矩阵及其运算

矩阵及其运算思维导图：包含矩阵的概念，元素都是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵，只有当两个矩阵是同类型矩阵时，才可进行加法运算等等

矩阵及其运算

• 矩阵的概念
  • 定义1 ：由个数排成的m行n列的矩形数表称为一个矩阵，简记为或
  • • 元素都是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵
  • 当m=n时，矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵. 记作
  • 常用的特殊矩阵
    • 零矩阵
      • 不同类型的零矩阵是不同的
    • n阶单位矩阵
    • 对角矩阵
    • 上三角矩阵
• 矩阵的运算
  • 矩阵的加法
    • 只有当两个矩阵是同类型矩阵时，才可进行加法运算
    • 矩阵加法运算律
      • A+B=B+A
      • （A+B）+C=A+(B+C)
  • 数与矩阵相乘
    • （μ）A=λ(μA)
    • (λ+μ)A=λA+μA
    • λ(A+B)=λA+λB
    • 注意：矩阵的数乘是数乘矩阵的每一个元素
  • 矩阵与矩阵相乘
    • 注意
      • 1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才可相乘
      • 2.乘积的第i行第j列的元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列的对应元素的成绩之和
    • 矩阵乘法的运算规律
      • （AB）C=A(BC)
      • A(B+C)=AB+AC
      • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
    • 方阵的幂
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  • 矩阵的转置
    • 矩阵的转置的运算规律
      • (1)( A^T )^T =A
      • (2)(λA)^T=λA^T
      • (3)(A+B)^T=A^T+B^T
      • (AB)^T=B^T*A^T
  • 对称矩阵
    • 特点：它的元素以对角线为对称轴对应相等
  • 方阵的行列式
    • 方阵行列式的运算规律
      • （1）|A^T|=|A|
      • (2)|λA|=λ^n*|A|
      • (3)|AB|=|A||B|
    • 伴随阵
      • AA*=A*A=|A|E
• 逆矩阵
  • 若AB=BA=E,则B=A^(-1)
  • 如果方阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的
  • 若|A|≠0，则方阵可逆，且A^(-1)=1/(|A|✖A*）
  • 当|A|=0时，称A为奇异矩阵，否则则称为非奇异矩阵
  • 逆矩阵的运算性质
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• 分块矩阵
  • 分块矩阵运算法则
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    • 则称A为分块对角矩阵
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• 矩阵的乘法不满足交换律