第五章 矩阵对角化

这是一篇关于第五章 矩阵对角化的思维导图，包括：特征值和特征向量、相似矩阵、正交矩阵。

第五章 矩阵对角化

• 特征值和特征向量
  • 针对方阵
  • 定义
  • 求法
    • 先求特征多项式，求出特征值，带入齐次线性方程组化为行最简形，求出基础解系，该基础解系就是特征向量
  • 性质
    • 一个特征向量只能属于同一个特征值
    • 转置矩阵与原矩阵有相同的特征值
• 相似矩阵
  • 内积
    • 对应元素相乘再相加
    • 定义
    • 运算性质
  • 向量的长度
    • 定义
    • 性质
  • 正交
    • 定义
      • 内积等于0时
    • 正交向量组
      • 定义
        • • 线性无关
      • 正交基
        • • 先是最大无关组，然后正交
      • 正交规范基
        • 定义
          • • 基 正交 长度为1(单位化）
        • 求法
          • 施密特正交化
            • • • • 再单位化
  • 定义
  • 性质
    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性
  • 定理
    • • 由相似推出相同
    • 相似秩相同，行列式相同
  • 方阵对角化
    • 充分必要条件
      • 有n个线性无关的特征向量
    • 定义
    • • 有重根时可以用此判断
    • 求法
      • 先求特征值特征向量，如果有重根，则判断是否进行施密特正交化，如没有重根，将特征向量单位化，再把这些单位特征向量依次摆放形成矩阵p
  • 实对称矩阵必可对角化
    • • 对约当形矩阵也成立
  • 约当标准形
    • 约当块
      • 定义
    • 约当形矩阵/约当标准形
• 正交矩阵
  • 定义
  • 充要条件