定积分及其应用

定积分及其应用（基础篇）知识整理，包括：概念与性质、积分中值定理、非常规积分、基本理论、定积分特殊形式、定积分应用。

定积分

• 概念与性质
  • 定积分概念与定义
    • 笔记本中
  • 注意：
    • 极限存在则可积分，不存在则不可积分
    • 对称区间，偶函数，是2倍数，一半区间，奇函数是0
    • 确定闭区间，可积一定有界，确定开区间，可积不一定有界
    • 有界不一定可积，如有理数=1，无理数为0积分求不出来，
      • 伊普西隆全取有理数结果是（b-a ）
      • 结果是不存在
      • 伊普西隆全取无理数结果是-（b-a）
    • 求积分的极限，与[a,b]的分法无关，与伊普西隆的取法无关
    • 定积分定义，中极限的 lambda->0,n->无穷，，反之不对
  • 性质：
    • ∫a->a,f(x)dx=0.∫a->b,f(x)dx=∫b->a,f(x)dx
    • f(x属于C[a,b]=>f(x)在[a,b]上可积
    • f(x属于[a,b]，且有有限个第一类间断点=>f(x)在[a,b]上可积
    • ∫0->1,f(x)dx = lim n->无穷 ,1/n 求和 i范围（1->n）f(i/n)
    • 可积函数相加的积分，等于积分的相加
    • 常数可提取
    • ∫a->b=∫a->c+∫c->b
    • ∫a->b 1 dx = b-a
    • 区间宽度越大不一定越大积分，因为有正有负
    • a-b中，if f(x)>=0,则 ∫a->b f(x)dx>=0
    • a-b中，if f(x)>=g(x),则 ∫a->b f(x)dx>=∫a->b g(x)dx
    • if f(x)在a->b上可积，则|∫a->b f(x)dx|<=∫a->b |f(x)|dx
• 积分中值定理
  • 设f(x)在[a,b]上连续，则存在c属于[a,b],∫a->b f(x)dx = f(c)*(b-a)
    • 证明：
      • 利用介质定理
      • 注意：可以c取到端点
  • 推广；
    • 设f(x)在[a,b]上连续，则存在c属于(a,b),∫a->b f(x)dx = f(c)*(b-a)
      • 注意是开区间
      • 利用拉格朗日中值定理
• 非常规积分
  • • 区间无限的反常积分
      • lim b->无穷，f(b-f(a)与∫a->无穷,f(x)dx
      • 判别法
        • 相同，阿尔法大于1，收敛.阿尔法<=1值满足为无穷或具体值，但是不能等于0，发散
    • 区间有限的反常积分,端点
      • 看函数
        • 判别法
          • 与区间无限的判别法不同
            • 阿尔法小于0收敛，>=0，值满足无穷或具体值，不能等于0发散。
  • 判别法看内部
    • 有时候即看区间无限，也看区间有限
• 基本理论：
  • 注意
    • 定积分由上下限与函数关系组成
    • 定积分与变量的符号无关
    • 不定积分与上下限有关
  • 任意x属于[a,b]，有∫a->x ,f(x)dx变上限积分函数，左边是常量，右边是变量，对应的相关的坐标
    • 注意：
      • 右边的x可以替换成t
      • 任意x属于[a,b]，有∫a->x ,xf(t)dt,中的x是常量
  • 函数连续，则积分上限函数可导
    • 可导，导函数是原函数
  • 连续函数一定有原函数
  • d∫a->g(x) f(t)dt/dx = f[g(x)]g'(x)
  • d∫g1(x)->g2(x) f(t)dt/dx = f[g1(x)]g1'(x)-f[g2(x)]g2'(x)
  • 牛顿莱布尼茨公式
    • ∫a->b f(x)dx = F(b)-F(a)
      • 证明
  • 对于d∫a->x x*f(t)dt/dx
    • 可以相关的变化x提出来
    • 或者提不出来在f(x)中，进行变换，消灭掉
  • 子主题
• 定积分特殊形式
  • ∫-a->a f(t)dt = ∫0->a f(t)+f(-t)dt
  • if f(x)属于[0,1],则∫0->pie/2, f(sinx)dx=∫0->pie/2, f(cos)dx
    • 例子
      • ∫0-> pie/2,cos t/(sin t+cos t)dt = ∫0-> pie/2,sin t/(sin t+cos t)dt
  • 注意一般替换是x+t=a+b,即上下限之和等于x+t1
  • 注意可以平移：
    • x -a = t
  • 特别的
    • ∫0-> pie/2,cos^n t/dt = ∫0-> pie/2,sin^n t/dt
    • 公式：I(n) =( n/n-1)*I(n-1)
    • I0 = pie/2
    • I1= 1
    • ∫0-> pie,f(sinx)dx = 2* ∫0-> pie/2,f(sinx)dx
      • cosx无此性质
        • 但是|cosx| 或者cos^2n x有此性质
    • ∫0-> pie,x*f(sinx)dx = pie/2 *∫0-> pie，f(sinx)dx
      • cos^nx,n为偶可以
    • ∫a->a+T ,f(x)dx = ∫0-> T f(x)dx
    • ∫0->n*T f(x)dx = n* ∫0->T f(x)dx
• 定积分应用
  • 面积
    • 一般面积
    • 极坐标面积
  • 旋转表面积
    • 用ds
  • 体积
  • 弧长
    • 针对ds
      • 一般
      • 极坐标
  • 只有旋转表面积。和弧长时才有ds