数量关系（数字推理、数学运算）公考考公

根据历年国考和广东省考，以及粉笔980系统课程笔记，加上做题积累，归纳总结了数字推理和数量关系的各种题型的特征/判别、答题思路技巧，包含大量必备数学公式和图解，还有经典例题。 青春向党，不负韶华，不负人民！

数量关系

• 数字推理
  • 广东省考特色题。
一般考查 5题！
  • 基础知识
    • 数
      • ＞0
        • 正数
      • =0
        • 零
      • ≥0
        • 自然数
          • 按【因数个数】分类
            • 质数
              • 除了1和它本身之外，不能被其他正整数整除的正整数
              • 2、3、5、7、11、13、17、19、23……
            • 合数
            • 0
            • 1
      • ＜0
        • 负数
  • 基础数列
    • 直接考查概率较低，但是其他的基础
    • 识别特征
      • 考查形式较灵活，题干数列有明显特点
    • 能力要求
      • 发散思维+计算能力
    • 分类
      • 等差
        • 相邻两数间差相同
          • 1、3、5、7、9……
            • （1+2=3、3+2=5、5+2=7、7+2=9……）
      • 等比
        • 相邻两数间商n相同
          • 1、3、9、27、89……
            • （1×3=3、3×3=9、9×3=27、27×3=89……）
      • 质数
        • 其约数只有1和它本身
          • 2、3、5、7、11、13、17、19、23……
      • 周期
        • 数字具有周期循性
          • 1、3、1、3、1、3……
            • （1、3……）
      • 简单幂次
        • 平方（n^2）
          • 1、4、3、16、25、36……
            • （1^2、2^2、3^2、4^2、5^2、6^2……）
        • 立方（n^3）
          • 1、8、9、64、125……
            • （1^3、2^3、3^3、4^3、5^3……）
      • 简单递推
        • 递推和
          • 1、2、3、5、8、13、21……
            • （1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13、8+13=21……）
        • 递推差
          • 89、53、36、17、19、-2……
            • （89-53=36、53-36=17、36-17=19、17-19=-2……）
        • 递推积
          • 2、2、4、8、32、256……
            • （2×2=4、2×4=8、4×8=32、8×32=256……）
  • 特征数列
    • 多重数列
      • 1~2道，难度不高
      • 特征
        • 数列中数字项数较多（≥7项），or 有两个括号
      • 技巧
        • 数字分类拆开 → 新の数列
          • 交叉数列
            • 奇数项（第1、3、5、7项）
            • 偶数项（第2、4、6、8项）
          • 分组数列
            • 两两一组
              • 简单计算后→新数列→成规律
              • 相邻两个一组
            • 三三一组
              • 不常见：数字≥9项
              • 相邻三个一组
            • 整数部分 & 小数部分
    • 分数数列
      • 高频考点，易于识别，分子分母规律变形不多；需重点掌握
      • 特征
        • 题干中有大多(所有)都是分数
      • 解题步骤
        • 观察：整体趋势
          • 整体趋势：相同（一直变大/减小）
            • → 分子、分母 分别成规律
            • → 整个分数 成规律
          • 整体趋势：出现波动（有增有减）
            • → 变化项：反约分（分子分母同时扩大使趋势一致）→ 观察规律
        • Tip：
          • 反约分时，应使：前一项≤此项≤后一项
          • 仅通过分子or分母锁定答案时，需考虑分数约分！
          • 其他分母都成幂次，仅剩一个过大，可以约分至符合幂次数列，即使分子变为小数
      • 常见特殊规律
        • A2=A1+B1 A2=B2+A1
          • 后一项分母=前一项（分子+分母） 后一项分子=该项分母+前一项分子
        • 出现两个分母为同一个数N → 把其他数也反约分成分母为N的数 → 观察分母规律
        • "An=N”：当A1=1，A5=5时 → 反约分：使A2=2、A3=3、A4=4（把中间几项化成分子分别为2、3、4的分数）
    • 做商数列
      • 最多1道，较常见，难度不高
      • 特征
        • 相邻两项有明显倍数关系
        • 整体趋势：变化很大（间隔越来越大，“大得离谱”）
      • 技巧
        • 两两做商 → 新の数列
        • Tip：
          • 作商方向保持一致！
            • 都是“前/后”
            • 都是“后/前”
    • 幂次数列
      • 大概1道，难度较高，is难点
      • 特征
        • 普通幂次：数字本身is幂次数
          • （A = X^n）
        • 修正幂次：数字附近有幂次数
          • （A = X^n ±m）
        • 技巧
          • 出现：64、25、27
          • 项数较少，已知4项，求第5项
      • 技巧
        • 普通幂次 → 直接转化
        • 修正幂次 → 通过特征数转化
      • 常见特殊规律
        • 幂次数 ± 同一个数y ： A1、A2、A3、A4、A5 → “X^n ±m”、“X1^n ±y”、“X2^n ±y”、“X3^n ±y”、“X4^n ±y”
        • 幂次数 ± 等差数列 （X^n-(n-1)、X^n-n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^n ±0”、“X2^n ±1”、“X3^n ±2”、“X4^n ±3”、“X5^n ±4 ” “X1^n ±1”、“X2^n ±2”、“X3^n ±3”、“X4^n ±4”、“X5^n ±5 ”
        • 立方数±等差数列（N^3-n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^3 ±1”、“X2^3 ±2”、“X3^3 ±3”、“X4^3 ±4 ”、“X5^3 ±5”
        • 幂次数（奇-偶+ /奇+偶-）等差数列（X^n±n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^n -1”、“X2^n +2”、“X3^n -3”、“X4^n +4 ”、“X5^n -5”
      • Tip：
        • 特殊数字：
          • 16=4^2=2^4
          • 64=8^2=4^3=2^6
          • 256=16^2=2^8
    • 图形数列
      • 较冷门，近年仅浙江上海广州的公务员考试涉及较多；
看似杂乱无章，实则规律单一。
      • 特征
        • 题干出现：圆形、三角形、方格形(3×3、4×4)、正方形
      • 技巧
        • 圆形&三角形 → 凑 中心数
          • 找 其余数字 & 中间数字 的关系
        • (3×3、4×4)方格形 → 凑 最大数
          • 找 同行or同列の数字 & 最大の数字 之间的关系
            • 从左到右 “→”
            • 从上到下“↓”
      • 常见特殊规律
        • 圆形
          • 斜角乘积 ± 斜角之和(差)
        • 三角形
          • 两角乘积 ± 余角
        • (3×3、4×4)表格
          • 前两行之和 = 第三行
          • 前两行之和 × 第三行 = 第四行
          • 第三行^2 = 第四行
        • 正方形（四个角有数）
          • 四角之和 → 新の数列
          • 各角 顺逆时针移1位 → 基础数列
  • 非特殊数列
    • 识别特征
      • 数列本身特征不明显，需对数列中的数字进行计算后才有规律
    • 能力要求
      • 难度略高，需掌握基础数列
    • 分类
      • 多级数列
        • 考查频率最高，考察形式相对变化不大，难度不大。
        • 特征
          • 变化平缓，4~6项数字，无其他明显特征
        • 解题步骤
          • 相邻两数作差 （-）→ 新の数列
          • 相邻两数作和 （+）→ 新の数列
          • 连续相邻两数作差 （- ）→（-）→ 新の数列
          • Tip：
            • 作差方向保持一致！
              • 都是“后-前”
              • 都是“前-后”
      • 递推数列
        • 题量不大；难度较高，考查形式变化多样，is难点。
        • 特征
          • 只有数字变化趋势，无其他明显特征
            • E、A、B、C、D、( )
        • 解题步骤
          • 观察：数字变化趋势 → 运算方法
          • 选几项 → 找规律
            • 找几项
              • 相邻两项（考得极少）
              • 连续三项 绝对值 较大の数
              • 连续四项 绝对值 较大の数
              • Tip：不是“最大”！
            • 找规律
              • 一般is 前两项处理加和=第三项
          • 规律代入其他项 → 验证规律
            • 符合 → 推导求解
            • 有些项不符合 → 重新尝试其他规律
        • 常见特殊规律
          • A + B = C
          • A + B/2 =C
          • (A ± B) × N = C
            • IF 前两项相乘 ＞＞第三项 → 考虑：加减 递推
          • A×B ± 等差数列(0、1、2、3、4) = C
          • A+B+C=A×B
            • 相邻三项之和（+）= 前两项の乘积
          • A^n ± N = B
          • A^n ± 等差数列(0、1、2、3、4) = B
          • IF 前半部分变化较慢，后半部分变化较快 → 考虑：乘积(倍数)or幂次 递推 + 加减修正
      • 特殊数列
        • 考查频率较低，考查形式多变，规律灵活，难以归类，难度较大。 近年，多考查【数字位数较多】的题型。
        • 特征
          • 非特征数列，一般作和、作差都无明显规律
        • 技巧
          • 拆分
            • 每个数字の位数较多
              • 各位拆开
                • 各位数字加和（+）
                  • 个位+十位+百位=N
                • 各位数字乘积（+）
                  • 个位×十位×百位=N
            • 几乎每一项都有运算:“A ± B”
              • A、B分别有规律
          • 排序
            • 数字重复出现、（每一项位数依次减少/增加）
              • A的最后一位=B的首位、（A的倒数第二位数消失）
    • 应试技巧
      • 非特征数列（→作差 → 作和 → 递推）：最后做，适当放弃！
      • 发现两种规律 → 验证次数多的√（一般要验证两次以上）
• 数学运算
  • 三大方法
    • 代入排除法
      • 适用情况 （范围）
        • 看题型
          • 年龄
          • 余数（"剩/余/缺"……）
          • 多位数（位数变化："A位上的数与B位上的数对调"）
          • 不定方程（未知数个数＞方程个数）
        • 看选项
          • 信息充分：选项为一组数/可转化为一组数
        • 超复杂
          • 题干长、主体多、关系乱
        • 剩两项
          • 剩二代一得答案
      • 使用方法
        • 优先排除
          • ← 尾数、奇偶、倍数
        • 直接代入
          • ← 最值、好算
    • 倍数特性法
      • 题型
        • 平均分配物品、平均数
        • 三个量之间の关系
      • 用法
        • 观察倍数→排除
      • 三种类型
        • 整数型
          • 若 A=B×C（B、C均为整数 ）→ 则 A能被B、C整除 （即：A mod B =0 & A mod C =0）
          • 口诀
            • 3、9 → 看各位数字之和
            • 4、25 → 看末两位
            • 5、0 → 看末位
          • 因数分解
            • 注意：分解后的两个数必须互质(无公约数)
              • Eg.
                • 12 = 3×4 ≠ 2×6
                • “判断A÷18” = “判断A÷9且A÷2”
          • 拆分
            • 拆成两个数の和/差
              • Eg.
                • 703÷7 = （700+3）÷7 = 700÷7 + 3÷7
                • 判断“A÷7” = 把A拆成“7的倍数±零头”，只看零头能否被7整除
        • 余数型
          • 关键词
            • “剩下/多……”
          • 若 y=ax+b（a、x均为整数），则 y-b能被a整除
          • 若 y=ax-b（a、x均为整数），则 y+b能被a整除
          • 技巧：“多退少补”
          • Tip：
            • 问最少→从最小の数代入
            • 问最多→从最大の数代入
        • 比例型
          • 比例の常见形式
            • 分数
              • a/b
            • 比例
              • a : b
            • 百分数
              • x %
            • 倍数
              • n 倍
          • 若
            • 前提:
              • A、B均为整数
              • m、n互质(无公约数)，即：
                • is 最简整数比
            • ，则
              • A是m的倍数，B是n的倍数
              • A±B是m±n的倍数
          • 技巧
            • 若 甲(a份)占其他数(N份)の
              • 则 甲(a份)占所有数(a+N份)の
          • Tip：问题&比例：有关 → 可看比例推答案（答案is分母の倍数）！
    • 方程法
      • 普通方程
        • 技巧：设未知数
          • 设中间量（方便列式）
          • 设小不设大（避免分数）
          • 求谁设谁（避免陷阱）
          • 出现比例：设份数
      • 不定方程
        • 方法：结合选项 → 代入排除
          • 奇偶特性
            • 系数(a和b)一奇一偶
              • 从偶数倍&常数开始看！
          • 倍数特性
            • 系数(a或b) 与 常数(N) 有公因子
              • 剩下の未知数 必定=公因子の倍数！
          • 尾数特性
            • 系数(a或b)尾数为0或5
              • 根据尾数 进行 运算推导
          • 直接代入选项 ！
      • 不定方程组
        • 方法：先消元 → 转化为[不定方程]→ 按不定方程求解
        • 未知数一定 is 整数
          • → 消元
            • 求谁不消谁
        • 未知数不一定 is 整数
          • → 特值法（一股赋0）
            • 令其中一个未和数=0 → 快速算出其他未知数。
      • Tip：方程组の求解
        • 3个未知数：x、y、z
        • 3条方程式
        • 找到3个“总数”→ 列出3条等式关系
        • 3条三元方程式 → 两两消元（消去同一个未知数）→ 得两条同两个未知数の二元方程式
        • 根据得到の两条二元方程式 → 消元（消去同一个未知数）→ 得到其中一个未知数の解
        • 根据得到の未知数的解 →代回两元方程 → 得另一未知数的解
        • 根据得到の两个未知数的解 →代回最初の三元方程 → 得最后一个未知数的解
  • 六大题型
    • 工程问题
      • 三量关系
        • 总量=效率×时间（W=P×T）
      • 题型
        • 给完工时间型
          • 解题步骤
            • 先赋 总量（完工时间の公倍数）
            • 再算 效率=总量÷时间
            • 根据工作过程 列方程
        • 给效率比例型
          • 三种形式
            • 直接型
              • Eg. 甲的效率 is 乙的1.5倍
                • 甲=1.5乙 → 甲：乙=1.5:1=3:2
            • 间接型
              • Eg. 甲3天的工作量 相当于 乙4天的工作量
                • 3甲=4乙 → 甲：乙=4：3
            • 特殊型
              • Eg.
                • 某农场有36台收割机
                • 某工厂有50名工人
                • 给出具体台数/人数 → 设每台/人の效率=1
                • 某公司有5名专家和30名工人
                  • 有“不同效率の两种人” → 设工人效率=1，专家效率=x
          • 解题步骤
            • 先赋 效率(满足比例即可)
            • 再算 总量=效率×时间
            • 根据工作过程 列方程
        • 给具体单位型
          • 解题步骤
            • 设未知数，找等量关系列方程
        • 其他工程
          • 【“牛吃草”】
            • 判定：
              • 有"生长"有"消耗"
                • 总量随时间延长而增加
              • 外在形式：排比句
            • 公式
              • Y=(N-X)×T
                • 原有草量Y =（牛的个数N×牛吃草速度(一般=1) — 草长速度X）× 时间T
              • 推导过程（了解）
                • 牛吃的草量 = 原有草量+新长的草量 牛的个数×牛吃草速度(=1)×时间 = 原有草量+草新长的速度×时间 牛的个数×时间-草新长的速度×时间 = 原有草量 （牛的个数-草新长的速度）×时间 = 原有草量
            • 拓展
              • 问：“草地可持续发展时，最多可有几头牛？”
                • 可持续发展 = 草一直长，永远吃不完 → 牛数(×牛吃草速度=1)=草长速度
              • 解：分别把(N1、T1)和(N2、T2)代入公式 → 求出X(草生长速度) 即为答案
    • 行程问题
      • 比例行程（方法）
        • s一定，v、t成反比
        • v一定，s、t成正比
        • t一定，s、v成正比
      • 普通行程
        • 路程=速度×时间（s = v×t）
        • 平均速度
          • 平均速度=总路程÷总时间
          • 等距离平均速度=
          • 【有平路&上下坡の往返题】 の解题小窍门
            • 一般：
              • • s=vt
                  • s：往返总路程。
                  • v：平路の平均速度。
                  • t：往返总用时。
        • 【火车过桥】
          • 路程=桥长±车长
            • 过桥时间×车速 = 桥长 + 车长
            • 在桥上の时间×车速 = 桥长 - 车长
      • 相对行程
        • 相遇、追及
          • 基础公式
            • 相遇：
              • S和：两人所走の路程之和
            • 追及：
              • S差：追及刚开始时，两人之间相差の距离
              • 关于【追击问题】の做题小窍门
                • 【三人追及题】：A、B、C之间的间距相等，x分钟后A追上B，又y分钟后A追上C.
                • 问：再过多少分钟B追上C？
                • 解题窍门：看选项 → 若 "D项"-x-y="C项"，则 "C项 "√
          • 直线
            • "→→" 同向而行(一端出发) 第n次相遇(追及)
              • • n=1 → 则=2s n=2 → 则=4s n=3 → 则=6s
            • "→←" 相向而行(两端出发) 第n次相遇
              • • n=1 → 则=1s n=2 → 则=3s n=3 → 则=5s
            • "同偶、对奇"
          • 环形
            • 第n次相遇
            • 第n次追及
            • 本质：
              • 每次相遇到下一次相遇期间，两人所走路程之和 = 1圈 追及 追及 之差
        • 流水行船
          • 顺水（同向）
          • 逆水（逆向）
          • Tip：
            • 静水速度=船速
            • 漂流速度=水速
    • 经济利润问题
      • 常规の经济利润
        • 基础知识
          • 利润=售价-进价
          • • 总利润=单个利润×销售总量 =总售价-总进价
            • Tip：求 [利润率] 时，设 [进价]=x
          • 售价 = 进价×(1+利润率)
            • ≠
              • 销售额(总价)=单价×销售总量
        • 解题方法
          • 【方程法】
            • 题干中出现与费用、利润、利润率有关の具体数据（Eg.钱数、商品量）
            • 代入公式列方程计算
          • 【赋值法】
            • 给比例，求比例
              • 即：所有条件&问题全是比例
            • 三量关系只知其一
              • 总价=单价×数量
              • 总量=效率×时间
              • 路程=速度×时间
            • 对条件&问题都没有给具体值の量进行赋值
      • 分段计算
        • 题型识别
          • 题干中表述 “超出部分按照某个标准计算”
            • 水电费、出租车、税费
        • 解题思路
          • 题干所给标准以内是一个单价， 超出标准是另外一个单价 → 分段计算：标准内&超标准 → 根据题干中的关系计算
      • 统筹经济
        • 题型识别
          • 题干中给出不同费用方案，问题中出现“最多”、“最少”或类似表述
        • 解题思路
          • 综合考虑对比各种情况，选择最优方案
    • 最值问题
      • 函数最值
        • 题干特征
          • 单价&数量 此消彼长 →求 最大利润or售价
            • 【每提高单价，减少销量】
            • 解题方法
              • 设 提价次数=x，列方程“y=(N±aX)·(M±bX)”
              • 令y=0（即：分别使两个括号=0）
              • 求出 X1、X2
              • 求 X1 和 X2 の 中间值Z
              • 代入原方程即可得yの最值
              • 一元二次方程
                • 对称轴公式= -b/2a
                • 最值公式= (4ac-b^2)/4a
          • 【三边围栏 "凵"】
            • 长方形三边和一定时，三边按 2 : 1 : 1 分配可使面积最大。
        • 解题方法
          • 两点式
            • 令总价/总利润=0 → 得X1、X2 → 求中间值X → 代入方程得最值
      • 构造数列
        • 题干特征
          • 题干中出现“最多……”、“最少……”，问“……至少/最少……？”
        • 解题步骤
          • 问谁至少？→ 设谁"x"
          • 令除了最值(最大&最小)者外，其余尽可能大，即：="x-1"
        • Tip:
          • 题干未说明“数量均不相同/不相等”→ 即：可以是相同数量！
          • 公式：
            • Eg. 1+2+3+4+……+8+9+10=(1+10)×10/2
      • 最不利构造
        • 题干特征
          • “至少……保证……”
        • 解题方法
          • =最倒霉の情况数+1
        • Tip:
          • 需保证同种情况至少n个，应每种情况各取（n-1）个，总数＜（n-1）的全取完，最后再+1
    • 排列组合&概率
      • 排列组合
        • 用法
          • +？×？
            • 分类用加法+（要么……要么……）
              • 任选其一发生即可（“或”）
            • 分步用乘法×（先……再…… / 既……又……）
              • 都发生才行（“且”）
          • 排列？组合？
            • 有序用排列（不可互换）
              • （n≥m）
                • Eg.
                • 特别：
            • 无序用组合（可以互换）
              • （n≥m）
                • Eg.
                • 特别：
                  • • Eg.
        • 题型
          • 情况数少
            • 枚举法
              • 依照次序；不重不漏
          • 至少n个
            • 插板法
              • 公式+变形
          • 必须相邻
            • 捆绑法
              • 先捆再排
          • 不能相邻
            • 插空法
              • 先排再插
          • 正难反易
            • 三人不能相邻/不能全部连在一起
            • 1-反面情况概率总情况数-方面情况数("都不满足")
          • 不回原位
            • 错位排列
              • 0/1/2/9/44
      • 概率
        • 给情况求概率：
          • =满足要求的情况数 / 所有的情况数
        • 给概率求概率：
          • 分类用加法，分步用乘法
        • 正难反易：
          • =1-反面情况概率
        • "同排概率"
          • 两人要凑在一起の概率题
            • ”跟屁虫“模型
            • 先让一人随便挑，剩下的"跟屁虫"去找前者！
            • ∴ = P1 × P2 =100% × ("同排"中还剩の位置 / 前者坐下后总体剩下の位置)
          • Tip:
            • 若"每排"人数位不相同，不可用此法！
    • 容斥问题
      • 公式法
        • 两集合
          • A+B - A∩B = 总数-都不
        • 三集合
          • 标准型
            • A+B+C -A∩B-A∩C-B∩C +A∩B∩C = 总数-都不
          • 非标准型
            • A+B+C -满足两项 -2x满足三项 = 总数-都不
              • Tip：
                • "满足两项" = 仅满足两项+仅满足三项/全都 = A∩B+(A∩C-A∩B∩C)+(B∩C-A∩B∩C) = (A∩B+A∩C+B∩C) - 2(A∩B∩C)
            • 仅满足一项+仅满足两项+仅满足三项 = 总数-都不
              • Tip：
                • 仅满足一项" = A+B+C
                • "仅满足两项"不包含"仅满足三项/全都" "仅满足两项" = A∩B+A∩C+B∩C
                • "仅满足三项" = A∩B∩C
      • 画图法
        • 画圈圈，标数据
        • 从里到外，注意去重
        • 题目所给在公式中无，公式法不好用；
          • 往往is出现只满足某一个条件。
      • Tip:
        • 三者时，满足三项 ≤ 满足两项中最小的 即："全都" ≤ "两两相交"中最小的
  • 其他
    • 几何图形
      • 几何公式
        • 周长
          • 正方形： 4a
          • 长方形：2(a+b)
          • 圆形： 2πR
          • 弧长：
        • 面积
          • 正方形：
          • 长方形：a·b
          • 三角形：
          • 圆形：
          • 扇形：
          • 梯形：
          • 菱形：对角线乘积÷2
        • 表面积
          • 正方体：
          • 长方体： 2(ab + bc + ac)
          • 圆柱体：
          • 球体：
        • 体积
          • 正方体：
          • 长方体： a·b·c
          • 柱体：s·h
          • 锥体：
          • 球体：
      • 高频几何问题
        • 公式类
          • 规则图形→直接用公式
          • 不规则图形→转化：规则图形→再用公式
        • 结论类
          • 已知第1、2、3个.....推第n个
            • 枚举归纳找规律
          • 连接各边中点
            • 三角形▲则面积减少为1/4
            • 四边形 ■ 则面积减少为1/2
          • 圆内接三角形
            • 直径 所对角 is 直角
            • 直角 所对弦 is 直径
          • 面积的比例
            • 底相等 → 面积&高 成正比
        • 技巧类
          • 相似三角形
            • 对应边长比&高度比=相似比
            • 面积比=相似比の平方
          • 最短路径
            • 平面反射
              • 镜面对称→再连线
            • 立体表面
              • 展开成平面→再连线
    • 补充公式&结论
      • 计算公式
      • 数列公式
      • 植树问题
      • 方阵问题
• 速算：
  • 尾数 → 排除
  • 同余定理
    • 余同取余
    • 和同相加
    • 差同减差