书籍： [法] 米卡埃尔·洛奈 - 万物皆数

法国作家米卡埃尔·洛奈所写的著名数学科普书籍《万物皆数》脑图，希望对于大家阅读本书时有所帮助。

书籍|[法] 米卡埃尔·洛奈|万物皆数

• 书目信息
  • 作者： [法] 米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay）
    • 2005年进入法国巴黎高等师范学院，并于2012年获得概率学博士学位
    • 2015年以来，洛奈参与了大量的、针对公众的数学推广活动，是法国“文化与数学游戏沙龙”的成员
    • 他在网络平台策划的数学节目拥有近30万订阅，频道节目观看量近2000万
  • 译者： 孙佳雯
  • 出版社：低音·北京联合出版公司
  • 出版时间：2018-12
• 01.不自觉的数学家（朴素的数学形式探索）
  • 旧石器时代，美索不达米亚
    • 手斧，对称
  • 新石器时代，伊拉克地区
    • 陶器，图案，腰线，对称性（7种腰线）
      • 1.重复 对称
      • 2.水平 对称
      • 3.垂直 对称
      • 4.中心 对称
      • 5.滑移 对称
      • 6.水平+垂直+中心 对称
      • 7.垂直+中心+滑移 对称
  • 古希腊时期
    • 双耳长颈高瓶（同时拥有七种腰线的陶器）
    • 三维立体腰线（立体透视效果）
    • 密铺（平面填充）
  • 古埃及、古伊特鲁里亚、古罗马
    • 复合图形的排列组合
    • 中国古代和古希腊建筑都选择了“天圆地方”的建造比例
  • 现代
    • 卢浮宫（天花板、方砖贴面、门框）
• 02.数字的形成（数字的意义）
  • 数字的起源
    • 公元前4世纪末，美索不达米亚，乌鲁克城
      • 粘土筹码系统（牧羊人的困惑）
        • 小石头，calculi--计算
        • 粘土球，密封
        • 芦苇杆“刻”筹码，“书写”的起源
        • 特殊筹码：1、10、60只羊的符号---符号的组合运用
    • 公元前3世纪初，数字的起源
      • 不再用8个特制物品的符号来指代“含义+数量”，而是抽象出“物品的符号”，再抽象出“数字的形式”，二者结合来指代“物品的数量”
  • 数字的形式与发展
    • 画线记数（伊尚戈骨）
    • 楔形文字（参照粘土筹码系统的数字符号）
    • 埃及，特有的图案数字符号（10进制）
    • 罗马，字母符号
  • 记数模式的进一步发展
    • 位置记数法（加法系统）
      • 公元前2000年，美索不达米亚人，
        • 楔形文字，钉头1 和 钉头10，60起的符号组
      • 玛雅人，20进制数字
      • 古印度人，10进制数字
      • 中世纪末期，阿拉伯学者引入古印度人的数字，称“阿拉伯数字”
  • 数字的意义
    • 数字的哲学意义：公元前6世纪，古希腊，毕达哥拉斯
      • “万物皆数”
      • “勾股定理”
      • 奇数为阳性，偶数为女性
      • 数字“10”，圣十结构
      • 数字占卜（分析构成姓名的字母数目）
    • 对于1的讨论（偏向哲学概念）
      • 数字是为了复数而存在的，1不是数字，2才是数字
      • 1能生成所有的数字，所以1既是奇数也是偶数
    • 零、负数、虚数（作者没有展开了）
• 03.不习几何者不得入内（古典几何学的发展）
  • 几何学的发始---测量地表的科学
    • 西方
      • 古埃及
        • 分田估价，绳索的运用（直尺、圆规、三角）
          • 绳索当直尺：两点间拉直绳索；带刻度：绳索等距打结
          • 绳索当圆规：固定绳子一端，另一段绕圈；控制半径，让绳子有刻度
          • 绳索当三角尺：用绳子画两个彼此相交的圆，连接圆心，连接交点，两条直线相交，得到一个直角
          • 更简便的方法：用绳索“制作”直角三角形
            • 在绳子上打出等距的13个结，进行12等分，拉直，得到一个单位为“3、4、5”的直角三角形
        • 埃拉托斯特尼，测量地球的周长（来自古希腊，阴影测量法）
          • 观察塞因市与亚历山大港之间的太阳光线倾斜角度差
          • 计算骆驼的步数（误差不超过2%）
      • 古希腊
        • 皇家测量员，通过走路来测量距离的长短
          • 公元前4世纪，亚历山大时期，步量帝国（计算自己的脚步，误差不超过5%）
        • 柏拉图：要想成为哲学家，几何学是必由之路。
          • 柏拉图学院的座右铭：“不习几何者不得入内。”
      • 公元前1800年前，古巴比伦人，普林顿粘土版，15组直角三角形的边长数据。
      • 中世纪，13个结的绳索：德鲁伊之绳，权力与智慧的象征
      • 欧几里得，《几何原本》
        • “当两个数相乘得到另外一个数字的时候，这个产生的数字被称为“平面”，而这个平面的边长就分别是这两个相乘的数字。”（这里的平面特指矩形）
        • “三角数字”，用三角形的方式来表示面积（1，3，6，10）
          • “圣十结构”，毕达哥拉斯，宇宙和谐的象征。
        • “正方数字”，1，4，9，16
      • 建立几何与数字之间的关系
    • 东方
      • 中国汉朝，《九章算数》，对矩形、三角形、圆形、环形、扇形的面积研究。对勾股定理的实践与探索。
        • 今有圆田，周三十步，径十步，问为田几何？
        • 今有环田，中周九十二，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？
• 04.定理时代（规律的发现与归纳）
  • 定理的发现
    • 古希腊，泰阿泰德
      • 只存在5种“正多面体”，俗称“柏拉图立体”，与宇宙元素相联系
        • 四面体，火
        • 六面体，土
        • 八面体，空气
        • 十二面体，宇宙
        • 二十面体，水
    • 古希腊，泰勒斯
      • 阴影测量法测量金字塔的高度
      • 圆周上的任意一边穿过圆心的三角形是直角三角形（泰勒斯定理）
      • 赋予了几何图形抽象的数学地位
    • 古希腊，毕达哥拉斯，泰勒斯的徒弟的徒弟
      • 勾股定理
  • 定理的意义
    • 定理（theoreme）=冥思（thea）+凝视（horao）
      • 定理是一种对数学世界的观察，被数学家们观察、检验并记录下来的事实
      • 定理必须被用尽可能普适的方式概括出来，或写成公式，并且必须伴有使之得以成立的证明过程
    • 数学研究不再仅仅是为了寻找问题的解决方案，而是找寻万古如一的客观规律，穷尽所有的问题，并且确认没有意外——从具象问题中抽象出数学模型
      • 圆
        • 一种虚构、抽象的完美典型
        • 现实生活中不存在完美的圆生活中
  • 定理的应用：色子、足球、病菌
    • 色子：正多面体，每一面出现的机会是均等的。
    • 足球：由20个正六边形和12个正五边形构成。
    • 病菌：病毒在自然情况下也是正二十面体或正十二面体
    • 出于“对称性”和“经济性”的缘故，简洁、经济。
• 05.一点儿方法（证明与悖论）
  • 证明的意义
    • 如果一个“定理”无法被证明，那么它不会被承认和使用
  • “定理”的证明
    • 毕达哥拉斯的错误：在几何学的意义上，任意“两个”长度总是可以“同时”被测量的，可以用足够小的单位来测量这两个长度。
    • 希帕索斯：在正方形中，边长和对角线是不可同时测量的。
    • 公元3世纪，中国，刘徽。勾股定理的证明（拼图证明法）
      • 由直角三角形两个直角边出发，形成的两个正方形，分别由2块和5块碎片构成。所有这7块碎片合起来，形成了另外一个由该直角三角形斜边出发构成的正方形。因此以斜边为边长的正方形面积等于另外两个较小的正方形面积之和。而正方形的面积等于它边长的平方。
    • 21世纪的待证明“定理”。黎曼猜想。
      • 内容：方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
      • 含义：所有质数的分布都可以被黎曼的函数式概括。
  • “公理”的证明
    • 公理：“公理”就是“显然事实”。公理没有证明过程，也不需要寻求证明过程，他们被所有人承认是正确的。
    • 公元前3世纪，欧几里得，《几何原本》
      • “第5条公理”——后世称为“平行公设”
        • 若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角和，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。
        • 第5条公理在非欧几何学中不成立。（平行公设在平面内成立，在球面内不成立）
  • “定义”的定义
    • 定义：让所有人对同一件事有相同的认知。
    • 现代数学学科的发展：遵循“定义-公理-定理-证明”的完整过程。
  • “悖论”的产生
    • 定义：悖论是一个看上去绝对正确的论述，结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。是一种显然不能被解决的矛盾。
    • “说谎者悖论”：欧布里德，“我说的这句话是谎话。”
    • “排中律”：
      • 任何一个思想或者为真或者为假。两个相互排斥的思想不可能同时为假，其中必有一真。
      • “排中律”仍然是真实的，“说谎者悖论”并不是一个数学陈述，它更像是一种语言学上的不一致，而不是一种逻辑的矛盾。
    • “阿喀琉斯追乌龟”
      • 公元前5世纪，古希腊，芝诺，10种悖论之一
      • 阿喀琉斯让乌龟先跑100米，阿喀琉斯在“追赶”的过程中总是越来越接近乌龟，但是永远也无法超过乌龟。
      • 悖论产生的原因：“无限”的概念。
        • 芝诺切割了时间间隔，使得阿喀琉斯追赶乌龟的时间间隔变得越来越小，趋近于“无限”。（阿喀琉斯跑100m的时间，乌龟也跑了一段距离，然后阿喀琉斯再跑乌龟刚刚跑的那段距离所花费的时间，乌龟又跑了一段距离，以此类推...）
        • 然而这些无限的阶段却发生在有限的时间内，因此当时间被突破时，阿喀琉斯就追上乌龟了。
    • 悖论的意义：
      • 驱使我们不断去反思“理所当然”的事情，鼓舞我们去完善和发现新的思想和理论。
• 06.从π到坏（数学的繁荣和陨落）
  • π的诞生
    • 公元前287年，锡拉库萨，阿基米德出生
      • 杠杆原理
      • “尤里卡！”（希腊语：我发现了！）
      • 阿基米德原理（浮力原理）
      • 测算π值：使用规则的多边形来外接（内切）圆周。
    • 《九章算术》
      • 今有圆田，周三十步，径十步。π值为3（不准确）
  • 公元前324年，托勒密一世，亚历山大港
    • 亚历山大灯塔（世界七大奇迹之末）
    • 亚历山大博物馆/亚历山大图书馆
      • 所有通过亚历山大港的船只必须上交船上的所有书籍
      • 向世界各地的国王呼吁，寄来各自领土之内最著名的书籍的拷贝
      • 亚历山大港成为了世界知识的重心，无数知识在这里诞生
        • 埃拉托斯特尼，精确测量地球的周长
        • 欧几里得，撰写出《几何原本》
        • 丢番图，“丢番图方程”
        • 克罗狄斯·托勒密，《天文学大成》（太阳围绕地球运转）
    • 公元4世纪，罗马帝国，狄奥多西一世，禁止异教崇拜，亚历山大博物馆关闭
    • 希帕提娅，历史上第一位女性数学家，发明了比重计、天体观测仪，最终被基督徒谋杀，焚尸。
      • *相关电影：《城市广场》
  • 公元七世纪，亚历山大图书馆彻底消失。
• 07.零和负数（数字的拓展）
  • 印度的数学发展
    • 冈仁波齐，海拔6714米，是人类至今没有登上的高峰，同时也是印度河的源头。
    • 公元前2000年，印度教诞生，吠陀文化
      • 所有的知识只能口口相传，禁止以书面形式记录
    • 阿耶波多，π值计算，天文学
    • 伐罗诃密希罗，三角学
    • 婆什迦罗
      • 第一个使用圆圈形状表示“0”的人
      • 科学地使用十进制系统的人（阿拉伯数字的起源）
    • 婆罗摩笈多，《婆罗摩修正体系》
      • 数字“零”
        • 第一个把零作为一个“数字”并进行完整描述的人。
        • 赋予了“零”的性质：任意数字减去其自身，得到的数字是零；任意数字加上或者减去零，结果依然是这个数字。
      • 负数
        • 中国首先描述了性质与负数类似的数字。
        • 刘徽，算筹系统
          • 红色算筹代表正数
          • 黑色算筹代表负数
        • “负负得正”的意义
          • 用算筹系统来表示货币的收益或损失。
          • 将债务赋予某人和从某人那里拿走资金实际上是同样的效果。增加负收益等于减少正收益。
          • 消除负数相当于增加正数
        • 负数的深刻意义
          • 负数的出现使“加法”和“减法”成为同一种运算的两个方面。
    • 公元711年，阿拉伯人灭古印度
  • “零和负数”的意义：要敢于沿着逆于自己语言的方向去思考。
    • 数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术
      • 庞加莱
    • 复数的出现，使加法和减法成为同一种运算的两个方面
• 08.三角原力（三角学的巅峰）
  • 公元762年，阿拔斯王朝，阿布·曼苏尔，哈里发帝国，建造首都（巴格达）
    • 公元8世纪末，建造图书馆，吸引学者
    • 公元9世纪初，花拉子米，《印度数字算术》
      • 描述了来自印度的“十进制计数系统”
      • 阿拉伯数字的传播（“0～10”）
    • 科学的传播介质，纸，中国的造纸术的传播。
    • 安达卢西亚的首都—格拉纳达，阿兰布拉宫的“密铺”
      • 存在且只存在17种类型的几何密铺
      • 伊斯兰艺术制造的标志
  • 三角学的研究
    • 三角学的目的：用尽可能少的信息，知道关于某个三角形的全部信息。
    • 比例的关系
      • 直角三角形短边除以长边的比值总是相似的
      • 三角函数
        • 余弦（cos）正弦（sin）正切（tan）……
        • 图示
        • 解释
    • 希腊人最早的建立了三角函数表，阿拉伯人发展了三角函数的应用
    • 1427年，阿尔·卡西，《算术之钥》
      • 运用余弦定理，使得所有三角形的两短边的平方和等于长边的平方
    • 三角测量法：关于地球经线的研究
      • 巴黎子午线，卡西尼家族
      • 米制的出现：1米等于巴黎子午线长度的四千万分之一
      • 1884年，国际本初子午线，英国伦敦皇家天文台
    • 三角学的现代应用
      • 人造卫星，三角定位
      • 三维动画，计算机建模
• 09.面对未知（代数的发展）
  • “代数学”的起源
    • 公元9世纪初，巴格达，波斯数学家，穆罕穆德 · 伊本 · 花拉子米
    • 《印度数字算术》
    • 《还原与对消计算概要》
    • 开创并命名了“代数学”，algebre
      • 代数学的演变：
        • 第一步，具象问题：一位30岁的男性，年龄是他儿子的5倍，他儿子今年几岁？
        • 第二步，代数学表达：寻找一个数字，这个数字乘以5等于30。
        • 第三步，抽象化表达（花拉子米的表达）：寻找一个数字，这个数字乘以某个数字甲，等于某个数字乙。（方程式的起源）
      • 代数学的目标：
        • 把问题的“现实外衣”剥去，从中提炼出纯粹的数学问题
        • 代数以“抽象性”和“普遍性”解决具象问题
  • “方程式”的分类
    • 线性方程（一次方程）：
      • 一个方程式中的未知数只需要经过四则运算即可求解。
    • 二次方程：
      • 四则运算的基础上加上平方运算，有两种解。
      • 几何学的论证，花拉子米的代数拼图法
        • “几何学只是关于虚假数字的推理艺术。”
        • 用几何学的论证方法没有办法解释“负数”解。
    • 三次方程
      • 用几何学来求解过于复杂，用立方体来表示三次方程中的未知数，需要考虑三维空间中的体积问题。
      • 文艺复兴时期才有关于三次方程的解。（在文艺复兴时期，代数学被冠以“数学女王”的称号）
    • 四次方程
      • 超出了几何学求解的认知方法。
      • 需要想象四维空间里的图像，在我们有限的三维世界中无法做到。
  • “方程组”的发展
    • 公元9世纪末期，埃及数学家，阿布 · 卡米勒
      • “驼峰问题”：有两个未知数，需要用两个方程式看成一个整体来考虑。
    • 公元10世纪到13世纪，三次方程组的解法一直受挫，没有系统解开三次方程的方法。
• 10.数列（生长、切割与收敛）
  • 数列的含义：一系列可以无限延长的数字序列。
  • 公元1202年，斐波那契，《计算之书》
    • 兔子演化模型（斐波那契数列）
      • 1，1，2，3，5，8，13，21，...
      • 通项公式
        • Fn=15√[(5√+12)n−(−5√+12)n]
    • 数列在“叶序学”、“人口学”中的表现
    • 图示
      • 通过几何解释，能够清楚明确地建立起斐波拉契数列和黄金分割率之间的微妙关系。
  • 黄金分割率
    • 雅典，帕特农神庙
    • 正五边形的几何结构，足球
    • 黄金分割率的平方等于黄金分割率加1
      • φ²=φ+1
    • 黄金分割率与斐波那契数列的关系
      • 随着数字的增大，斐波那契数列两数间的比值越来越接近黄金分割率，即随着n的无限增大，Fn+1Fn越来越接近于5√+12；反之，FnFn+1以5√−12为极限
  • “阿喀琉斯追乌龟”的数列化表达
    • 100+50+25+12.5+6.25+3.125+1.5625+...=200
  • “π”的数列化表达
    • π=（4/1）+（-4/3）+（4/5）+（-4/7）+（4/9）+（-4/11）+...
  • 数列的应用
    • 用斐波那契数列表示种群的动态，研究随时间推移动物种属的演化过程。
    • 计算机、统计学、经济学，气象学中都可以使用数列来推演变化的过程。
• 11.虚数的世界（代数的进一步扩充）
  • 虚数的起源：解三次方程的历史闹剧
    • 16世纪初，博洛尼亚数学家，德尔 · 费罗，第一个发现三次方程解析式的人，但并未公开（不公开的原因是为了依靠它获取最好的教职）；
    • 1526年，德尔 · 费罗的徒弟，安东尼奥 · 玛丽亚 · 德尔 · 费奥雷，传播了“三次方程可解”；
    • 1535年，威尼斯数学家，科洛 · 塔尔塔利亚，解出了三次方程，但也未公开；
    • 1539年，米兰数学家，吉罗拉莫 · 卡尔达诺（万向接头的发明者）以条件“骗取”了塔尔塔利亚的解法（条件是永不公开解法），但仍然发现该解法无法证明他们解析式的正确性；
    • 1542年，卡尔达诺和费拉里（卡尔达诺的徒弟），拜访汉尼拔 · 德拉 · 纳菲，发现德尔 · 费罗才是第一个解出三次方程的人，于是认为当初的条件无效。
    • 1547年，卡尔卡诺发表《大术》，公开三次方程的解法，于是被后世铭记，三次方程解析式也被命名为“卡当公式”。
  • 虚数的推演：卡当公式的“错误”
    • 卡当公式需要计算负数的平方根。正数的平方是正数，负数的平方仍然是正数。
    • 但即使出现了这些“不存在”的数字，卡当公式的结果依然正确。
  • 虚数的提出：邦贝利与笛卡尔
    • 1572年，博洛尼亚数学家，拉斐尔 · 邦贝利，发表《代数学》，提出了“复杂的数”代指“虚数”。
    • 17世纪初，法国数学家，笛卡尔，正式命名了“虚数”。
  • 虚数的意义
    • “代数基本定理”：19世纪初，德国数学家高斯证明了：一个方程的解的数量等于它的次数。
      • 所谓“没有解”的二次方程，其实有两个虚数解（eg：平方数是负数的解）
      • 四次及以上的方程根本无法借助几何表示
    • 物理学的应用：电子学和量子物理
    • 开辟了“代数”的新思想：
      • 一个代数结构变成了一个简单的，由若干元素构成的数学结构，并能对这些元素进行运算。例如：可以人为补充一些新的“数字”，并定义运算性质。
    • 任何人都可以创造自己的数学理论
      • 一、这个理论必须要有用
      • 二、这个理论必须是美的
        • 数学之美有多种形式，最核心的是能够在复杂的研究对象和简洁的表达式之间建立起关联。
        • 美丽的定理一定是一条朴素的定理，没有冗余的边角料，没有随意的例外，也没有毫无用处的差别。美就是万流归宗，大音希声，大道至简。（这本书翻译的真好，我总结的也不赖233）
  • 虚数的发展
    • “伽罗瓦群”，伽罗瓦，创造了一种新的代数结构以求解“五次方程”
    • “环、域、群”理论，德国数学家，埃米 · 诺特。
    • 抽象代数。（专业领域，书籍不介绍了，我也看不懂了）
• 12.数学语言（数学符号的发展）
  • 科学的传播历史
    • 1450年，德国人，约翰内斯 · 古登堡，发明了活字印刷术
    • 1482年，威尼斯出版社印刷了第一本数学著作《几何原本》
    • 1543年，波兰天文学家，哥白尼，发表《天体运行论》，否认托勒密的天文系统，提出了“日心说”
    • 伽利略意志不坚，在法院审判下没有坚持日心说，但流传了一句名言：“E pur si muove”（地球是围绕太阳转的）
  • 数学语言的发展历史
    • “代数修辞”
      • 花拉子米发表《代数学》时的论证方法，
      • 用日常语言描写论证的过程，复杂，繁琐，晦涩
    • 诗歌：塔尔塔利亚用亚历山大诗体记录“三次方程”的解法
    • 数学符号的演变
      • 1460年，德国人，约翰内斯 · 威德曼，首次使用“+”和“-”代表加法和减法
      • 16世纪初，塔尔塔利亚，第一个在计算中使用“（ ）”符号
      • 1557年，英国人，罗伯特 · 雷科德，第一个使用“ , ”分隔开数字的整数部分和小数部分
      • 1621年，英国人，托马斯 · 哈里奥特，第一个使用“ < > ”表示数字间的大小关系
      • 1631年，英国人，威廉 · 奥特雷德，第一个使用“ * ”表示乘法
      • 1647年，仍然是威廉 · 奥特雷德，第一个使用古希腊字母“ π ”表示阿基米德圆周率
      • 1659年，德国人，约翰 · 拉恩，首先使用“ ÷ ”符号
      • 1525年，德国人，克里斯托夫 · 鲁道夫设计了平方根符号“ √ ”
      • 1647年，法国人，笛卡尔，优化了平方根符号“ √￣ ”
      • ...
    • 代数符号的发展
      • “代数现代化”
        • 文艺复兴时期，法国，弗朗索瓦 · 韦达
        • 1591年，发布了《分析方法入门》，发起了“代数现代化”计划
        • 用元音字母代表方程中的未知数，用辅音字母代表方程中的已知数
      • “几何代数化”
        • 法国，勒内 · 笛卡尔
          • 用字母表的前几个字母（a，b，c...）表示已知数
          • 用后几个字母（x，y，z）表示未知数
          • 字母“x”进入日常生活中的语言，成为了神秘和未知的标志
          • x、y、z接过几何论证法的大旗，成为主流的论证形式
          • 三维空间坐标系图示
        • 笛卡尔坐标系：几何问题代数化的方法
          • 彻底解决了古典几何（平面几何）和代数之间的转化关系
            • 代数（抽象）
            • 几何（直观）
          • 立体几何的推广
          • 高维空间的建模
            • 四维空间的几何学，阿尔伯特 · 爱因斯坦，使用第四个坐标给时间建模
            • 斐波那契数列，无限维度的几何空间
      • 字母化方程
        • 代数学开始逐渐转化为一种“制定规则的游戏”，由运算法则来决定被允许的操作。
        • 游戏的目的始终不变：求未知数x的数值
• 13.世界的字母表（认识世界的工具）
  • 数学是研究万物的工具
    • “哲学写在这部称为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但要是我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那我们就不可能理解这部大书。它以数学语言写就，其字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有这些，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就在暗黑迷宫中徘徊。”——1623年，伽利略，《试金者》
    • 所有伟大的科学发现都需要数学的帮助，即代数方程和几何图形的帮助。
    • 有且只有数学这一门语言，能够完美的描述这个世界
      • E=mc²，狭义相对论的质能公式，完美诠释了物体质量与能量之间的等价关系
      • “宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的。”——爱因斯坦
  • 论证已知，预测未知
    • 牛顿，数学模型，“万有引力定律”
      • F=G*（m1*m2/d2）
      • 1759年3月13日，计算哈雷彗星的回归周期
      • 1846年9月23日，海王星的发现（计算和验证海王星）
      • 图示
    • 1919年5月29日，观测到日食，见证爱因斯坦广义相对论的胜利
    • 2012年，“希格斯玻色子”的发现，证实了粒子物理学标准模型
    • 2015年，引力波的存在首次被检测到
    • 晶体的研究：运用代数结构模拟出晶体的结构
  • 科学是客观存在的真理，不以任何人的意志为转移。
  • 科学理论的生命都有它自己的阶段
    • 1、提出假设
    • 2、犹豫、错误，建构理论
    • 3、理论的提出
    • 4、实验论证
    • 5、确认或否决
    • 6、放飞自我，获得独立和自由
• 14.无穷小（微积分的发展）
  • “微积分”的起源与发展
    • 哈雷彗星的速度测算
    • 牛顿与莱布尼茨的著作权之争
      • 1684年，德国数学家，莱布尼茨，发表了自己对于微积分的研究
      • 1687年，英国数学家，牛顿，发表了《自然哲学的数学原理》
    • 1748年，意大利数学家，玛丽亚 · 加埃塔纳 · 阿涅西，出版了《分析讲义》，对微积分进行整理和完善
    • 1848年，德国数学家，波恩哈德 · 黎曼，彻底完善了微积分的理论
  • “微积分”的运用
    • 气象领域，用于建模和预测温度，或者大气压的变化
    • 海洋学领域，检测洋流
    • 空气动力学领域，控制飞行器或者各种航天器的空气渗透
    • 地质学领域，检测地幔演化，研究火山、地震，大陆漂移
  • “非标准理论”
    • 20世纪60年代，美国数学家，亚伯拉罕 · 鲁宾逊，创造了“非标准分析”
    • 将“无穷小”看成一种数字，整合到“数字”这个集合中
  • “测度理论”
    • 20世纪初期，法国数学家，亨利 · 勒贝格，提出“测度理论”
    • 我们能够通过无限小数，设想和测量出新的、无法用尺规作图得到的几何图形。
    • “测度理论”直接撼动了经典几何学最直观、最基础的规则。
  • “巴拿马 - 塔斯基悖论”，不是悖论，而是真正的定理。
    • 1924年，斯特凡 · 巴拿赫，和，阿尔弗雷德 · 塔斯基，发现拼图原则的反例
    • “体积”的概念对于微积分中的无穷小的“粉末”而言是无意义的
    • 在经典几何学中任取两个三维的几何图形，我们总是能够将第一个图形切割成若干“粉末”，然后将这些碎片重构为第二个图形。
    • “巴拿马 - 塔斯基悖论”暂未应用于现代物理学。
• 15.测算未来（概率学的发展）
  • “随机问题”的起源
    • “孛罗芒西”和“箭卜术”
      • 把答案写在箭身上，摇晃剑筒，随机抽取一根
      • 公元前6世纪，古巴比伦国王，尼布甲尼撒二世，用“箭卜术”选取敌人发动战争
    • “离者”（sors），“巫术”（sortilege）
      • 离者：古罗马人用来做随机抽取的物品
      • 巫术：质问神灵，或者接受来自神灵的审判
    • “抽签随机”机制的推演
      • 古代雅典，随机选择众议员五百人会议的市民
      • 威尼斯，任命总督
      • 随机游戏的机制
        • 猜硬币正反面
        • 带编号的色子
        • 卡牌游戏
  • “概率论”的发起
    • 17世纪中叶，法国数学家，马林 · 梅森，提出分酬问题：
      • 有两个玩家在玩随机游戏并且押了钱，先赢3局者胜，当玩到2:1的时候游戏中短，试问这两位玩家该如何分割赌注？
      • 皮埃尔 · 德 · 费马，布莱兹 · 帕斯卡 得出了结论：
        • 玩家一得3/4的报酬，玩家二拿1/4的报酬
    • 17世纪尾声，雅各布 · 伯努利
      • 撰写《猜度术》，提出了概率论中的基本原则：大数定律。
      • 投硬币猜正反问题
        • 连续投掷硬币两次，记录正面和背面朝上的次数，
        • 有三种可能，两正、两反、一正一反。
        • 分别的概率：两正、两反的概率都是25%，一正一反的概率是50%
    • 大数定律：在随机试验中，我们重复的次数越多，结果的平均值就越明显，并且趋近于一个极限值。（即使是最复杂的随机，最终都会产生一个平均行为，“随机”也就不存在了）
      • 大数定律只要随机抽取的样本足够大，所获得的结果就有非常大的可能会接近整个数据的平均值。
      • 进一步考察未来可能发生的概率，我们可以建立置信区间，评估错误风险。
    • 帕斯卡三角形（杨辉三角形）
      • 公元11世纪，北宋数学家，贾宪，研究此三角形
      • 公元13世纪，南宋数学家，杨辉，引用并发扬光大
      • 1654年，帕斯卡，进行完整论述，发现这个三角形和计算未来概率之间的紧密联系
        • 帕斯卡三角形：三角形边缘的所有小球数值都是1，三角形内部的小球，每个小球的数值等于上面一行中挨着这个小球的两个数值之和。
        • 帕斯卡三角形的每一行，都能够计算出“一系列的”、“具有两种可能性的事件”的可能场景出现的“数量”。
          • 例：连续抛掷一枚硬币3次，会得到8种可能性
            • 反反反
            • 反反正
            • 反正反
            • 反正正
            • 正反反
            • 正反正
            • 正正反
            • 正正正
          • 这8种可能性，分为4类：
            • 场景一：3次正面。次数：1
            • 场景二：3次反面。次数：1
            • 场景三：2次正面和1次反面。次数：3
            • 场景四：2次反面和1次正面。次数：3
          • 这四种场景的次数，正好对应了帕斯卡三角形的第四行：1，3，3，1。
      • 帕斯卡三角形中的“数列”
        • “三角形数”：某一条对角线上的数字。1，3，6，10，...
        • “斐波那契数列”：一系列倾斜且等距的平行线，将每条线上的数字相加。1，1，2，3，5，8，...
      • 图示
  • “概率论”的挑战
    • 理解随机系统能够自我修正的行为
    • “强化概率”
      • 1930年，匈牙利数学家，乔治 · 波利亚，提出了“强化概率”的概念（波利亚模型）
      • 如果身边已经有很多生病的人，那么有很大的概率也会被传染。而当你生病时，又会增加身边人的感染概率。
      • 强化概率中客体通过自我增值（或减值），概率在不断变化。
    • 波利亚模型可以估算不同生物特征的演化概率。
      • 有些特征会消失
      • 有些特征会成为必然
      • 另外一些特征会达到一种中间态的平衡
• 16.计算器时代的到来（从学习运算到超越算法）
  • 计算器的发展背景
    • 人类历史上第一台计算器
      • 1642年，19岁的布莱兹 · 帕斯卡，设计的“帕斯卡计算器”
    • 传统“计算器”的原理（比如：算盘）
      • 传统“计算器”是一种辅助记忆的工具。
      • 传统“计算器”通过“进位”的行为设计，来帮助使用者告诉他们算到哪里了，但计算的过程仍然需要使用者手动去控制。
    • 现代计算器
      • 只需要输入初始的数字和运算的形式，不需要做任何运算过程相关的操作
      • 查尔斯 · 泽维尔 · 托马斯，发明“四则运算器”
      • 里昂 · 伯尔，发明“乘法计算器”
      • 迪布瓦，发明“彩色计算器”
      • 费尔特与塔兰特，发明“键控计算器”
      • 威戈特 · 西奥菲尔 · 欧德纳，开发“手摇计算器”
      • 1834年，查尔斯 · 巴贝奇，运用纺织机原理制造计算器。
        • 巴贝奇计算器的核心理念：不管涉及什么数字，不管涉及什么运算，操作全部统一，完成所有运算。
        • 巴贝奇的计算器成了历史上第一台计算机。
        • 英国数学家，阿达 · 洛芙莱斯
          • “从运算到打卡孔”
          • 编写了一段代码用来计算“伯努利数列”
          • 被认为是人类历史上第一个程序员
  • 电子设备的发展
    • 电子设备出现的背景：
      • 微积分和虚数的使用使得电磁现象能够通过方程式表示。
      • 19世纪出现了大量影响数学学科的基础问题被推演和证明。
    • 1936年，艾伦 · 图灵，提出了“图灵机”
      • “图灵机”是一种抽象的计算模型，让机器进行何种基本运算，考虑将运算组合在一起能够实现什么样的结果。
      • 图灵建立了“证明某个定理在数学上的可能性”和“用一台机器计算结果在信息科学上的可能性”之间的对照关系
      • “算法”：人们为了获得某个结果给计算机下的一系列指令被称为“算法”。
      • 只要我们提供完整正确的算法，图灵机能够完成所有的数学过程。
    • “四色定理”
      • 我们至少需要多少种颜色来标注地图上不同的区域，才能使得每两个相邻区域具有不同的颜色？
        • 1852年，南非数学家，法兰西斯 · 古德里，提出假设，最少4种颜色。但无法证明；
        • 20世纪60年代，“使用电子计算机代替人工计算”的想法开始萌芽；
        • 1976年，两位美国数学家通过电子计算器证明了这个定理。
  • 超越人类
    • “学习型算法”（机器学习）
      • 2016年3月10日，“人机围棋大赛”，电子计算机“阿尔法狗”击败李世石。
        • “阿尔法狗”第37手的黑子落在O10的位置，超出了人类的理解，最终胜利
      • “阿尔法狗”在算法中引入了随机性，使用了概率论
        • “阿尔法狗”测试了所有可以获胜的落子方式中最容易取胜的取胜方式（概率）
        • “阿尔法狗”不是向人类一样进行系统地思考，而是根据概率来权衡可能的未来。
• 17.未来的数学
  • 数学全球化
    • 国际数学家大会，每四年举行一次
      • 1897年8月8日，第一届，瑞士
        • 德国学者，奥尔格 · 康托尔，创建了“集合论”
        • 意大利数学家，朱塞佩 · 皮亚诺，定义了现代数论的公理
        • 法国数学家，昂利 · 庞加莱，发明了“混沌理论”（蝴蝶效应）
          • 最后一位全知全能的伟大学者
          • 在他之后，再无“数学通才”，只有“数学专才”
      • 菲尔兹奖
        • 1936年开始，每届大会颁发“菲尔兹奖”（数学界的诺贝尔奖）
        • 菲尔兹奖的奖牌
          • 正面是阿基米德的浮雕
          • 背面是对阿基米德的评价：Transire suum pectus mundoque potiri（超越人类的极限，做宇宙的主宰）
        • 图示
    • 语言的统一：英语成为数学学科的国际通用语言
    • 数学家和数学定理的激增：每4年产生约100w条新的定理
  • 数学学科的“再统一”
    • “统一”的历史进程
      • 德国数学家，戴维 · 希尔伯特
        • 提出23道未解数学难题清单
          • 截止2016年，还有4题未解
          • 第八题：黎曼猜想
            • 19世纪，德国数学家，波恩哈德 · 黎曼
            • 提出了一个方程，寻找这个方程的虚数解
            • 黎曼猜想是关于“素数序列”的研究
        • 尝试提出“超级理论”，旨在涵盖所有的数学分支。
          • 基于19世纪末期，格奥尔格 · 康托尔，的“集合论”框架
          • 1913年，伯特兰 · 罗素出版了《数学原理》三卷本
            • 整合了所有的数学分支理论
            • 重新建立了数论，并给了一个定理：1+1=2
          • 绝大部分现代数学学科确实能够在以集合论为基础的若干个公理内找到它们的学科基础。
    • “数学”一词的演变
      • 由于数学学科的“统一”，部分数学家主张不再使用“数学”一次的复数形式，而用单数形式。
      • les mathematiques > las mathematique
    • 理论的“完美性”：一致性和完整性
      • 一致性：理论中不允许存在悖论。不能既证明，又证伪。
      • 完整性：这个理论中的所有公理，足够用来证明在其框架下的所有真命题。
    • 哥德尔的“精美灾难”
      • 1931年，库尔特 · 哥德尔，发表文章《“数学原理”及其相关系统的明确性不可判定之命题》
        • 根本不存在一个既一致又完整的“超级理论”
        • 如果《数学原理》是一致性的，那么必然存在不可判定的断言，也就是既不能证明也不能证伪。因此无法判断它是真命题还是伪命题
      • 哥德尔的“不完美定理”
        • A. 两个偶数之和始终是偶数
        • B. 两个奇数之和始终是奇数
        • C. 命题A是真的
        • D. 命题B是假的
        • G. 命题G不能从该理论的公理出发得到证明。
      • “不完美定理”的意义
        • 不存在一个理论既“一致”又“完整”的理论
        • 如果有朝一日出现了这样的理论，那它必然是在另外一个理论框架下解决的。但是这个新的理论框架也必然包含着其他缺陷和不可判定的命题。
  • 数学的本质
    • “曼德博集合”
      • 任选一个数字，创建如下数列：数列的第一项为0，之后的每一项都等于之前一项的平方加上你所选取的这个数字。
      • 根据所选数字的不同，所获得的数列也可能会产生两种不同的性质。
        • “无穷大”：例如数字2
        • “有限集”：例如数字-1
        • 所有的数字都可以归结到上述两类情况中中（整数、小数、虚数）
      • 借助笛卡尔坐标，把规则几何化。
        • 横轴代表所有的实数，纵轴代表所有的虚数
        • 用不同的颜色来标注分属于上述两个不同集合的点，会得到非常美妙的图形
      • “曼德博集合”的诱人之处
        • “曼德博集合”的几何化图形轮廓是一个几何花边，具有不可思议的和谐性和精确性。
        • “曼德博集合”的定义令人难以置信的简单。
    • 数学到底是人类的发明，还是一种独立的存在？
      • 人类发现了数学而不是发明了数学，数学诠释的客观规律是独立于人的意志，天然存在的
    • 数学家们到底是创造者，还是发现者？
      • 数学家既是数学模型和客观规律的发现者
• 结语
  • 未来的数学仍然有很大的探索空间，甚至比我们认知的还要大。
  • 数学的魅力在于所有人都可以用自己的方式创造数学。所有“搞数学”的过程，都更能令人感到快乐和愉悦。
  • “搞数学”永远不需要太多的“准备”，所需要的不过是一个大胆的猜测、足够的好奇心和一点点想象力。
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