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数量关系（数字推理、数学运算）公考考公
根据历年国考和广东省考，以及粉笔980系统课程笔记，加上做题积累，归纳总结了数字推理和数量关系的各种题型的特征/判别、答题思路技巧，包含大量必备数学公式和图解，还有经典例题。 青春向党，不负韶华，不负人民！
编辑于2022-04-28 00:08:39- 数字推理
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数量关系
数字推理
广东省考特色题。 一般考查 5题！
基础知识
数
＞0
正数
=0
零
≥0
自然数
按【因数个数】分类
质数
除了1和它本身之外，不能被其他正整数整除的正整数
2、3、5、7、11、13、17、19、23……
合数
0
1
＜0
负数
基础数列
直接考查概率较低，但是其他的基础
识别特征
考查形式较灵活，题干数列有明显特点
能力要求
发散思维+计算能力
分类
等差
相邻两数间差相同
1、3、5、7、9……
（1+2=3、3+2=5、5+2=7、7+2=9……）
等比
相邻两数间商n相同
1、3、9、27、89……
（1×3=3、3×3=9、9×3=27、27×3=89……）
质数
其约数只有1和它本身
2、3、5、7、11、13、17、19、23……
周期
数字具有周期循性
1、3、1、3、1、3……
（1、3……）
简单幂次
平方（n^2）
1、4、3、16、25、36……
（1^2、2^2、3^2、4^2、5^2、6^2……）
立方（n^3）
1、8、9、64、125……
（1^3、2^3、3^3、4^3、5^3……）
简单递推
递推和
1、2、3、5、8、13、21……
（1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13、8+13=21……）
递推差
89、53、36、17、19、-2……
（89-53=36、53-36=17、36-17=19、17-19=-2……）
递推积
2、2、4、8、32、256……
（2×2=4、2×4=8、4×8=32、8×32=256……）
特征数列
多重数列
1~2道，难度不高
特征
数列中数字项数较多（≥7项），or 有两个括号
技巧
数字分类拆开 → 新の数列
交叉数列
奇数项（第1、3、5、7项）
偶数项（第2、4、6、8项）
分组数列
两两一组
简单计算后→新数列→成规律
相邻两个一组
三三一组
不常见：数字≥9项
相邻三个一组
整数部分 & 小数部分
分数数列
高频考点，易于识别，分子分母规律变形不多；需重点掌握
特征
题干中有大多(所有)都是分数
解题步骤
观察：整体趋势
整体趋势：相同（一直变大/减小）
→ 分子、分母 分别成规律
→ 整个分数 成规律
整体趋势：出现波动（有增有减）
→ 变化项：反约分（分子分母同时扩大使趋势一致）→ 观察规律
Tip：
反约分时，应使：前一项≤此项≤后一项
仅通过分子or分母锁定答案时，需考虑分数约分！
其他分母都成幂次，仅剩一个过大，可以约分至符合幂次数列，即使分子变为小数
常见特殊规律
A2=A1+B1 A2=B2+A1
后一项分母=前一项（分子+分母） 后一项分子=该项分母+前一项分子
出现两个分母为同一个数N → 把其他数也反约分成分母为N的数 → 观察分母规律
"An=N”：当A1=1，A5=5时 → 反约分：使A2=2、A3=3、A4=4（把中间几项化成分子分别为2、3、4的分数）
做商数列
最多1道，较常见，难度不高
特征
相邻两项有明显倍数关系
整体趋势：变化很大（间隔越来越大，“大得离谱”）
技巧
两两做商 → 新の数列
Tip：
作商方向保持一致！
都是“前/后”
都是“后/前”
幂次数列
大概1道，难度较高，is难点
特征
普通幂次：数字本身is幂次数
（A = X^n）
修正幂次：数字附近有幂次数
（A = X^n ±m）
技巧
出现：64、25、27
项数较少，已知4项，求第5项
技巧
普通幂次 → 直接转化
修正幂次 → 通过特征数转化
常见特殊规律
幂次数 ± 同一个数y ： A1、A2、A3、A4、A5 → “X^n ±m”、“X1^n ±y”、“X2^n ±y”、“X3^n ±y”、“X4^n ±y”
幂次数 ± 等差数列 （X^n-(n-1)、X^n-n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^n ±0”、“X2^n ±1”、“X3^n ±2”、“X4^n ±3”、“X5^n ±4 ” “X1^n ±1”、“X2^n ±2”、“X3^n ±3”、“X4^n ±4”、“X5^n ±5 ”
立方数±等差数列（N^3-n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^3 ±1”、“X2^3 ±2”、“X3^3 ±3”、“X4^3 ±4 ”、“X5^3 ±5”
幂次数（奇-偶+ /奇+偶-）等差数列（X^n±n）： A1、A2、A3、A4、A5 → “X1^n -1”、“X2^n +2”、“X3^n -3”、“X4^n +4 ”、“X5^n -5”
Tip：
特殊数字：
16=4^2=2^4
64=8^2=4^3=2^6
256=16^2=2^8
图形数列
较冷门，近年仅浙江上海广州的公务员考试涉及较多； 看似杂乱无章，实则规律单一。
特征
题干出现：圆形、三角形、方格形(3×3、4×4)、正方形
技巧
圆形&三角形 → 凑 中心数
找 其余数字 & 中间数字 的关系
(3×3、4×4)方格形 → 凑 最大数
找 同行or同列の数字 & 最大の数字 之间的关系
从左到右 “→”
从上到下“↓”
常见特殊规律
圆形
斜角乘积 ± 斜角之和(差)
三角形
两角乘积 ± 余角
(3×3、4×4)表格
前两行之和 = 第三行
前两行之和 × 第三行 = 第四行
第三行^2 = 第四行
正方形（四个角有数）
四角之和 → 新の数列
各角 顺逆时针移1位 → 基础数列
非特殊数列
识别特征
数列本身特征不明显，需对数列中的数字进行计算后才有规律
能力要求
难度略高，需掌握基础数列
分类
多级数列
考查频率最高，考察形式相对变化不大，难度不大。
特征
变化平缓，4~6项数字，无其他明显特征
解题步骤
相邻两数作差 （-）→ 新の数列
相邻两数作和 （+）→ 新の数列
连续相邻两数作差 （- ）→（-）→ 新の数列
Tip：
作差方向保持一致！
都是“后-前”
都是“前-后”
递推数列
题量不大；难度较高，考查形式变化多样，is难点。
特征
只有数字变化趋势，无其他明显特征
E、A、B、C、D、( )
解题步骤
观察：数字变化趋势 → 运算方法
选几项 → 找规律
找几项
相邻两项（考得极少）
连续三项 绝对值 较大の数
连续四项 绝对值 较大の数
Tip：不是“最大”！
找规律
一般is 前两项处理加和=第三项
规律代入其他项 → 验证规律
符合 → 推导求解
有些项不符合 → 重新尝试其他规律
常见特殊规律
A + B = C
A + B/2 =C
(A ± B) × N = C
IF 前两项相乘 ＞＞第三项 → 考虑：加减 递推
A×B ± 等差数列(0、1、2、3、4) = C
A+B+C=A×B
相邻三项之和（+）= 前两项の乘积
A^n ± N = B
A^n ± 等差数列(0、1、2、3、4) = B
IF 前半部分变化较慢，后半部分变化较快 → 考虑：乘积(倍数)or幂次 递推 + 加减修正
特殊数列
考查频率较低，考查形式多变，规律灵活，难以归类，难度较大。 近年，多考查【数字位数较多】的题型。
特征
非特征数列，一般作和、作差都无明显规律
技巧
拆分
每个数字の位数较多
各位拆开
各位数字加和（+）
个位+十位+百位=N
各位数字乘积（+）
个位×十位×百位=N
几乎每一项都有运算:“A ± B”
A、B分别有规律
排序
数字重复出现、（每一项位数依次减少/增加）
A的最后一位=B的首位、（A的倒数第二位数消失）
应试技巧
非特征数列（→作差 → 作和 → 递推）：最后做，适当放弃！
发现两种规律 → 验证次数多的√（一般要验证两次以上）
数学运算
三大方法
代入排除法
适用情况 （范围）
看题型
年龄
余数（"剩/余/缺"……）
多位数（位数变化："A位上的数与B位上的数对调"）
不定方程（未知数个数＞方程个数）
看选项
信息充分：选项为一组数/可转化为一组数
超复杂
题干长、主体多、关系乱
剩两项
剩二代一得答案
使用方法
优先排除
← 尾数、奇偶、倍数
直接代入
← 最值、好算
倍数特性法
题型
平均分配物品、平均数
三个量之间の关系
用法
观察倍数→排除
三种类型
整数型
若 A=B×C（B、C均为整数 ）→ 则 A能被B、C整除 （即：A mod B =0 & A mod C =0）
口诀
3、9 → 看各位数字之和
4、25 → 看末两位
5、0 → 看末位
因数分解
注意：分解后的两个数必须互质(无公约数)
Eg.
12 = 3×4 ≠ 2×6
“判断A÷18” = “判断A÷9且A÷2”
拆分
拆成两个数の和/差
Eg.
703÷7 = （700+3）÷7 = 700÷7 + 3÷7
判断“A÷7” = 把A拆成“7的倍数±零头”，只看零头能否被7整除
余数型
关键词
“剩下/多……”
若 y=ax+b（a、x均为整数），则 y-b能被a整除
若 y=ax-b（a、x均为整数），则 y+b能被a整除
技巧：“多退少补”
Tip：
问最少→从最小の数代入
问最多→从最大の数代入
比例型
比例の常见形式
分数
a/b
比例
a : b
百分数
x %
倍数
n 倍
若
前提:
A、B均为整数
m、n互质(无公约数)，即：
is 最简整数比
，则
A是m的倍数，B是n的倍数
A±B是m±n的倍数
技巧
若 甲(a份)占其他数(N份)の
则 甲(a份)占所有数(a+N份)の
Tip：问题&比例：有关 → 可看比例推答案（答案is分母の倍数）！
方程法
普通方程
技巧：设未知数
设中间量（方便列式）
设小不设大（避免分数）
求谁设谁（避免陷阱）
出现比例：设份数
不定方程
方法：结合选项 → 代入排除
奇偶特性
系数(a和b)一奇一偶
从偶数倍&常数开始看！
倍数特性
系数(a或b) 与 常数(N) 有公因子
剩下の未知数 必定=公因子の倍数！
尾数特性
系数(a或b)尾数为0或5
根据尾数 进行 运算推导
直接代入选项 ！
不定方程组
方法：先消元 → 转化为[不定方程]→ 按不定方程求解
未知数一定 is 整数
→ 消元
求谁不消谁
未知数不一定 is 整数
→ 特值法（一股赋0）
令其中一个未和数=0 → 快速算出其他未知数。
Tip：方程组の求解
3个未知数：x、y、z
3条方程式
找到3个“总数”→ 列出3条等式关系
3条三元方程式 → 两两消元（消去同一个未知数）→ 得两条同两个未知数の二元方程式
根据得到の两条二元方程式 → 消元（消去同一个未知数）→ 得到其中一个未知数の解
根据得到の未知数的解 →代回两元方程 → 得另一未知数的解
根据得到の两个未知数的解 →代回最初の三元方程 → 得最后一个未知数的解
六大题型
工程问题
三量关系
总量=效率×时间（W=P×T）
题型
给完工时间型
解题步骤
先赋 总量（完工时间の公倍数）
再算 效率=总量÷时间
根据工作过程 列方程
给效率比例型
三种形式
直接型
Eg. 甲的效率 is 乙的1.5倍
甲=1.5乙 → 甲：乙=1.5:1=3:2
间接型
Eg. 甲3天的工作量 相当于 乙4天的工作量
3甲=4乙 → 甲：乙=4：3
特殊型
Eg.
某农场有36台收割机
某工厂有50名工人
给出具体台数/人数 → 设每台/人の效率=1
某公司有5名专家和30名工人
有“不同效率の两种人” → 设工人效率=1，专家效率=x
解题步骤
先赋 效率(满足比例即可)
再算 总量=效率×时间
根据工作过程 列方程
给具体单位型
解题步骤
设未知数，找等量关系列方程
其他工程
【“牛吃草”】
判定：
有"生长"有"消耗"
总量随时间延长而增加
外在形式：排比句
公式
Y=(N-X)×T
原有草量Y =（牛的个数N×牛吃草速度(一般=1) — 草长速度X）× 时间T
推导过程（了解）
牛吃的草量 = 原有草量+新长的草量 牛的个数×牛吃草速度(=1)×时间 = 原有草量+草新长的速度×时间 牛的个数×时间-草新长的速度×时间 = 原有草量 （牛的个数-草新长的速度）×时间 = 原有草量
拓展
问：“草地可持续发展时，最多可有几头牛？”
可持续发展 = 草一直长，永远吃不完 → 牛数(×牛吃草速度=1)=草长速度
解：分别把(N1、T1)和(N2、T2)代入公式 → 求出X(草生长速度) 即为答案
行程问题
比例行程（方法）
s一定，v、t成反比
v一定，s、t成正比
t一定，s、v成正比
普通行程
路程=速度×时间（s = v×t）
平均速度
平均速度=总路程÷总时间
等距离平均速度=
【有平路&上下坡の往返题】 の解题小窍门
一般：
s=vt
s：往返总路程。
v：平路の平均速度。
t：往返总用时。
【火车过桥】
路程=桥长±车长
过桥时间×车速 = 桥长 + 车长
在桥上の时间×车速 = 桥长 - 车长
相对行程
相遇、追及
基础公式
相遇：
S和：两人所走の路程之和
追及：
S差：追及刚开始时，两人之间相差の距离
关于【追击问题】の做题小窍门
【三人追及题】：A、B、C之间的间距相等，x分钟后A追上B，又y分钟后A追上C.
问：再过多少分钟B追上C？
解题窍门：看选项 → 若 "D项"-x-y="C项"，则 "C项 "√
直线
"→→" 同向而行(一端出发) 第n次相遇(追及)
n=1 → 则=2s n=2 → 则=4s n=3 → 则=6s
"→←" 相向而行(两端出发) 第n次相遇
n=1 → 则=1s n=2 → 则=3s n=3 → 则=5s
"同偶、对奇"
环形
第n次相遇
第n次追及
本质：
每次相遇到下一次相遇期间，两人所走路程之和 = 1圈 追及 追及 之差
流水行船
顺水（同向）
逆水（逆向）
Tip：
静水速度=船速
漂流速度=水速
经济利润问题
常规の经济利润
基础知识
利润=售价-进价
总利润=单个利润×销售总量 =总售价-总进价
Tip：求 [利润率] 时，设 [进价]=x
售价 = 进价×(1+利润率)
≠
销售额(总价)=单价×销售总量
解题方法
【方程法】
题干中出现与费用、利润、利润率有关の具体数据（Eg.钱数、商品量）
代入公式列方程计算
【赋值法】
给比例，求比例
即：所有条件&问题全是比例
三量关系只知其一
总价=单价×数量
总量=效率×时间
路程=速度×时间
对条件&问题都没有给具体值の量进行赋值
分段计算
题型识别
题干中表述 “超出部分按照某个标准计算”
水电费、出租车、税费
解题思路
题干所给标准以内是一个单价， 超出标准是另外一个单价 → 分段计算：标准内&超标准 → 根据题干中的关系计算
统筹经济
题型识别
题干中给出不同费用方案，问题中出现“最多”、“最少”或类似表述
解题思路
综合考虑对比各种情况，选择最优方案
最值问题
函数最值
题干特征
单价&数量 此消彼长 →求 最大利润or售价
【每提高单价，减少销量】
解题方法
设 提价次数=x，列方程“y=(N±aX)·(M±bX)”
令y=0（即：分别使两个括号=0）
求出 X1、X2
求 X1 和 X2 の 中间值Z
代入原方程即可得yの最值
一元二次方程
对称轴公式= -b/2a
最值公式= (4ac-b^2)/4a
【三边围栏 "凵"】
长方形三边和一定时，三边按 2 : 1 : 1 分配可使面积最大。
解题方法
两点式
令总价/总利润=0 → 得X1、X2 → 求中间值X → 代入方程得最值
构造数列
题干特征
题干中出现“最多……”、“最少……”，问“……至少/最少……？”
解题步骤
问谁至少？→ 设谁"x"
令除了最值(最大&最小)者外，其余尽可能大，即：="x-1"
Tip:
题干未说明“数量均不相同/不相等”→ 即：可以是相同数量！
公式：
Eg. 1+2+3+4+……+8+9+10=(1+10)×10/2
最不利构造
题干特征
“至少……保证……”
解题方法
=最倒霉の情况数+1
Tip:
需保证同种情况至少n个，应每种情况各取（n-1）个，总数＜（n-1）的全取完，最后再+1
排列组合&概率
排列组合
用法
+？×？
分类用加法+（要么……要么……）
任选其一发生即可（“或”）
分步用乘法×（先……再…… / 既……又……）
都发生才行（“且”）
排列？组合？
有序用排列（不可互换）
（n≥m）
Eg.
特别：
无序用组合（可以互换）
（n≥m）
Eg.
特别：
Eg.
题型
情况数少
枚举法
依照次序；不重不漏
至少n个
插板法
公式+变形
必须相邻
捆绑法
先捆再排
不能相邻
插空法
先排再插
正难反易
三人不能相邻/不能全部连在一起
1-反面情况概率总情况数-方面情况数("都不满足")
不回原位
错位排列
0/1/2/9/44
概率
给情况求概率：
=满足要求的情况数 / 所有的情况数
给概率求概率：
分类用加法，分步用乘法
正难反易：
=1-反面情况概率
"同排概率"
两人要凑在一起の概率题
”跟屁虫“模型
先让一人随便挑，剩下的"跟屁虫"去找前者！
∴ = P1 × P2 =100% × ("同排"中还剩の位置 / 前者坐下后总体剩下の位置)
Tip:
若"每排"人数位不相同，不可用此法！
容斥问题
公式法
两集合
A+B - A∩B = 总数-都不
三集合
标准型
A+B+C -A∩B-A∩C-B∩C +A∩B∩C = 总数-都不
非标准型
A+B+C -满足两项 -2x满足三项 = 总数-都不
Tip：
"满足两项" = 仅满足两项+仅满足三项/全都 = A∩B+(A∩C-A∩B∩C)+(B∩C-A∩B∩C) = (A∩B+A∩C+B∩C) - 2(A∩B∩C)
仅满足一项+仅满足两项+仅满足三项 = 总数-都不
Tip：
仅满足一项" = A+B+C
"仅满足两项"不包含"仅满足三项/全都" "仅满足两项" = A∩B+A∩C+B∩C
"仅满足三项" = A∩B∩C
画图法
画圈圈，标数据
从里到外，注意去重
题目所给在公式中无，公式法不好用；
往往is出现只满足某一个条件。
Tip:
三者时，满足三项 ≤ 满足两项中最小的 即："全都" ≤ "两两相交"中最小的
其他
几何图形
几何公式
周长
正方形： 4a
长方形：2(a+b)
圆形： 2πR
弧长：
面积
正方形：
长方形：a·b
三角形：
圆形：
扇形：
梯形：
菱形：对角线乘积÷2
表面积
正方体：
长方体： 2(ab + bc + ac)
圆柱体：
球体：
体积
正方体：
长方体： a·b·c
柱体：s·h
锥体：
球体：
高频几何问题
公式类
规则图形→直接用公式
不规则图形→转化：规则图形→再用公式
结论类
已知第1、2、3个.....推第n个
枚举归纳找规律
连接各边中点
三角形▲则面积减少为1/4
四边形 ■ 则面积减少为1/2
圆内接三角形
直径 所对角 is 直角
直角 所对弦 is 直径
面积的比例
底相等 → 面积&高 成正比
技巧类
相似三角形
对应边长比&高度比=相似比
面积比=相似比の平方
最短路径
平面反射
镜面对称→再连线
立体表面
展开成平面→再连线
补充公式&结论
计算公式
数列公式
植树问题
方阵问题
速算：
尾数 → 排除
同余定理
余同取余
和同相加
差同减差