导图社区 少年得到 - 数学思维课
脑图内容来自少年得到APP课程《数学思维课》，喜欢请点赞或加关注，希望对大家学习、理解数学有所关注。
得到APP课程《陈海贤·家庭关系21讲》内容的思维导图，希望可以对大家学习、处理家庭关系提供一些帮助。
思维导图来自得到APP免费课程脱不花的《怎样成为高效学习的人》，希望对学习效率不高的同学有帮助，可以提供一些借鉴。
法国作家米卡埃尔·洛奈所写的著名数学科普书籍《万物皆数》脑图，希望对于大家阅读本书时有所帮助。
社区模板帮助中心，点此进入>>
《稻草人》读书笔记
论语孔子简单思维导图
《傅雷家书》思维导图
《童年》读书笔记
《茶馆》思维导图
《朝花夕拾》篇目思维导图
《昆虫记》思维导图
《安徒生童话》思维导图
《鲁滨逊漂流记》读书笔记
《这样读书就够了》读书笔记
少年得到|数学思维课
01：有什么比1,2,3更基础？（离散与抽象）
数数的基础
离散
把原来连在一起的东西给它分开（整体和部分）
理解世界的基础
抽象
把不一样的东西抽象成一样的东西（共性和个性）
02：为什么古代人不重视数学？（离散的优点）
连续与离散
举例
划分时间为年、月、日、时、分
缺点
当我们用离散的思想去分析世界的时候，会对这个世界产生歪曲
连续
没有办法把这个世界精确地描述出来
人类语言的基础是定义
只有借助离散的思想，我们才能够准确地表达自己的观点
数学特点
数学通过牺牲了可爱，它换来了另一个优点：可信、精确
03：等号到底是什么意思？（等号）
分辨和比较
比较是人类产生理性思维的一个前提
离散的基础
产生了相同和不同
相同的就是“＝”
比较的前提
决定哪些属性是关键的
重要的属性，需要比较
数学里的等号是比较的结果
不重要的属性，不需要比较
当我们写下1+1=2时，证明我们关心的是数量，其他都不重要
04：为什么假期总是那么短？（无穷大）
无穷大是一个很容易误导我们的概念，我们都以为自己很容易理解无穷大，其实我们理解的不是真正的无穷大，我们理解的只是想要多少有多少。
在生活中一旦遇到无穷大的概念，我们的思维就会出现错误。解决的办法是，我们可以把无穷大的东西拉到眼前来。到了那个时候，我们就能真正的理解它。
05：魔法学校里有数学课吗？（数学思维）
数学思维可以通过各种数学工具来帮你做出决策。
不学数学思维的代价，就是你很有可能不得不成为广告、亲友和舆论的俘虏，失去独立思考的能力。
06：如何说服妈妈给我自由？（演绎推理）
演绎推理≠因果
演绎推理和因果关系不同，数学在大部分的时候都在研究演绎推理。
数学证明题的本质，就是演绎推理
证明题只是改变了真理的表现形式，它并没有创造新的真理。
辩论的本质
辩论其实就是利用演绎推理的方法，替对方变换真理的表现形式，得到一些对方原本没有意识到的结论。
区别
归纳推理：从个体到一般（不一定正确）
演绎推理：从一般到个体（一定正确）（三段论）
07：公理是 “ 公认的道理 ” 吗？（公理）
定理
可以证明
数学课本上罗列和高中阶段使用的大多数是定理
公理
不能被证明
eg：两条平行线不相交
公理不是客观真理，公理只是被一些人相信的真理
公理不是唯一的，比如说我们可以认为平行线不相交（非欧几何），也可以认为平行线相交（欧式几何）。
公理又可以看成是一套游戏规则，你只有跟我使用同一套规则，我才能跟你一块儿玩。
真理
一定正确的道理
08：为什么课本说的就是对的？（公理系统）
定理就是通过演绎、推理，从公理中推导出来的规律。
定理并没有产生新的知识，定理仅仅是公理的变形。
公理和定理的关系
公理就好像是一棵大树的根，通过演绎推理，这个大树的枝叶越长越多，越长越茂盛，最后就变成了一棵大树，这个树的枝叶就是定理。
组成这棵树的那些树根，也就是我们选择用的那些公理，有一个名字， 公理系统。
一个好的公理系统有2个要求，它必须是逻辑自洽的，而且能够改善我们的生活。
09：偶像是怎么影响我的？（模型思维）
学习偶像的过程
观察
尽可能地去观察这个偶像，去看他的一举一动，看他怎么处理每一件事。
模仿
遇到类似情况的时候，去想象一下我的偶像是怎么处理这件事的，然后模仿他的做法去做。
释义
模型就是我们总结出来的关于某些事情的模式或者规律。
模型可以用来帮助我们解决生活中的问题
日常语言是模糊的、不精确的。
数学是绝对精确的
用数学工具表示模型，叫做数学模型。
正整数就是最简单的数学模型
10：为什么靠推理能抓到凶手？（模型和侦探）
溯因推理
溯因推理就是根据事情结果去猜想事情原因的过程。
溯因推理的过程不是绝对严谨的，它有推测的成分，而且可能出错了。
本格推理
本格推理，是指注重解谜过程的推理故事。
本格推理从表面看，使用的是溯因推理，实际上本格推理故事真正的看点是建立模型的过程。
建模过程
收集相关信息
保留重要信息，去除无关信息
根据重要信息建立关系和规律
11：为什么世界地图是平的？（模型的好坏）
模型的定义
从一个现实问题中筛选出一些关键的信息，用一个规律描述出这些信息之间的关系，这个抽象的规律就叫做模型。
正确认识模型
模型一定会对现实造成一定的歪曲（平面地图，靠近两级的地方会被放大），面对同一件事可以建立出不同的模型（苹果买按斤，吃按个；葡萄吃按串）。
判断模型好坏的标准是这个模型好用不好用，在能解决问题的前提下，尽可能方便的模型就是最好的模型。（世界地图全面，乡镇地图精细，适用范围不同）
12：人的眼睛看不出什么东西？（几何的本质）
点
几何学里，最基本的元素就是点，所有的几何图形都是由点组成的。
几何学
几何学就是用来描述空间的数学模型。
几何学是一门研究物体形状、大小和位置关系的学科。
同义反复
重形
一个图形对我们来说多大不重要，重要的是它的形状和结构。
中学阶段的几何学主要关注的是几何图形的相对位置和相对大小。
延伸
一个汉字它代表了什么意思，这个信息不是储存在字的大小里，而是储存在字的结构里。
人类的眼睛无法观测到物体的绝对大小，只能比较两个物体的相对大小（越远越小，越近越大；需要参照物确认大小）。
13：地球上有什么东西无限长？（度量）
度量的本质就是比较
拿尺子量东西，本质上是拿尺子的标准长度去和物体比较。
度量也是数学建模之一。
分形
有这么一种图形，它的细节有无数多，当我们观测得越精细的时候，就可以从中看到越多的细节。
分形的长度是不定的，取决于度量的精度。
14：为什么古人的单位那么怪？（度量单位）
古代单位
古人为了方便，喜欢选择自己身体的一部分作为度量单位。
现代单位
是技术水平达到了什么级别，决定了我们平时使用什么样的度量单位。
随着工业技术的提高，我们今天常用的度量单位要比古人更加精确。
15：“ 力 ” 是虚构出来的吗？（科学模型）
力
“ 力 ” 是物理学创造出来的，用来描述物体之间互相作用的概念。
科学
科学也是一种模型，是解决现实问题的模型
模型的进化
我们今天相信科学，不相信阴阳五行的一个原因是，现代科学普遍使用数学工具，数学工具能够让科学理论变得更加严谨，所以我们利用科学才能不断地提高生产的效率，创造出巨大的生产力。
16：科学知识有可能是错的吗？（归纳法）
归纳法释义
部分信息中总结出普遍规律的方法
科学可能出错
科学知识中有大量的知识是靠归纳法总结出来的。
只要我们观察到的信息有限，那么靠归纳法总结出来的东西就不一定是正确的。
例子：圣诞节的火鸡
归纳法的意义
因为人类的观测能力有限，所以当人类从客观世界里总结出普遍规律的时候用的一定是归纳法。
17：为什么有人觉得世事凶险？（因果关系）
因果关系释义
当我们认为一件事情的发生，能够引起另一件事情的发生，我们就说这两件事之间存在着因果关系。
因果关系的重要性
因果关系决定了我们如何看待这个世界，决定了我们的世界观。
我们只有建立正确的世界观，才知道应该怎么去改造这个世界。
18：怎么利用数学穿越时间？（科学与数学）
数学的重要性
牛顿之所以伟大，是因为他用几个短短的公式，统一了所有时间和所有空间的物理现象，让他能够在一切时空中穿梭的工具，就是数学。
19：人造人算不算人？（定义与数学）
定义
定义的边界越清晰，思想就越严谨。
人类在文明发展的过程中，是在不断去细化每一个定义的边界。
数学的意义
人类有一种语言，边界是绝对清晰的，那就是数学。
数学是人类所有语言中边界最清晰的，只有用数学工具去描述的规律，才会尽可能准确。
20：应用题的万能解法是什么？（函数）
函数的作用
当我们关注量和量之间关系的时候，更容易发现一个事情的内在规律，或者说，更容易发现一个问题的本质。
做应用题的窍门
在阅读一道应用题的时候，你要寻找的，是题目里面几个量之间到底是什么关系。找到了这个关系，把它用数学式表达出来，这道题基本上就做出来了。（刻意去寻找量与量之间的关系）
21：第一次数学危机是什么？（无理数）
古人的连续观念
古人通过对木头等等物体的直观感受，认为时间和空间就是连续的，所以用来描述空间的几何模型也使用了连续的概念。
无理数的产生
当人们尝试用离散的数字去描述连续的几何图形的时候，必然会出现矛盾，古希腊人在几何图形中发现了无理数，于是引发了第一次数学危机。
22：算术和几何为什么会分裂？（数轴）
模型的作用
模型是负责连接现实问题和数学工具。
建模的前提
“一一对应”的概念
利用这个概念建立了数轴
第一次数学危机的化解
数轴的引入
√2（无理数）就是数轴上一个固定的点，它的位置是精确的。
23：谁决定了社会的规则？（统计学）
统计学的作用
模型不能直接用来解决问题，模型和现实问题之间还有一段距离，负责连接这段距离的就是统计学。
不同的情况需要采用不同的统计方式
没有完美的统计方式，每一种统计方式都有各自的优缺点。
eg：校园和职场的评判标准（统计方式）不同
不同的统计方法决定了我们采用什么样的数学模型去解决问题。
使用什么样的统计方式，直接决定了用什么样的数学模型去解决问题，掌握统计学是我们做出正确决策的前提。
统计学像是一副有色眼镜，我们戴着什么样的眼镜去看这个世界，这个世界就是什么样子的
24：世界史随机的还是必然的？（概率论）
生活中很多随机现象并不是真的随机，只要观测和计算能力足够强，我们日常生活中的所有物理现象都可以看成是必然的。
计算机没有办法生成真正的随机数，只能生成伪随机数。
虽然物理现象是必然的，但因为现实世界里面的数据太多了，我们无法观测和计算所有的数据，所以我们创造了概率的概念，用来降低我们描述这个世界的难度。
概率（模型）帮助我们降低了统计数据的难度。
世界到底是随机性大还是必然性大，取决于我们收集和处理数据的能力，我们能够处理的数据越多，世界在我们眼里的必然性就越大。
25：统计学家的梦想是什么？（未来学）
中心极限定理
如果一件事是由很多相互独立的随机事件综合决定的，而其中没有哪个事情能起决定性作用，那么这件事的概率分布就符合正态分布，就是中间数的概率很高，越到两端概率就越低。
eg：身高、成绩
不重要小概率事件可相互抵消
如果一件事情，它是由很多小的随机事件综合决定的，而且每一个小事都起不到重要作用，那么我们在预测这件事的时候，就可以忽略这些小事情，直接估算出整个事件最后的概率。
26：数学能不能用来算命？（混沌系统）
混沌现象
在一个系统里，有很多微小的变化，会对结果造成非常巨大的影响。这种影响早期还不明显，但时间越久，影响就越大。
社会、宏观经济都是混沌系统
混沌系统的长期变化，我们是算不出来的。我们要对控制未来这件事保持谦逊。
辩证看待
混沌系统的存在意味着人类的未来充满了不确定性，这降低了我们对理性的信心，但也给我们创造未来留下了空间。
27：父母为什么要焦虑？（混沌人生）
从混沌系统的角度看人生
现代生活充满了机会，也需要更频繁地反省自己，根据环境的变化不断调整自己的人生方向。这是我们在混沌系统中不得不做的。
28：怎么才能提高生活质量？（信息三角形）
信息三角形
图示
我们每完成一项工作，都需要这3个定点的配合，且不能缺少其中一项。如果其中一项资源消耗得特别少，那么其他两个资源就要消耗的特别多。
收获
能量可以通过金钱获得
时间可以通过雇佣员工解放自己的时间
信息可以通过提高搜索技术、好好学习、人脉社交获取
信息本身可以成为生产力
小结
人类通过各种统计手段，增加描述现在，掌握未来的能力
借助概率这个工具，来描述难以预测的未来
还发现了混沌系统，发现了人类预测未来的局限性
29：人类的科技方向错了吗？（信息革命）
今天科学的发展方向，重点从工业技术转向了信息技术
资本主义（自由市场）是工业革命的前提
工业革命只是表象，背后真正的原因是自由市场释放了价格的信息，才带来了我们富足的生活和飞速发展的科学技术。
30：什么东西永远不会背叛？（数学的意义）
数学之美
形式和技巧上的简洁
数学的作用
用数学语言写下的信息可以被绝对精确地传播。
数学是一门高效准确的语言
人类学会了用数学记录知识以后，技术才能飞速发展，我们才能创造各种科学奇迹。
钱就是社会用来衡量每个成员贡献大小的数学模型。
冷冰冰的数据带来了人类有史以来效率最高的社会制度。
永远不会背叛你的东西，只有数学。
