高中数学课堂笔记

199数学课堂笔记,自己总结,新东方老师指导

数学算术代数几何数据分析应用题整式分式函数代数方程不等式数列基础概念等差等比数列非等差等比数列数列应用题数列定义通项前n项和a(n)与s(n)的关系按一定的次序排列的有规律的一列数a(n)=f(n)s(n)a(n)=s1 n=1sn=s(n-1) n>=2等差数列等比数列等差等比数列通项问题等差、等比脚注性质与中项公式等差数列求和问题等差数列sn图像、最值、变号问题等比数列求和核心元素定义通项三项角标求和a1、da(n+1)-an=d常数列为特殊等差数列an=a1+(n-1)d关于n的一次函数数列a、b、c成等差数列b=(a+c)/2如果m+n=s+tam+an=as+atsn=(n(a1+an))/2sn=na1+(n(n-1))/2*d性质sn,s(2n)-sn,s(3n)-s(2n),#####仍成等差数列核心元素定义通项三项角标求和性质a1、qa(n+1)/an=q非0常数列为特殊等比数列an=a1*q^(n-1)关于n的指数函数数列a、b、c成等比数列b^2=ac如果m+n=s+tam*an=as*atsn(a1(1-q^n))/(1-q) q不为1na1 q=1若|q|<1,则该数列的所有项和a1/(1-q)sn,s(2n)-sn,s(3n)-s(2n),#####仍成等比数列设a1,d或a1,q等差数列等比数列an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)an=am+(n-m)dan=a1q^(n-1)an=amq^(n-m)角标性质三项问题角标和相等且对应项数也相等经验数列a,b,c成等差且等比a=b=c注意等比数列项的正负性总结等差数列等比数列已知和已和积三项三项四项四项a-d,a,a+da-3d,a-d,a+d,a+3da/q,a,aqa/(q^3),a/q,aq,aq^3公式1公式2注意sn=(n(a1+an))/2sn=na1+(n(n-1))/2*d平均数*项数角标性质*对数等差{an},{bn}的前n项和分别为sn与tn,则ak/bk=s(2k-1)/t(2k-1)图像snsn最值问题sn=na1+(n(n-1))/2*d=d/2*n^2+(a1-d/2)n关于n的一个二次函数,且常数项为0d>0d<0有最小值有最大值方法1等差sn变号问题方法2从通项an角度从sn二次函数角度a1<0,d>0sn有最小值an<=0,a(n+1)>0求出nsn=na1+(n(n-1))/2*d=d/2*n^2+(a1-d/2)n对称轴n对=-b/(2a)=-(a1-d/2)/(2*d/2)=1/2-a1/d特别注意把sn图形理解成二次函数分析sn=((a1+an)n)+角标性质分析sn注意(a1(1-q^n))/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q不为1na1 q=1sna1/(1-q)-(a1/(1-q))*q^n=k-kq^n思路化归到等差等比数列穷举找规律总结转化为等差等比穷举找规律经验总结区分等差等比数列区分求an注意项数等差等比化归思想穷举找规律思路特值法常数数列平面几何立体几何平面解析几何三角形面积计算三角形的四心特殊三角形两个三角形全等或相似四边形平面几何专题总结1/2*底*高边之比===面积之比三角函数利用全等或相似内心外心重心垂心角平分线三边垂直平分线三边中线三边高三角形内切圆的圆心三角形外接圆的圆心直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形全等相似旋转、折叠找 全等平行直接找相似直角三角形射影定理CD^2=AD*DBAC^2=AD*ABCB^2=BD*AB添半径组合图形直角三角形的内切圆与外接圆圆套圆与方套方内切圆外接圆r=(a+b-c)/2R=c/2圆套圆方套方圆方圆方圆方面积之比=2*3.14:4:3.14面积之比=4:3.14:2不规则圆形阴影面积问题用割补发把不规则图形转化为规则图形注意熟悉与圆有关的一些图形图形的重叠、对称、平移平面几何应试技巧量,有图有真相转图形再看特殊化量答案加条件三角形加高四边形加高或平行线圆加半径中点中外线长方体、正方体圆柱体球体立体几何专题体积表面积体对角线公式经验结论V=abcS=2(ab+ac+bc)L=(a^2+b^2+c^2)的平方根FIRSTSECOND(ab)(ac)(bc)=(abc)^2(a+b+c)^2=((a^2+b^2+c^2)d的平方根)^2+2(ab+ac+bc)((a^2+b^2)的平方根)^2+((a^2+c^2)的平方根)^2+((c^2+c^2)的平方根)^2涂色最短路展开图拼接=2((a^2+b^2+c^2)的平方根)^2三个不同面的面积之积=(体积)^2(1/4棱长之和)=(L)^2+表面积三个面对角线的平方和=2(L)^2一个表面涂红色正方体切成N^3三面涂色的有8块二面涂色的有12(N—2)块一面涂色的有6(N-2)^2块无涂色的(N-2^3)8个顶点a<b<cl最短=((a+b)^2+c^2)的平方根物体位于体对角线两侧切多2面接少2面基本公式V=3.14*r^2*hS侧=2*3.14*r*hS全=2*3.14*r*h+2*3.14*r^2V=4/3*3.14*r^3V表=4*3.14*r^2内切圆与外接圆长方体正方体等边圆柱没有内切圆L=2R外2r内=aR外=3的平方根/2*ar=r内L=2R外关键直径=边长直径=体对角线用代数方式处理平面几何问题基本知识特点公式多,计算烦,两解多一般方法待定系数法实用技巧反向验证画草图定性判断巧解特殊三角形特殊对称位置关系解析几何与平面几何综合问题对称问题动点问题计数原理与古典概型概率数据分析图文并茂,动静结合五大方法有限少量穷举归纳区分排列还是组合准确分类合理分步正难则反除法消序特殊条件优先解决用字典序,避免重漏排列有序,组合无序分类方法,分步顺序减法除法,去不满足元素位置,位置优先计数情况不多情况多直接穷举排列组合情况个数不多排列与组合用不上其他数学知识点综合的问题摸球问题取样问题分房问题几何问题排队问题分组分派问题组数问题不对应、配对问题涂色问题相同指标不同对象分配问题——隔板处理摸球的方式“一次性取k个球”与“逐次无放回取k个球”经验结论对应结果相同,概率相同一次性取(无序)每次取1个(有序)组合不放回放回样本减少样本不变独立的抽签中奖与次序无关袋中有a个中奖的球,b个不中奖的球前面的k-1不明确特例:a=1,第k次抽到中奖球的概率为1/(a+b)逐次无放回抽,则第k次抽到中奖球的概率a/(a+b)与k无关注意:含与不含;或与且;最大与最小对象均不同背景经验注意人——每人只能选一间房子房——房间内可容纳0——N人n人可进N个房(n<=N)共N^n种(房间数^人数)n人分别进N个房(n<=N)共{N*(N-1)*(N-2)……}每房间一人“恰”要选;“指定”不用选房间中的人数:0,1,2,3……n区分“人”与“房”与几何有关的计数/概率平面、解析、空间——古典概率几何概型样本点无限个等可能的排队直排环排特殊要求相邻等间隔,小团体不相邻问题——抽空处理定序要求位置优先打包处理——注意包内的顺序注意两头的空除法消序特殊优先n个人环排有(n-1)!种排法两排问题——直排处理三元素以上不相邻只能用抽空无首无尾,方向无差别背景注意分组元素不同的,分派的对象相同不同只分组要分派先分组再分派分组:平均/非平均分分派:定向/非定向n个组的个数一样,总数/n!背景要求三位数,四位数0不能首位个位:奇数/偶数,整除定序二、三、四元素不对应分别是1,2,9种乘法原理加法原理某一步如果不确定===>分类按使用颜色个数来分类事件间的关系+概率性质和计算独立性的判定利用独立性计算概率n重伯努利概型关系公式解题思路AB、A并B、A-B=A(-B)0<=P(A)<=1对立公式减法P(-A)=1-P(A)P(A)=1-P(-A)P(A-B)=P(A(-B))=P(A)-P(AB)加法特别地B属于A0<=P(A-B)=P(A)-P(B)===>P(B)<=P(A)两事件三事件P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)A与B互不相容时,P(A+B)=P(A)+P(B)第一步事件的表示利用概率公式或文氏图求概率两事件A、B三事件A、B、C关系定义概率意义A、B互不相容A、B对立A、B独立AB=空集AB=空集且A并B=UP(AB)=P(A)*P(B)A、B不能同时发生A、B不能同时发生;A、B必有一个发生A事件发生对B事件发生的概率无影响两两对立相互对立P(AB)=P(A)P(B)A、B、C相互独立P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)三三独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)经验若A、B、C相互独立则A-B与BC不一定独立则A-B与C独立P(AB)=P(A)P(B)关键:复杂事情的分析要点四种计算每次实验只有2个结果各种实验中P(A)=p,P(-A)=1-pn次实验是相互独立的n次实验中A恰好发生k次的概率pn次实验中A至少发生1次的概率pn次实验中A至多发生1次的概率p直到第n次实验A才发生了k次的概率pp=(组合n、k)*p^k(1-p)^(n-k) k=0,1,2,……np=1-(1-p)^np=1-(1-p)^n+((组合n、1)p^1(1-p)^(n-1)p={((组合(n-1)、(k-1))}p^(k-1)(1-p)^(n-k)*p0次、1次={((组合(n-1)、(k-1))}p^k(1-p)^(n-k)统计量——平均数与方差统计 图表定义与意义平均数计算方差多组数据的比较:异同,统计意义平均数方差标准差算术平均数几何平均数(x1+x2+……xn)/n中心位置(对称性)(x1*x2*x3……xn)的n次方根(S^2)的二次方根=SS^2=1/n((x1-x平)^2+(x2-x平)^2+(x3-x平)^2……(xn-x平)^2)分散程度注意:两组数据比较扣定义加权平均数巧用对称性线性变换后数据的均值与方差、标准差连续5个整数的方差必为2平均数y平=ax平+b方差S(y)^2=a^2S^2标准差(a^2S^2)的平方根=|aS|=|a|S饼图频率分布直方图可量角计算小距形面积=各组的频率各小矩形面积之和=1概述应用题中不定方程与不等式价格问题平均问题不等式与线性规划应用题集合计数函数图形应用+分段函数至少至多问题一般方法应试方法条件处理列方程、不等式应用题小学生方法声东击西、多个条件反向验证、条件可以特殊化、比较列表格未知量个数大于方程个数注意整数解的不定方程,用下列方法可以减少穷举的次数从系数绝对值大的入手利用整除性,奇偶性实际问题表量有范围利润率=利润/进价*100%=(售价-进价)/进价*100%经验售价=进价*(1-利润率)甲、乙以相同的售价卖出,一件赚了P%,一件亏了P%,则最终一定是亏了平均数=总分/总人数不等式问题线性规划应用题经验结论总结实数解线性规划问题整数解线性规划问题(穷举法)直线形式目标函数约束条件最值一般在边界斜率的比较线性规划解题思路一般方法实用技巧由斜率比较大小找最优解最值一般在约束条件边界点附件找到最值应用题标数用公式两集合三集合n(A并B)=n(A)+n(B)-n(AB)n(A并B并C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)函数图形 截距,距离分段函数注意:落入那一段,分段计算方法1方法2方法3>=/<=不等式/最值总量一定对立面的最值X Y Z=总量一定YZ最大,则X求至少=最小整数解平均与极端思想抽屉原则最不利原理 至少有一个盒子中不少于2个球a只球b只盒子,至少有1个盒子不少于a/b的商加1极端二次函数均值不等式整数实数比与比例数轴与绝对值
本文由MindMaster用户 木易 发布,不代表亿图软件立场,如转载,请注明出处:https://mm.edrawsoft.cn/community/
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