行列式

线性代数同济第一章行列式知识总结，包括二阶与三阶行列式、全排列、n阶行列式的定义、行列式的性质、行列式按行(列）展开等内容。

行列式

• 二阶与三阶行列式
  • 对角线法则
• 全排列
  • 逆序数
    • 奇排列
    • 偶排列
• n阶行列式的定义
  • 上（下）三角形行列式
    • 主对角线以下（上）的元素都为0
  • 对角行列式
    • 主对角线以上和以下的元素都为0
• 行列式的性质
  • 性质1（等）:行列式与它的转置行列式相等
    • Dᵀ＝D
  • 性质2（减）:对换行列式的两行（列），行列式变号
  •  （0）:行列式有两行相同，则行列式等于零
  • 性质3（乘）:行列式中某一行的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式
  • 性质4（0）:行列式有两行元素成比例，行列式等于零
  • 性质5（加）:如果某行是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和
  • 性质6（等）:把行列式的某一行的各元素乘同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变
  • 总:一加一减一个乘，两个等号两个0
• 行列式按行(列）展开
  • 余子式
    • 去掉一行和一列
  • 代数余子式
    • 余子式前加正负号（-1）ⁱ+ʲ
  • 展开公式
    • 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j ）元aij外都为零， 那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积D＝aijAij
    • 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 D＝ai1Ai1+ai2Ai2+...+anjAnj
    • 行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
  • 特殊情况
    • 上（下）三角形行列式的值＝主对角线元素的乘积
    • 副对角线行列式＝逆序数*副对角线元素乘积
      • 逆序数＝（-1）的n(n-1)/2
    • 范德蒙德行列式