导图社区 考研线性代数常用知识点、题型（超详细）
- 154
- 15
- 3
- 举报
考研线性代数常用知识点、题型（超详细）
考研线性代数常用知识点、题型（超详细）思维导图：包含矩阵，行列式，技巧，行列式的运算不要与矩阵的初等变换相混，分块矩阵，n阶矩阵A可逆等等
编辑于2022-05-10 15:37:48- 线代
- 相似推荐
- 大纲
目录
主要公式
行列式
上（下）三角行列式
副对角线行列式
💔拉普拉斯展开式
💔范德蒙行列式
行列式
💔
注意与矩阵区别
💔
💔
💔
易错点
行列式的运算不要与矩阵 的初等变换相混
不要与矩阵运算相混
转置
可逆
联系起来看
伴随
推导
对角矩阵
秩
证明
分块矩阵
💔
二阶矩阵，主对角线元素对换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵
齐次，AB=O
💔💔非齐次，AB=C
💔AB=C，且A可逆
💔AB=C，且B可逆
选AB主体，定表出 Ax只能A为主体 ⭐💔即把AB看作A/B的变换
其他
一次正交4个β，自己正交自己的α
n阶矩阵A可逆
相似(A~ B)
💔
💔
用四个必要条件逐一排查
抽象矩阵 (定义法)💔
α很坚强，λ只有在α软弱的时候坚强了一次
正交矩阵
A是正交矩阵
💔
💔
💔
单位正交行列一
几何意义
类似三维坐标轴
单位向量
向量间两两垂直（正交）
判断有数据的矩阵是否正定
顺序主子式全大于0——有数据的矩阵可直接判断(观察)
💔
特征值全大于0(证明题、观察皆适用)
可逆，满秩
矩阵的等价、 相似、合同
A与B等价充要条件
A经过初等变换得到B
PAQ=B，其中P、Q可逆
r(A) = r(B)，关键靠这个判断
A与B相似
证明A和B相似
A和B均可相似对角化且特征值相等
实对称矩阵有重根，也能相似对角化
实对称矩阵必定相似对角化，只需证特征值相同
判断A和B不相似
特征值不同
秩不相等
行列式不相等
迹不相等
A相似对角化，而B却不能相似对角化
实对称A和B合同
有相同的正负惯性指数
特征值正负个数相同
行列式同号
秩相等
与同一个实对称矩阵合同
技巧
善于挖掘题目条件，解法隐藏在题目中
n×n维优先考虑用行列式
💔举反例
五六章题目，没有思路就先求特征值特征向量
伴随矩阵相关计算一定会用到此公式，几乎无例外
三阶矩阵A+一个特征向量=三个方程
行列式
矩阵
n维向量
线性方程组
特征值与特征向量
二次型
标记使用规范
注意事项及归纳技巧
重点
进行中
没听过，看不懂
有易错易混点
子主题 6
子主题 7
行列式
概念
不同行不同列元素乘积的代数和（共n！项）
逆序数（τ）
从前往后数，大的排在小的前面的个数
余子式与代数余子式
区别余子式与代数余子式 ⭐可通过改变行列式元素反求代数余子式
重要定理
展开式
代数余子式展开
💔💔代数余子式和余子式本身都是不带系数a的！！！
性质
两行（或列）互换行列式变号
某行（或列）有公因数k，可把k提到公因式外面。特别的
某行（或列）全为0则行列式为0
两行（或列）成比例，行列式为0
某行（或列）所有元素都是两个数的和，可以写成两个行列式之和
树状图法
某行（或列）的k倍加至另一行（或列），行列式的值不变
行列式的运算与矩阵 的初等变换区别
主要公式
上（下）三角行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙行列式
方阵的行列式
💔
注意与矩阵区别
💔
💔
💔
证明
计算
数字型
基本性质
把第i行（列）的k倍加到第 j 行（列）
数重复元素最多的
把每行（列）都加到第一行（列）
逐行（列）相加
对角线上连续多个相邻行或列存在联系
直接按行（列）展开
💔拉普拉斯展开式
特殊类型
爪型行列式
用斜爪消水平爪，化为上三角或下三角
隐藏爪形的标志：每一行或每一列相等
三条对角线行列式
逐行相加消元（三角化法）
全部加至第一行
均为直接消去，无技巧
n阶
第一归纳法用于Dn和Dn-1的关系 第二归纳法用于Dn，Dn-1，Dn-2的关系
抽象型
构思方法
用行列式性质、恒等变形
用矩阵性质、法则恒等变形、⭐E恒等变形
|A+B|型的计算
给出具体AB
代入利用行列式性质计算
未给出具体AB
利用⭐E恒等变形与行列式性质计算
提公因式
已知A的特征值，可得A-E的特征值，可得|A-E|
分块矩阵
分块矩阵的E恒等变形
特征多项式
别多想就是干
矩阵的秩
矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，即为r(A)
克拉默法则
非齐次线性方程组
矩阵
基础知识
矩阵及相关的概念
两个矩阵元素相等，称两个矩阵相等
n阶方阵的元素构成的行列式称为n阶矩阵的行列式
矩阵的三则运算
矩阵的加减、数乘
矩阵的乘积
定义
乘法规则
乘法要注意的点
内标同可乘，外标决定型
矩阵可进行分配律、因式分解
伴随矩阵
定义
注意下标
转置矩阵
逆矩阵
矩阵的初等变换和初等矩阵
初等变换
数乘
用非零k常数k乘矩阵的某一行（列）
倍加
把某行（列）的k倍加至另一行（列）
互换
互换矩阵某两行（列）的位置
等价
矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价
等价≠相等
A和B等价的充要条件
<===> r(A) = r(B)，关键靠这个判断
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵
行阶梯矩阵
如果矩阵中有零行，则零行在矩阵的底部
每个非零行的主元（即该行最左边的第一个非零元）⭐主元下所在列下面的元素都是0，列指标随着行指标的递增而严格增大
行最简矩阵
非零行的主元都是1，⭐且主元所在的列的其它元素都是0，称其为行最简矩阵
正交矩阵
A是正交矩阵
💔
💔
单位正交行列一
几何意义
类似三维坐标轴
单位向量
向量间两两垂直（正交）
重要定理
n阶矩阵A可逆
左乘初等矩阵：行变换
右乘初等矩阵：列变换
对矩阵A进行单位矩阵到初等矩阵的相应行（列）变换
严禁使用非初等矩阵运算，会晕
矩阵运算
列×行=矩阵（互为转置，r=1） 行×列=数 （对角线和）
互为转置（任何两行成比例）
相等
对称矩阵 平方和
特殊矩阵的n次方
💔
公式
α=一行：二行：三行 β=一列：二列：三列
推导过程
判定标准
r(A)=1，行与行、列与列之间成比例
分解法(二项式定理)
主对角为0的三角形矩阵，高次幂为零矩阵
满足条件
B为数量矩阵E，这样计算n次幂方便，同时B和C可交换
判定标准
主对角线元素相同（三角形矩阵）
归纳法
判定标准
矩阵有规律，有特点
试算一下矩阵乘积，有规律可以直接总结规律，没有规律选择其它方法
伴随矩阵
做题思路
💔求A*的方法
直接法，用定义
不要丢+ - 号
不要排错队（注意下标）
分块矩阵同等适用
对于二阶矩阵，主对角线元素对换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵
先把公式写旁边，十有八九就会用
可逆矩阵
计算(具体)
定义法
存在矩阵B，使AB=E
伴随矩阵法
二阶最好用，三阶勉强用
代数余子式不要忘记正负号，伴随矩阵不要排错位置，不要忘记除|A|
初等行变换法
💔
分块矩阵
💔计算(抽象)
E的系数随意，主要消掉A
常用技巧
证明
定义法
存在矩阵B，使AB=E
常用：证明对应行列式不为0（满秩）
反证法
利用行列式=0找矛盾
矩阵方程AX=B
不满足分配律
AX=B，列写X关于A、B的方程组求解
三阶以上不推荐
技巧
初等变换
初等矩阵的逆还是初等矩阵
型一：有下标
根据下标把初等变换的矩阵都写出来，然后进一步运算
型二：文字描述
根据文字描述把初等变换的矩阵都写出来，然后进一步运算
型三：具体矩阵
类似的思想
公式
n维向量
💔基础知识
向量的定义
n维单位列（行）相量，是内积为1的列相量
向量的运算
加减
数乘
内积
线性组合
线性表出
线性相关
线性表出
💔💔💔
证明
小的结论
A可由B线性表出，则A的极大无关组也可由B的极大无关组表出
秩越大表出能力越强
极大无关组和向量组的秩
r个向量线性无关，再加进任一个向量就线性相关，则称这r个向量是向量组的一个极大线性无关组
极大线性无关组的向量个数就是这个向量组的秩
极大无关组不唯一
重要定理
定理3.1
向量组的秩=增广矩阵的秩
定理3.2
推论1
因为转置过来，方程少未知数多
向量组的秩＜相量个数
定理3.3
行延伸，增相量
定理3.4
基础解系
列延伸，增维数
定理3.5
是哪个，不知道
定理3.6
定理3.7
多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关
推论
定理3.9
几何意义
二维向量相关——共线
三维向量相关——共面
线性相关
选择题
先用观察法排除一些明显相关的选项
如定理3.2，3.3，3.4
若是m个n维向量，通过矩阵的秩判断
计算题
线性相关(有非零解)
充分条件
两个向量成比例则线性相关
方程少未知数多
线性无关(无解)
线性无关证明题
定义法：k全为0
k乘
楞乘（乘完，直接凑出0）
楞乘（乘完，两式 + + - -，再凑出0）
重组
关注题目中“＝0”和“≠0”条件
秩：满秩
解题步骤
反证法
条件的利用
特征值不同，特征向量无关
基础解析，向量无关
线性表出
三种计算情况
选择题、 证明题
构造方程组，证明方程组有解
当矩阵的秩=增广矩阵的秩
r(A)=r(A|B)=s，则唯一解（特解）
r(A)=r(A|B)≤s，则无穷解（基础解系）
通常矩阵都是有未知数的，得凑巧才能用
通常用于互相表出的题目，不然还算什么呀 （一边老老实实用计算题的步骤算，一边用这个快速说出）
找出两个条件，即可得出结论
且表出法唯一
证明题：先用几何意义大概估算一下
计算题
当矩阵的秩=增广矩阵的秩
r(A)=r(A|B)=s，则唯一解（特解）
r(A)=r(A|B)≤s，则无穷解（基础解系+特解）
未知量小于有效方程数
未知量大于方程数
被表出的都是秩小的那一边！！！！！
向量组的秩
重要定理
单箭头，除非加下面的条件
注意区别
求极大线性无关组
常用公式
线性方程组
基础知识
非齐次线性方程组
齐次线性方程组
增广矩阵
系数矩阵
初等变换
较简单
基础解系
主要定理
💔
💔
💔
💔
证明
解方程组Ax=0
化简技巧
复杂矩阵，先消出1，再用1去消别的行
复杂矩阵可直接用行阶梯计算基础解系
线性无关解向量个数
未知数中自由变量个数
💔
💔💔💔方程中含参数时，要分类讨论避免丢情况
尤其是约公因式时
秩为r(A)以外的列为自由变量
解方程组Ax=b
要会解方程组，会处理参数
解方程组Ax=0求基础解系
令自由分量全为0，求特解
通解=k×基础解系+特解
满足x2=x3的全部解
x2的通解=x3的通解
要会用解的结构、解的性质处理抽象的方程组
有些题要求通过矩阵的运算构造出方程组再求解
公共解、同解
公共解
法一：联立方程组求解（上下并）
法二：分别求基础解系，相等再求系数
法三：求出I基础解系，代入II中得系数关系
同解
解题思路
解出一个方程的解
求出参数
代入参数，验证方程二确实是方程一的解（求秩）
方程组的应用
设未知矩阵X的所有参数，并求解
题意条件
同解，则一个方程的解可以由另一个方程的基础解析求得
秩等于0的方程，则任意n维向量均是方程组的解，特别适用于A的伴随矩阵
特征值与特征向量
基础知识
特征值、特征向量
特征向量不为0，特征值可为0
特征多项式、特征方程
相似、可对角化
实对称矩阵
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）则称A为实对称矩阵。
重要定理
💔
已知两个特征值就用（迹）
已知两个特征值，且不存在0时用
也可用在这里
特征值相同
💔
线性无关的特征向量个数等于特征向量的重数 ni=基础解系=n-r
<==> 对角矩阵相似
特征值必是实数
一次正交4个β，自己正交自己的α
施密特正交化
特征值、特征向量
数字型矩阵
计算特征值
💔技巧
常规法
行列式可行变换或列变换
类型1：具体值（讲义例5.33） ⭐类型2：带参数（讲义P138） ⭐（冥冥之中，自有规律）
计算特征值前不能初等变换
特征向量
化简技巧
复杂矩阵，先消出1，再用1去消别的行
复杂矩阵可直接用行阶梯计算基础解系
抽象矩阵 (定义法)
⭐关联矩阵法：
α很坚强，λ只有在α软弱的时候坚强了一次
相似、相似对角化
相似矩阵的特征值 特征向量
相似(A~ B)
必要条件 (判断相似)
💔
💔
用四个必要条件逐一排查
充要条件 (证明相似对角化)
且特征值相同
抽象矩阵
定义法
相似对角化
💔
相似对角化的 可逆矩阵P
求A相似标准型的方法 （对可对角化的矩阵）
数字型矩阵形式
注意特征值与特征向量一一对应
抽象型矩阵形式
求参数（预处理）
利用相似
如果其中一个特征值卡壳，立马换一个
有重根
用特征向量
加加减减求参数
二阶矩阵有二重根必不可相似对角化
已知特征值、特征向量 反求矩阵A
💔
设未知矩阵X的所有参数，直接求解
实对称矩阵
💔隐含信息
必与对角矩阵相似
可用正交矩阵对角化
特征值必是实数
k重特征值必有k个线性无关的特征向量
💔不同特征值的特征向量必相互正交
内积为0
齐次方程
求特征向量
利用正交来求特征值
如对称矩阵A有三个不同的特征值，若已知道两个特征向量，就可求出第三个
💔如特征值有重根，那么知道单根的特征向量就可求出重根的所有特征向量
特征值不同，特征向量彼此正交 💔特征向量为通解
实对称矩阵A化为对角矩阵的步骤
与可逆矩阵不同
重要Tips
真题19-9
题意条件
已知一个特征向量，代入算参数和特征值
二次型
知识结构
基本概念
二次型定义
，A为二次型的矩阵，且A为对称矩阵
类型
二次型
二次型的系数都是实数
标准形
混合项系数全是0(非对角线系数)
规范性
平方项的系数为1,0,-1
均为实对称矩阵
，二次型的秩 = 二次型矩阵的秩 = 正负惯性指数之和
正负惯性指数
正惯性指数
标准形中，正平方项的个数p
负惯性指数
标准形中，负平方项个数q
求正负惯性指数的方法
特征值法
观察特征值正负个数
配方法(上三角)
观察配方后方程系数正负个数
标准型
坐标变换
💔其中C是可逆矩阵，行列式不为0(注意)
💔坐标变换后，正负惯性指数不变（惯性定理）
合同变换
💔C为可逆矩阵
证明过程
标准化
定义
坐标变换二次型矩阵是合同的
若C是正交矩阵，则有
即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同还相似
因此用特征值的方法求解方程，要施密特正交化
和此定理联系，可得实对称矩阵，若C是正交矩阵，则相似于对角矩阵
任何的实对称矩阵A，都可合同于对角矩阵
<===> 任何的二次型都可以标准化和规范化
标准形的系数就是实对称矩阵A的特征值
规范性就只能代表特征值的正负
标准形不唯一，而规范形唯一（由正负惯性指数决定）
化标准形的方法
配方法
一次一个字母
对于结论不是化为标准形的适合用
用配方法来配规范形衔接过渡
正交变换法
见下方题型总结
正定性
定义
充要条件
正惯性指数p=n
特征值全大于0(证明题、观察皆适用)
顺序主子式全大于0——有数据的矩阵可直接判断(观察)
与已知正定矩阵合同（证明题）
💔必要条件
证明题方法
检验A对称
证明正定
正交矩阵
A是正交矩阵
💔
💔
💔
单位正交行列一
几何意义
类似三维坐标轴
单位向量
向量间两两垂直（正交）
正负惯性指数计算
配方法
观察配方后方程系数正负个数
特征值法
观察特征值正负个数
二次型的标准形 规范形
很大程度和求特征值、特征向量题目类似
正交变换法
写出二次型矩阵A (可能需要预处理)
求参数
已知特征值
代入|KE - A|，求出参数（预处理）
已知标准形
迹相等
行列式相等
特征值相等（较麻烦）
已知规范形
规范形不存在0
特征多项式求得的参数排序，判断区间范围
规范形存在0
特征多项式求得的参数排序，最小的那个等于0
求矩阵A的特征值
求矩阵A的特征向量
💔不同特征值的特征向量必相互正交
内积为0
齐次方程
求特征向量
改造特征向量
无重根——单位化
有重根
正交——单位化
不正交——施密特正交化
实际：特征向量彼此正交的相似
标准型
规范型
配方法
含三个平方项
💔
1、第一步尽可能消除掉两个乘积项， 因此首项一般为三元二次
👿不含或少于2个平方项
先观察含有哪两项的乘积(以X1 *X2，X3^2举例)
二次型的 正定性
判断有数据的矩阵是否正定
顺序主子式全大于0——有数据的矩阵可直接判断(观察)
可逆，满秩
特征值全大于0(证明题、观察皆适用)
带参数，求参数范围
顺序主子式
👿💔证明A是正定矩阵
检验A对称
证明正定
特征值法
特征值全大于0，用已知条件的正定矩阵推导
用与E合同
推导出
用定义，坐标变换
常配合
用与已知的正定矩阵合同
有相同的正负惯性指数
证明
证明过程：特征值相等=>标准形相同=>正负惯性指数相等=>合同
矩阵的等价、 相似、合同
A与B等价充要条件
A经过初等变换得到B
PAQ=B，其中P、Q可逆
r(A) = r(B)，关键靠这个判断
A与B相似
证明A和B相似
A和B均可相似对角化且特征值相等
实对称矩阵有重根，也能相似对角化
实对称矩阵必定相似对角化，只需证特征值相同
判断A和B不相似
特征值不同
秩不相等
行列式不相等
迹不相等
A相似对角化，而B却不能相似对角化
实对称A和B合同
有相同的正负惯性指数
特征值正负个数相同
行列式同号
秩相等
与同一个实对称矩阵合同
题目条件
题意给出f(x1,x2,x3)=0，求X
配方法
A的各行元素之和为3 + r(A)=1
有特征值为3, 0, 0，3的特征向量为[1, 1, 1]
A满足
特征值为0或2
a1是齐次线性方程组Ax=0的基础解系
n-r(A)=1, A的秩为2
存在非0的解，0是特征值，a1是对应的特征向量
B是反对称矩阵
A是实对称矩阵且是满秩矩阵
A的特征值都是非零常数
特征值不全为正，不能保证正定性
二次型标准形相同
正负惯性指数相同
矩阵A和对角矩阵合同
A是实对称矩阵
特征值相等(1800 13题)
推不出正负惯性指数相等，矩阵合同，因为不一定是标准形
对角线上元素之和为3
题意解出两个特征值后，用此条件算出剩下一个(特征值的和=主对角线系数和)
r(E+A)<=1
|-E-A|=0且n-r(E+A)>=2
-1为A的特征值，且不低于二重
求包含A的行列式
通常为求特征值，在用行列式等于特征值乘积求得
AB=O
B行列式=0，则三个列向量相关，但其中有两个列向量是线性无关的
则特征值0的线性无关的特征向量有两个，说明其为二重根（然后取两个无关的就好了）
常配合条件，解出另一个特征值，如迹=多少
给出Q和标准形
要能联想到，Q的列向量就是特征值的特征向量(去掉施密特正交化的影响)
二次型变为标准型后，矩阵相似