导图社区 多元函数积分学
多元函数积分学的导图笔记，知识点有二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分等。
①曲线封闭且无奇点在内部，直接使用格林公式；②曲线封闭但有奇点在内部，若奇点外积分与路径无关，则换路径。
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多元函数积分学
二重积分
定义
几何意义
性质
比较定理
估值定理
中值定理
计算
直角坐标系 将重积分化为累次积分
先x后y
先y后x
极坐标系
利用对称性和奇偶性
三重积分
概念与对称性
三重积分的概念
对称性
普通对称性
轮换对称性
直角坐标系
先一后二法（投影穿线法）
适用场合：平行于z的直线与边界曲面至多两个交点
计算方法
先二后一法（定限截面法）
适用场合
柱面坐标系
极坐标下的二重积分与定积分
球面坐标系
应用
体积
总质量
重心
转动惯量
引力
第一型曲线积分
第一型曲面积分的概念 与积分路径无关
普通
轮换
一投二代三计算（化为定积分）
直接法
利用奇偶性
关于x轴对称
y轴对称
利用轮换对称性
关于y=x对称
物质曲杆
曲杆长度（弧长）
重心（质心）
第二型曲线积分
第二型曲面积分
概念
做功
与积分路径有关
基本方法
一投二代三计算
格林公式
①曲线封闭且无奇点在内部，直接使用格林公式
②曲线封闭但有奇点在内部，若奇点外积分与路径无关，则换路径
③非封闭曲线若积分与路径无关，则换路径（换简单路径
④非封闭曲线，可补线使其封闭
⑤积分与路径无关问题
空间问题
①一投二代三计算（参数方程简单或曲线不在同一平面上）
②曲线封闭且在同一曲面上，用斯托克斯公式
③rot F=0 可以换路径
两类曲线积分的关系
第一型曲面积分
第一类曲面积分的概念
与积分路径无关
一投二代三计算（化为二重积分）
利用奇偶
关于xoy面之类
利用对称性
曲面薄板（物质曲面）
曲面面积
曲面重心
通量 与积分路径有关
高斯公式
①曲面封闭且无奇点在内部，直接使用高斯公式
②曲面封闭但有奇点在内部，若奇点外div F=0，则换个面积分（边界不需要与原曲面重合
③非封闭曲面，若div F=0 可换个面积分（边界需要与原曲面重合
④非封闭曲面，补面
⑤由div F=0，建立方程求解
两类曲面积分的关系
散度与旋度
旋度
