数量关系

粉笔2022国考数量关系笔记，包括代入排除法、倍数特性法、方程法、工程问题、行程问题、经济利润问题、最值问题等内容。

数量关系

• 解题方法
  • 代入排除法
    • 什么时候用？
      • 看题型
        • 年龄问题
        • 余数问题
          • 关键词：“剩”，“余”，“缺”
            • 例如：一个数除以7余3，除以8余1，这个数可能是多少？
        • 多位数
          • 例如：一个三位数，十位数和个位数对调，比原来大9，这个数可能是多少？
        • 不定方程
      • 看选项
        • 选项信息充分。
          • 选项为一组数（选项至少有两个空）（问法：分别/各）
          • 选项可转化为一组数。（选项只有一个空，但是可以再自行加上一个空）
    • 怎么用？
      • 先排除
        • 倍数
          • 3的倍数：各位数字之和能被3整除。
          • 5的倍数：尾数为0/5
          • 9的倍数：各数字之和能够被3,9整除。如：573→5+7+3=15
          • 4的倍数：末两位能被4整除。如520→20÷4
          • 拆分：如：142是否是7的倍数，拆成：7的若干倍+-数。如：142=140（7都倍数）+2（不是7都倍数）
        • 奇偶
        • 尾数
      • 再代入
        • 最值
        • 好算
    • 口诀
      • 遇矛盾就排除，全符合就选择。
  • 倍数特性法
    • 利用条件中的倍数，排错，选正。
    • 余数型
      • 特征
        • 平均分，有剩余/缺少，求总数
      • 答案=ax±b→（答案±b）就能被a整除
        • 例题：5人一组开黑还少三人，则共有多少人？→总人数=5×组数-3→总人数+3=5的倍数
    • 比例型
      • 注意
        • 出现分数、百分数、比例、倍数可考虑倍数特性。
        • 化成最简整数比。
      • 例题：已知冰箱：鸡蛋/鸭蛋=3/5。问
        • 鸡蛋个数是3的倍数
        • 鸭蛋个数是5的倍数
        • 鸡蛋和鸭蛋总数是8的倍数
        • 鸡蛋和鸭蛋个数差是2都倍数
        • 同理：已知a事物/b事物=m/n
          • A事物是M的倍数。
          • B事物是N的倍数。
          • A+B是M+N的倍数。
          • A-B是M-N的倍数。
      • 补充： A比B多1/4→ A比B多出来的部分是B的1/4。
  • 方程法
    • 普通方程（组）
      • 未知数的个数等于方程个数。如：4x+8=28
      • 设未知数（一般情况下求谁设谁）
        • 设中间量
        • 设小不设大。
        • 按比例倍数设。
      • 列方程（组）
        • 找等量关系：共，和，总计，多/少。
      • 解方程（组）
        • 方程组：消元（加减消元，代入消元）
    • 不定方程（组）
      • 未知数都个数>方程个数。如：4x+y=18
      • 方法
        • 未知数一定是整数。（代入排除法）
          • 奇偶特性。
            • 未知数系数恰好是一奇一偶时，考虑奇偶特性。
              • 偶数倍是偶数，奇数倍不确定。
              • 加减法中，同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。
              • 乘法中有偶，则为偶，全部为奇才为奇。
            • 例如：3x+4y（偶数）=25(奇数)，x=?（奇数）
          • 倍数特性
            • 未知数系数与常数有公因数时，考虑倍数特性。
              • 如：4和6，有公因数2。
            • 例如：7X+3Y=60，则X=？→7 X+3 Y（3的倍数）=60（3的倍数）→7X（x）是3的倍数。
          • 尾数法。
            • 当未知数的系数尾数为0或5时，考虑尾数法。
            • 例如：5X+3Y=29，则Y=？→5X（尾数为0或5）+3Y=29（尾数为9）. →0+3y=9（最后代入选项）y=3
          • 奇偶、倍数、尾数都能用的时候，优先用倍数和尾数。
        • 未知数不一定是整数（考的少）
          • 特征
            • 未知数不一定是整数。
            • 两种购买方案，求总和X+Y+Z。
          • 解题
            • 凑系数（太难了，放弃了）
            • 赋零法
              • 一般赋系数最复杂的未知数为0，可简化计算。（数量运算2:59分）
• 工程问题
  • 三量关系：总量等于效率乘以时间。（ W=PT）
  • 考察题型。
    • 给完工时间型。（给多个完工时间）
      • 例题
        • 一项工作甲单独做4小时可以完成，乙单独做6小时可以完成，那么甲和乙合作需要多少小时能够完成？（有多个完成时间）
      • 解题步骤
        • 赋总量（赋予最小公倍数）
        • 算效率：效率=总量÷时间。
        • 根据过程列式求解
        • 解例题
          • 4和6的最小公倍数是12，所以总量=12
          • 甲的效率=12÷4=3 乙的效率=12÷6=2
          • 时间=效率÷总量 t=（3+2）÷12=5/12
      • 交替合作题
        • 确定一个周期是几天。
        • 确定一个周期的工作量。
        • 计算需要几个周期
        • 分析余数和整除。
    • 给效率比例型（给效率比例关系）
      • 例题。
        • 甲乙两人工作效率之比为5:2，一项工作两人合作6天可以完成，问乙单独工作需要多少天完工？
      • 解题步骤
        • 第1步，赋效率。（满足比例即可，可适当放缩）
        • 第2步，算总量：效率×时间=总量。
        • 第3步，根据工作过程列式计算。
        • 解例题
          • 因为甲乙的工作效率之比为5:2，所以甲的效率为5，乙的效率为2。
          • 因为甲乙两人合作需要6天可以完成，所以总量=（5+2）×6=42
          • 问题是：乙单独工作需要多少天完工？所以，t=42÷2=21
    • 给具体单位型（给出具体工作效率或工作量）
      • 例题。
        • 要修5千米的路，每天修300米，甲比乙每天多修10米。
      • 解题步骤（方程法）
        • 设未知数。
        • 找等量关系列方程。
• 行程问题
  • 三量关系：路程=速度×时间
  • 考察题型
    • 普通行程。（一个主体）
      • 基础公式
        • 路程=速度×时间。
        • 1小时等于60分钟等于3600秒。
        • 一米每秒等于3600米每小时。
      • 等距离平均速度。
        • 平均速度=总路程÷总时间
        • 平均速度=2VaVb/Va+Vb
          • 适用于:直线往返, 等距离两段, 上下坡往返。
      • 火车过桥
        • 完全过桥。（从车头上桥到车尾下桥）
          • 完全过桥（S是指路程）：S（路程）=L桥（桥的长度）+L车
        • （车身）完全在桥上
          • S=L桥-L车
    • 相对行程（多个主体）
      • 相遇追及问题
        • 直线相遇：两人同时相向而行。
          • 公式： S和=V和×T。（ S和是指两人各自的路程加和）
        • 直线追及：两人同时同向而行。
          • 公式： S差=V差乘T （ S差是指追及刚开始是两人相差的距离）
        • 环形相遇（同时同点，反向）
          • 公式： S和=V和×T。
          • 相遇N次。S和=N圈
        • 环形追及
          • 公式：S差=N圈=V差×T
        • 直线两端出发多次相遇。
          • S和=（2N-1）S=V和×T遇。
      • 流水行船问题（顺水逆水）
        • 公式
          • V顺=V船+V水
          • V逆=V船-V水
        • 注：静水=船速。漂流速度=水速。
• 排列组合与概率
  • 基础概念
    • 分类分步
      • 分类（用加法）
        • 判断方法：用要么…要么…造句
      • 分步（用乘法）
        • 判断方法：用 既…又…造句
    • 排列组合
      • 组合
        • 交换位置对结果无影响。
          • C（m/n）=从N开始往下乘M个数/从M开始往下乘M个数。
            • 例如：C（3/5）=5×4×3/3×2×1
              • C（2/5）=5×4/2×1
      • 排列
        • 交换位置对结果有影响。
          • A（m/n）=从N开始往下乘M个数。
            • 例如：A（3/7）=7×6×5 从7开始往下乘三个数。
      • 例题
    • 概率问题
      • 给情况求概率：没有已知概率，求概率。
        • 公式：概率=满足条件的情况数/总情况数
          • 例题：5个男生三个女生，任选两个人参加培训，都是女生的概率是？
      • 给概率求概率：有已知概率，求概率。
        • 方法
          • 分类相加：P=P1+P2+P3+…（要么…要么……）
            • 例如：买一张彩票中奖的概率为多少？（要么中一等奖，要么中二等奖，……）
          • 分步相乘：P=P1×P2×P3×…（既……又……）
            • 例如：买两张彩票，都中三等奖的概率是多少？（两张彩票既要第1张中三等奖，又要第2张中三等奖）
  • 常用方法。
    • 捆绑法。
      • 题型特征。
        • 在一起/相邻/相连。
          • 例题：三男三女站成一排，三个女生必须站在一起，有几种情况。
      • 方法
        • 先捆
          • 把相邻的捆绑起来看成一个整体。
        • 再排
          • 把捆后的“整体”与其他进行排列组合。
        • 注意：捆绑过程需考虑内部有无顺序。
    • 插空法。
      • 题型特征。
        • 不在一起，不相邻，不相连。
          • 例题：4个男生两个女生站成一排，两个女生不能站在一起，有几种情况。
      • 方法
        • 先排。
          • 先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
        • 再插
          • 将不相邻的元素插入到符合条件的空位中。
• 植树问题
  • 基础植树
    • 基础概念理解
  • 不移动植树
    • 特征：已知前后间隔，求不移动的棵数。
    • 方法
      • 1，找总长
      • 2，求前后间距的最小公倍数。
      • 3，套公式。
        • 两端植树：不移动棵数=总长/最小公倍数+1
        • 单端植树（环形植树）：不移动棵数=总长/最小公倍数
        • 楼间植树：不移动棵树=总长/最小公倍数-1
    • 例题
• 经济利润问题
  • 基础经济
    • 区分概念
      • 进价
      • 成本
      • 定价：标牌价
      • 售价：实售价
      • 注：不打折、不提价的时候，定价等于售价。
    • 基础公式。
      • 利润=售价-成本。
      • 利润率=利润/成本=售价-成本/成本=售价/成本-1
      • 售价（定价）=成本×（1+利润率）
      • 打折率=折后价/折前价
      • 总利润=总收入-总成本=单利×数量
    • 常用方法
      • 给具体带单位（元、件、个）的数值→方程法（找等量关系）→套公式
      • 无具体带单位的数值（给比例，求比例）→赋值法（一般赋成本、原价）→套公式
  • 分段计费
    • 例如：3公里以内起步价8元，超出3公里部分，每公里两元。
    • 计算方法
      • 先按标准分开看。
      • 计算之后再汇总。
      • 找到等量关系，用方程法或者是赋值法解出答案。
  • 函数最值
    • 题目特征。
      • 单价（单利）和销量此消彼长
        • 单价每提升三元，销量就会降低一件。
      • 问何时销售额/总利润最高。
    • 计算方法
      • 第1步，设提价或降价次数为X，列方程。销售总额/总利润=（ ）×（ ）
      • 第2步，令总销售额/总利润为0，解得x1,x2
      • 第3步，当X=（X1+X2）/2时，取得最值。
    • 例题
      • 单价为30元可卖出16件，若单价每提升三元销量会降低一件，请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
      • 解：1，设单价提升X次，销售总额=单价×销量=（30+3x）×（16-x） 2，令销售总额为0，则：（30+3x）×（16-x）=0。所以x=-10或16 3，X=（-10+16）/2=3次 4，所以当单价提升三次时，销售总额最高。即：30+3×3=39元
• 浓度问题
  • 基本公式
    • 溶液（糖水）=溶质（糖）+溶剂（水）。
    • 浓度=溶质/溶液。
    • 溶质=浓度×溶液。
    • 拓展
      • 溶液等量混合，溶液等量混合之后的浓度等于平均值。例如4%和8%的酒精溶液各100毫升混合在一起，混合后的浓度为6%。（（4+8）/2）
  • 解题方法
    • 方程法
      • 根据混合前后的等量关系（一般溶质不变）,列式解方程
    • 线段法
      • 特征：两溶液混合，浓度均已知。
      • 方法：混合之前写两遍，混合之后写中间，距离与量（溶液）成反比。
    • 赋值法1（给比例求比例）
      • 赋值法特征：溶质不变（反复蒸发/加水）
      • 方法：对溶质赋值，一般赋为公倍数。
    • 赋值法2
      • 特征：溶液不变（倒出再用水加满，默认起初是满的）
      • 方法：溶液倒出n/m后加满水,浓度变为原来的（1-n/m）。