相似矩阵

大学线性代数相似矩阵知识总结，相似矩阵，特征值特征向量概念，相似矩阵概念，性质，矩阵能够相似对角化条件，应用，作用和意义。

相似矩阵

• 特征值特征向量概念
  • 特征值特征向量：A为n阶方阵，AX=λX（x为n维向量），则λ为特征值（可为0），x为特征向量
    • 特征值性质
      • 特征值的乘积为|A|，和等于A对角线元素之和，tr（迹）
        • 推论：n阶方阵A可逆的充要条件为A的n个特征值不为0
      • 没有加法乘法
    • 特征向量性质
      • 一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍为特征向量
        • 一个特征值的所有特征向量加上零向量构成A的一个特征子空间
      • 不同特征值的特征向量线性无关
      • 特征向量个数少于等于特征值数
  • 特征多项式：f（λ)=|λI-A|,f(λ)=0为特征方程
    • 求解方法
      • 1.解特征方程
      • 2.求解(λI-A)X=0齐次线性方程组，非零解为特征向量（n次多项式必定有n个根）
• 相似矩阵概念
  • P^(-1) A P=B, P为相似变换矩阵（相似是等价的一种特殊情况）
    • 等价保秩，相似保特征值
• 性质
  • 两个矩阵相似则特征多项式相同，从而特征值相同
• 矩阵能够相似对角化条件
  • 有n个线性无关特征向量
    • 几何重数等于代数重数
    • 有n个不同特征值
• 应用
  • 求解线性常微分方程组
    • 子主题
• 作用（意义）
  • 方便计算A^k
• 两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵（P、Q)，使得A经过有限次的初等变换得到B
• 例题（借鉴方法）
  • • A AT=2I,√2 A为相似矩阵，且