第一章 行列式

行列式和它的转置行列式相等。若果行列式中有一行元素全为零，则行列式的值为零。交换行列式两行，行列式仅改变符号。若行列式有两行的对应元素成比例，则这个行列式等于零。

行列式

• 概念：不同行不同列的元素乘积的代数和
  • 可证上三角行列式，下三角行列式的计算公式
• 计算
  • 对角线法则：主正副负（只适用于三阶及以下的行列式）
  • 行列式的完全展开公式
    • 逆序及逆序数
      • 奇排列
      • 偶排列
      • 题型：求X的n次方的系数
  • 行列式按行（列）展开 用以降阶
    • 余子式 字母表示：Mij
    • 代数余子式：余子式➕正负号 字母表示：Aij
    • 按行展开：ai1✖️Ai1 ➕ai2✖️Ai2➕ …➕ain✖️Ain 按列展开 某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于0
    • 特殊情况
      • 上（下）三角行列式的值等于主对角线元素乘积 副对角线的行列式：加-1的(n-1)n/2次方
      • 两个特殊的拉普拉斯展开式（分块成三角行列式） 例：四个角有0
      • 范德蒙行列式
• 性质
  • 行列式的转置值不变
    • 可得行列式的行与列的性质是相同的，为后续行列式的性质奠定基础
  • 行列式两行互换一次取反一次
  • 行列式的某一行如果有公因子k可将其提出
  • 值为0的行列式：
    • 行列式的某两行相同
    • 行列式的某两行成比例
  • 把某行的倍数加到另外一行，行列式的值不变
  • 行列式中某一行为两个元素的和，则可把行列式拆成两个行列式相加，其余行不变。
• 克拉默法则
  • 推论：1、若齐次方程组的系数行列式不为0，则方程组有唯一零解 2、若齐次方程组有非0解，则其系数行列式不为0
• 求特征值