数学思维导图

这是一个关于数学思维导图的思维导图，包含了导数的概念。函数求导法则，高阶导数，函数的微分等方面的知识点。

第二章 导数与微分

• 导数概念
  • 函数的定义
  • 函数的几何意义
  • 函数的可倒性与连续性的关系
    • 连续的函数不一定可导
    • 可导的函数是连续的函数
    • 函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续
• 函数的求导法则
  • 函数的和、差、积、商的求导法则
  • 反函数的求导法则
    • 反函数的导数是原函数导数的倒数
  • 复合函数的求导法则
  • 基本求导法则与导数公式 P92
• 高阶导数
  • 二阶及高阶以上的导数统称为高阶导数
    • 莱布尼茨公式
• 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
  • 隐函数的导数
    • 显函数
      • 显函数是函数的类型之一，解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
    • 隐函数
      • 子主题
    • 隐函数的显化
      • • 有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如ey+xy=1。
  • 由参数方程所确定的函数的导数
    • 对参数中的因变量y和自变量x直接联系的式子分别求导，方程的斜率等于d(y)对t求导/d(x)对t求导
  • 相关变化率
    • 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
• 函数的微分
  • 微分的定义
    • 设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。
  • 微分的几何意义
    • 微分的几何意义就是：直角三角形的高（dy）等于正切值（斜率导数即f'（x））乘以该三角形的底边（dx）。
  • 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 P114