统计学

统计学方差分析，检验多个总体的值是否存在显著差异，研究定性自变量与定量应变量之间的相关关系。方差分析的三个基本假设，单因素方差分析知识点总结。

四、参数估计与假设检验

• 参数估计
  • 通过样本估计总体数字特征
  • 基础概念
    • 参数
      • 非随机的、确定的数值，但通常是未知的，eg：μ
    • 统计量
      • 用样本信息构造的函数，不包含任何未知总体参数
      • 估计量vs估计值
    • 抽样分布
      • 统计量的概率分布，区间估计和假设检验的基本依据
      • vs总体分布vs样本分布
      • 总体分布为正态分布时，样本均值的抽样分布也为正态分布
      • 总体分布非正态分布，n充分大，样本均值为正态
    • 标准误
      • 统计量所服从的抽样分布的标准差
      • ＝标准误差≠标准差
  • 点估计
    • 用估计量的具体数值作为总体参数的估计值
      • eg：总体均值μ~样本均值X ̅
    • 特点
      • 同一个总体参数，可以用不同方法得到不同的估计量
      • 需要对估计量的好坏做出评价
        • 无偏性
          • 期望
        • 有效性
          • 方差较小
        • 一致性
          • 一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数
  • 区间估计
    • 置信区间性质
      • 置信区间是随机的
      • 置信度1−a不能描述单个置信区间包含总体参数的概率
      • 置信区间半长表示估计误差
    • 应用
      • 报告抽样调查的估计结果：三要素法
      • 定估计误差、置信度，求必要样本容量
• 假设检验
  • 利用样本信息，检验总体的某个假设
  • 方法
    • 提假设
      • 原假设（=/不易被推翻的）&备择假设
    • 做决策
      • 构造标准化检验统计量：当H0为真，统计量会服从某个标准分布
      • 计算标准化检验统计量的值
      • 决策准则：双侧检验&p值法
        • p<a,拒绝H0
    • 下结论
  • 单个总体均值的检验（μ=μ0）
    • 总体标准差已知：Z统计量
    • 大部分总体标准差未知：t统计量
  • 两个独立总体均值的检验（μ1与μ2的关系）
    • 大样本or正态总体
      • 两总体方差等：等方差的t检验
      • ~不等，不等方差的t检验
    • 非大/正：非参数检验
  • 两个匹配样本均值的t检验（数据一一对应）
• 六、非参数检验
  • 概述
    • 特点
      • 不需要对总体分布的具体形式（eg：正态/大样本）做出严格假设
      • 可处理定量数据&定性数据
    • 应用
      • 参数检验的假设条件不满足
      • 检验中涉及数据为定类或定序数据
      • 所研究问题不包含总体参数（eg：判断某样本是否来自正态总体）
  • 单样本的非参数检验
    • 对分布形态的检验
      • 目标：总体分布未知，判断样本数据是否来自某个未知的概率分布
      • 定性数据： χ^2拟合优度检验（Eg：偏好程度）
      • 定量数据：K-S检验
        • 先看直方图形态
        • 假设H0：来自；p＜a则拒绝
          • 软件中“检验分布”中的“常规”即正态分布
        • 大样本用渐进检验（Asymp）的p值；小样本用精确（Exact）检验
    • 对位置参数的检验
      • 目标：检验总体中位数是否等于给定数值
      • 中位数的符号检验
        • 先看直方图形态
          • 偏态则用均值来表示平均水平不合理
        • 软件操作
          • 生成一个新变量Median（所给均值）
          • 分析→非参数检验→2 个相关样本（原数据&新变量）
        • p＜a，则拒绝
• 五、方差分析
  • 基本概念
    • 目标
      • 检验多个总体的均值是否存在显著差异
      • 研究定性自变量与定量因变量之间的相关关系
    • 适用数据类型
      • 一个定量因变量
      • 定性自变量（因子/因素）
        • 一个：单因素方差分析
        • ≥2个：多因素方差分析
        • 水平：定型自变量的不同取值（一个水平对应一个总体）
  • 方差分析的三个基本假设
    • 各个总体中，因变量都服从正态分布（直方图，K-S检验）
    • 各个总体中，因变量的方差相等（方差齐性检验：Levene检验）
      • 各组样本容量接近时，可以粗略认为数据等方差
      • H0：各组方差相等
      • p＞0.05，不能拒绝，即各组方差相等；＜则反之
    • 各观测样本点之间相互独立
  • 单因素方差分析
    • 提假设：H0:各总体均值相等；H1：至少有两个总体的均值不等
    • 做决策：F统计量，p＜a则拒绝H0（存在显著影响）
    • 下结论
      • 若拒绝，进行多重比较(eg：LSD法)
        • 进一步检验哪些总体均值不同
    • • SSA+AAE=SST
• 推断统计
• 描述统计
  • 图表、数字...

五、方差分析

• 基本概念
  • 目标
    • 检验多个总体的均值是否存在显著差异
    • 研究定性自变量与定量因变量之间的相关关系
  • 适用数据类型
    • 一个定量因变量
    • 定性自变量（因子/因素）
      • 一个：单因素方差分析
      • ≥2个：多因素方差分析
      • 水平：定型自变量的不同取值（一个水平对应一个总体）
• 方差分析的三个基本假设
  • 各个总体中，因变量都服从正态分布（直方图，K-S检验）
  • 各个总体中，因变量的方差相等（方差齐性检验：Levene检验）
    • 各组样本容量接近时，可以粗略认为数据等方差
    • H0：各组方差相等
    • p＞0.05，不能拒绝，即各组方差相等；＜则反之
  • 各观测样本点之间相互独立
• 单因素方差分析
  • 提假设：H0:各总体均值相等；H1：至少有两个总体的均值不等
  • 做决策：F统计量，p＜a则拒绝H0（存在显著影响）
  • 下结论
    • 若拒绝，进行多重比较(eg：LSD法)
      • 进一步检验哪些总体均值不同
  • • SSA+AAE=SST