总结
矩阵是线性代数里的重点知识。下面的思维导图总结了矩阵的相关概念、定理、求解方法等,通过不同符号标识重点、易错点,总结性展示矩阵的整体考点。喜欢麻烦点赞哦。
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矩阵
计算
加减
同型矩阵
对应元素相加
数乘
负矩阵
所有元素取相反数
kA=(kaij)
矩阵相乘
A列=B行
A的第一行×B的第一列对应的是(1,1)的数
与乘法比较
有顺序,交换顺序结果不同
I相当于1,可以随便交换顺序。
方阵的幂
注意是方阵
(AB)k次方≠A的k次方乘Bk次方(注意有顺序)
同一个方阵可以换顺序,反正长的一样
A²=0≠A=0(举例:二阶方阵(1,2)为1其他为0)
成立条件:A为对称矩阵
初等变换
解方程→化成行阶梯型
非零行行数<未知量个数→无穷多解
非零行行数=未知量行数→唯一解
当出现|0 0 0 |结果|无解
齐次方程组
永远有解
非零行行数<未知量个数→非零解(无穷多)
非零行行数=未知量个数→只有零解(唯一解)
AB可逆,AXB=C/AX+B=c直接解
等价
A初等变换B→二者等价
可逆
性质
反身性
对称性
传递性
求逆
概念
零矩阵
所有元素都为0
行矩阵
列矩阵
行×列=数 列×行=方阵
对角矩阵
单位矩阵
对角元都为1
数量矩阵
对角元为同一个数
上/下三角矩阵
上/下三角都为0
增广矩阵
就是方程+他们的解 (结果全为0可以不写那一列)
初等矩阵
对单位矩阵作一次初等变换
两行互换位置
某一行同乘一个数
某一行同乘一个数+另一行
对矩阵A做一次行/列初等变换,相当于在A的左/右乘相应的初等数列
左乘行 右乘列
逆矩阵
转置
就是把竖着横过来(2,3变成3,2)
AB的转置=B的转置×A的转置(顺序变了)
对称/反对称矩阵
对称矩阵
对角元两边相同
相乘不一定对称
成立条件:AB=BA
AA的转置/A的转置A都对称
AA的转置→A=0
反对称矩阵
对角元为0
对角元两边相反
必须是方阵
均为方阵
AB=BA=I
满足一个即可
跟除法一样,就是有顺序
定理
设A可逆,则它的逆唯一
设A为n列矩阵,如下命题等价
A可逆
AX=0只有零解
AX=b有唯一解 X=A的逆×b
A与I行等价
A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
A,B为n阶可逆矩阵
A的逆可逆,且A的逆的逆等于A
KA可逆,且kA=1/k×A的逆
AB可逆,且AB的逆=B的逆×A的逆
A的转置可逆,且A的转置的逆=A的逆的转置
若A可逆
AB=0→B=0
AX=AY→X=Y
初等矩阵的逆矩阵
Eij的逆=Eji
Ei(c)的逆=Ei(1/c)
Eij(c)的逆=Eij(-c)
(A|I)→(I|A的逆)
分块
加法
分法相同
乘法
A的列数=B的行数
A的分法=B的分法 (A的列=B的行)
尽量分出I,0
注意分出的小矩阵也要转置
前提与后面互为充要条件
任意两条互为充要条件 证明1→2→3→4→1
符号意思
易错
联想
重要
公式