线性代数

医用高等数学的线性代数思维导图。介绍了矩阵、解线性方程组、矩阵的对角化、行列式、逆等方面的详细的介绍。

线性代数

• 矩阵
  • 定义：由mxn个数排成的m行n列的数表，称作m行n列矩阵，简称mxn矩阵
    • 只有一行的矩阵称作行矩阵，也叫行向量 只有一列的矩阵称作列矩阵，也叫列向量
  • 运算
    • 加减：同型矩阵相加减，各个位置上的元素相加减
      • 矩阵的加减法满足交换律、结合律
    • 数乘：矩阵乘以一个数，则每个位置上的元素都乘以这个数
    • 乘法：矩阵相乘所得到的矩阵，第i行第j列上的元素等于左边矩阵的第i行和右边矩阵的第j列上的所有元素的乘积之和。
      • 只有左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数才可以做矩阵乘法
    • 转置：把矩阵的行换成同序号的列，类似于关于主对角线做轴对称
      • 转置满足以下运算律，第四点尤其重要
    • 幂：
      • 注意：
    • 相等：同型矩阵对应位置上的元素全部相等
      • 同型矩阵：行数相等，列数也相等的矩阵
  • 类型
    • 对角矩阵：除了主对角线上的元素，其余元素均为0的矩阵
      • 单位矩阵：主对角线上的元素全部为1的对角矩阵
        • 如果把A矩阵某两行交换位置，相当于A左乘这两行交换位置的单位矩阵E
    • 上三角矩阵：主对角线往上的元素不全为0，往下全为0的矩阵 下三角矩阵：主对角线往下的元素不全为0，往上全为0的矩阵
    • 阶梯型矩阵：（1）A中若有零行，则改行往下全为零行；（2）非零行中首非零元的位置在上一行的右边。满足以上条件的矩阵叫做阶梯形矩阵。
      • 如果进一步满足：（1）非零行首非零元全为1；（2）首非零元所在列其他元素全为0，则该矩阵称为行最简阶梯形。
    • 对称矩阵：若A中元素满足aij=aji，则A为对称矩阵。
      • 简单点说转置之后还和它本身相等
    • 零矩阵：可以是任意行、任意列，所有的元素全都是0
• 行列式
  • 定义：将n阶方阵两边的括号改成绝对值符号，它的值等于某一行或某一列上的元素乘以相应位置上的代数余子式
    • 对角线法则：三阶及以下的行列式的值等于平行于主对角线上的元素乘积减去平行于次对角线上的元素的乘积。
  • 性质
    • 行列式和它的转置行列式的值相等
    • 对换行列式的两行或两列，行列式变号
      • 如果行列式有两行完全相同，则此行列式等于0
        • 若行列式某一行或某一列为0，则行列式为0
    • k乘以某行列式，等于该行列式某一行或某一列上所有元素都乘以k
      • 如果某一行或某一列上所有元素都具有相同的公因数，则可以把公因数提到外面来
    • 如果某两行或两列元素成比例，则该行列式等于0
    • 把某一行上所有元素乘以k加到另一行上去，则行列式不变，对列也成立
    • 如果行列式某一行或某一列可以写成两数之和，则可以写成两个行列式之和
  • 运算律
• 逆
  • 定义：若n阶方阵A、B有AB=BA=E，则称方阵A可逆，B叫做A的逆矩阵
    • A的逆矩阵唯一
    • A可逆的充要条件是A是非奇异矩阵
    • 若AB=E，则B就是A的逆
  • 伴随矩阵：把A所有位置上的元素全部换成对应位置的代数余子式，并转置。
  • 运算律
• 矩阵的对角化
  • 特征值：若方阵A满足Ax=lx，则l为特征值，x为特征向量
    • 求解特征向量，即为求解方程|A-lE|=0
    • 求特征向量，即为解矩阵方程(A-lE)x=0，最后的基础解系就是该特征值下的特征向量
  • 相似矩阵：若B=P-1AP，则A与B相似
    • 性质
      • |A|=|B|=l1l2...ln
      • a11+a22+...+ann=l1+l2+...+ln
      • 如果A与B相似，则A与B有相同的特征多项式和特征值
  • 矩阵与对角矩阵相似的条件
    • 充要条件：A有n个线性无关的特征向量
    • 充分不必要条件：A有n个不同的特征值
  • 正交矩阵：
    • 判定
      • AT=A-1
      • AAT=E
      • 行（列）向量为单位向量且两两正交
    • 性质
      • |A|=+1或-1
      • AT,A-1,A*,AB都是正交矩阵
    • 正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换
      • 性质
        • 向量长度不变
        • 向量点乘不变
        • 向量间夹角不变
• 解线性方程组
  • Gramer法则
    • 对于线性方程组Ax=b，若系数矩阵的行列式不等于0，即满秩，则方程有唯一解
    • 对于齐次线性方程组Ax=0，若系数矩阵的行列式不为0，则方程有唯一零解
  • 判别
    • 对于齐次线性方程组
      • 若R(A)=0，则方程有非零解，其中R(A)个零解，n-R(A)个非零解
      • 若R(A)¹0，则方程组有唯一零解
    • 对于非齐次线性方程组
      • 若R(A)=R(A,b)=n，则方程组有唯一解
      • 若R(A)=R(A,b)<n，则方程组有无穷多解，其中R(A)个确定解，n-R(A)个不确定解
      • 若R(A)<R(A,b)，则方程组无解
  • 解法
    • 写出增广矩阵，并做初等行变换
    • 根据系数矩阵和增广矩阵的秩判断解的情况
    • 继续将增广矩阵化为行最简形矩阵
    • 写出对应的方程组
    • 根据方程组写出对应的解，如果有无穷多解就用自由未知数表示非自由未知数
    • 写出解向量
  • 基础解系
    • 通解可以写成k1a1+k2a2+...+kmam的形式，则a1,a2,...,am就是基础解系
  • 符合叠加原理
• 秩
  • 定义：通过初等行变换化为行阶梯形矩阵后非零行的数目
    • 初等行变换不改变矩阵的秩