高等数学——一元函数积分学及其应用

"解锁积分学的万能钥匙，从理论到应用一网打尽！ 内容涵盖：不定积分与定积分的核心概念（基本公式、换元法与分部积分法），微积分基本定理的深度解析，以及定积分在几何（面积、弧长、旋转体体积）和物理中的实际应用特别整理有理函数积分技巧、三角函数万能代换等经典方法，通过‘分割近似求和取极限’的思维模型，带你掌握积分解决实际问题的完整链路" 。

一元函数积分学及其应用

• 定积分的概念与性质
  • 实际问题举例：分割→取近似→求和→取极限
  • 定积分的概念
    • 定义
      • 小区间长度的最大值d→0保证了分割越来越溪，从而小区间的个数n必满足n→∞。反过来n→∞不能保证d→0.
      • 定积分数值大小与积分变量所用符号无关
    • 几何意义曲面梯形的面积
  • 函数可积的条件与可积函数类
    • 函数可积的必要条件
      • 若函数f(x)∈R([a,b])，则f(x)在闭区间[a,b]上有界
    • 函数可积的充要条件
      • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，则f(x)∈R([a,b])的充要条件是对[a,b]的任意分割T，都有 lim(d→∞)∑i=1n ωi△xi=0，其中ωi为f(x)相对于分割T在[xi-1,xi]上的振幅，d=max(1≤i≤n)△xi
    • 函数可积的充分条件
      • 若函数f(x)∈C([a,b])，则f(x)∈R([a,b])。
      • 设函数在闭区间[a,b]上有界，若f(x)在[a,b]上除有限个间断点外处处连续，则f(x)∈R([a,b])
      • 若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调，则f(x)∈R([a,b])
  • 定积分的性质
    • 线性性质
    • 区间可加性
    • 单调性
      • f(x)≤g(x)→∫abf(x)dx≤∫abg(x)
    • 估值定理(夹逼定理)
      • 设函数f(x)∈R([a,b]).若存在常数m和M，使得在[a,b]上恒有m<f(x)<M,则 m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)
    • 绝对值性质
      • 若函数f(x)∈R([a,b])，则|f(x)|∈R([a,b])，且|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx
    • 乘积性质
      • 若函数f(x)，g(x)∈R([a,b])，则f(x)g(x)∈R[a,b]
    • 推广的中值定理
      • f(x)∈C([a,b])，g(x)在闭区间内不变号，则至少存在一个ξ使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx
    • 积分中值定理
      • f(x)∈C([a,b])，则至少存在一个ξ使得 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)
• 微积分学的基本定理
  • 微积分学的基本定理
    • 定义：设函数f(x)在区间I上有定义。若存在I上的可微函数F(x)，使得∀x∈I，都有 F'(x)=f(x)，或者dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数
    • Newton-Leibniz公式(微积分基本定理)：设函数f(x)∈R([a,b])，且F(x)是f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数，则有 ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)
  • 变限定积分和原函数存在定理
    • 设函数f(x)∈R([a,b])，则{φ(x)=∫axf(t)dt,x∈[a,b]}∈C([a,b])
    • 设函数f(x)∈C([a,b])，则{φ(x)=∫axf(t)dt,x∈[a,b]}∈D([a,b])
      • 设函数f(x)∈C(I)，且函数φ(x)，ψ(x)∈D([a,b]).若φ([a,b])包含于I，ψ([a,b])包含于I,则 (∫φ(x)ψ(x)f(t)dt)'=f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x),∀x∈[a,b]
  • 不定积分的概念与基本积分公式
    • 不定积分的定义
    • 微分与不定积分的互逆性：(∫f(x)dx)'=f(x) ∫f'(x)dx=f(x)+C
      • ∫(1/1+x2)dx=arctan x+C=-arccot x+C ∫(1/√1-x2)dx=arcsin x+C=-arccos x+C ∫1/xdx=ln|x|+C
    • 不定积分的线性性质
• 不定积分的换元积分法与分部积分法
  • 不定积分的换元积分法
    • ∫f(φ(x))φ'(x)dx=∫f(φ(x))dφ(x)
      • ∫(1/x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
      • ∫(1/x2+a2)dx=(1/a)arctan x/a+C
      • ∫dx/√a2-x2=ln|x+√x2-a2|+C
      • ∫dx/√a2+x2=ln|x+√x2+a2|+C
      • ∫dx/√a2-x2=arcsin x/a+C
      • ∫√a2-x2dx=(a2/2)arcsin x/a+(x/2)√a2-x2+C
      • ∫sec xdx=ln|sec x+tan x|+C
      • ∫csc xdx=ln|csc x -cot x|+C
  • 不定积分的分部积分法
    • ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx
      • ∫√x2-a2dx=(a2/2)ln(x+√x2-a2)+(x/2)√x2-a2+C
      • ∫√x2+a2dx=(a2/2)ln(x+√x2+a2)+(x/2)√x2+a2+C
  • 有理函数的不定积分
    • ∫A/x-adx=Aln|x-a|+C
    • ∫A/(x-a)ndx=-(A/n-1)(1/(x-a)n-1)+C
    • ∫(Mx+N)/(x2+px+q)dx=(M/2)ln(t2+a2)+(b/a)arctan t/a+C(t=x+p/2)
    • ∫(Mx+N)/(x2+px+q)ndx=-M/2(n-1)(t2+a2)n-1+nIn(t=x+p/2)
  • 一些可以化成有理函数的不定积分
    • 三角函数有理式：令t=tan x/2称为万能代换
    • 某些无理式：令t=n√ax+b 把无理变有理
• 定积分的换元积分法与分部积分法
  • 定积分的换元积分法
    • ∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))dφ(t)
      • 奇偶性
      • ∫0π/2f(sin x)dx=∫0π/2f(cos x)dx ∫0πxf(sin x)dx=π/2∫0πf(sin x)dx
  • 定积分的分部积分法
    • ∫abu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|ab-∫abu'(x)v(x)dx
      • In=∫0π/2sinn xdx=
        • (n-1/n)(n-3/n-2)...../(4/5)(2/3)1=(n-1!!/n!!),当n为奇数时
        • (n-1/n)(n-3/n-2)...../(1/2)(π/2)=(n-1!!/n!!)(π/2),当n为偶数时
• 定积分的应用
  • 几何应用
    • 平面曲线弧长
      • ds=√(dx)2+(dy)2
      • ds=√[(ρ(θ))2+(ρ'(θ))2]dθ
    • 平面图形的面积
      • A=∫ab(f(x)-g(x))dx/∫ab(f(y)-g(y))dy
      • A=1/2∫αβρ2(θ)dθ
    • 特殊空间立体的体积
      • 平行界面已知的立体的体积：V=∫abA(x)dx
      • 旋转体的体积：V=π∫abf2(x)dx
    • 旋转曲面的面积
      • S=2π∫aby(t)ds=2π∫abf(x)√[1+(f'(x))2]dx
    • 特殊曲线类型
      • 星形线：x=a cos3 t，y=a sin3 t
      • 心形线：ρ=a(1+cos θ)
  • 物理应用举例