三重积分

三重积分知识总结，包括利用对称性计算三重积分、球坐标系下计算三重积分、柱坐标系下计算三重积分、化三重积分为三次积分等内容。

三重积分

• 步骤
  • 画域
  • 投影（到xoy面）
  • 发射
  • 定限
• 化三重积分为三次积分
• 计算三重积分
  • 先一后二投影法（先对z；将区域D投影到xoy面，作平行于z轴的直线定限）
  • 先二后一截面法（用平行于xoy面的平面截立体，截面为D（z））
    • 步骤：画域 切片 扫地 定限 计算
    • 适用于
      • 被积函数只有Z的情况 f(x,y,z)=g(z)
      • 截面D(z）为圆形、椭圆形、圆环等
    • 需要表示出截面面积
• 柱坐标系下计算三重积分
  • 柱坐标=平面极坐标+z轴
  • 柱坐标下的体积元素
  • 投影法
  • 柱坐标适用于
    • 圆柱
    • 该立体的投影区域为圆或圆的一部分
• 球坐标系下计算三重积分
  • 球坐标系下的体积元素
  • 适用于
    • 立体是球或球的一部分
  • 截面法
• 利用对称性计算三重积分
  • 区域关于xoy面对称，被积函数关于z为奇函数，则I=0（其他两条同理）