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线性代数思维导图
考研数学线性代数思维导图，超全超细致的全面总结，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量等。
编辑于2022-05-21 16:01:04- 行列式
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线性代数
行列式
概念
n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和； 注意一些概念不要忘记：完全展开式、排列、逆序数、偶排列、奇排列； 注：二阶、三阶的对角线法到四阶行列式失灵，要用到展开公式法
性质
1.经过转置，行列式的值不变（由此可知，行列式行的性质与列的性质是对等的）； 2.两行（或列）互换位置，行列式的值变号；特别地，两行（或列）相同，行列式的值为0； 3.用数k乘行列式等于用k乘这个行列式的某行（或列）；特别地，某行（或列）元素全为0，行列式的值为0（k=0）；若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0（结合性质2）；该条性质的k是对于一行（列）来说的，因此如果整个行列式都有一个k倍，则提出来是k的n次方 4.如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和； 5.把某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
展开公式
概念：余子式，代数余子式（i+j）
行列式按行或按列展开公式：n阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和
定理：行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0
一些特殊情况：上（下）三角形行列式、关于副对角线的行列式、两个特殊的拉普拉斯展开式（m*n）、范德蒙行列式
克拉默法则
具体求解线性方程组的思路参见线性方程组一章
矩阵
矩阵概念及运算
辨析：1.行列式：n行n列，代表一个数；2.矩阵：m行n列的一个表格
概念（p211）
运算
加法、数乘、乘法（p212）
注：矩阵的乘法是表格的运算，注意不要和习惯的数字运算相混淆；矩阵的乘法一般没有交换律，矩阵没有消去率，矩阵有零因子
单位矩阵E在乘法运算中的作用，相当于数字运算中1的作用
a、b是两个n维列向量，当列在前、行在后时，乘出来是矩阵；当行在前、列在后时，乘出来是数（看到n个列行相乘，要反应出有n-1个行列相乘数）
转置：将m x n型矩阵A的行列互换得到n x m矩阵，称为A的转置矩阵
矩阵多项式
运算法则
一些常见的矩阵：单位阵、数量阵、对角阵、上（下）三角阵、对称阵、反对称阵（p216）
伴随矩阵、可逆矩阵
伴随矩阵
概念：由矩阵A的行列式所有的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵（注意排列方式和对应矩阵不同）
求伴随矩阵要注意：1.不要丢+-号，代数余子式中由-1的i+j次方决定正负号；2.每一个分别求了之后，组长排列不要出错（如第一行是A11，A21，···，An1；而对应矩阵第一行是a11，a12，···，a1n）
伴随矩阵的公式
可逆矩阵
概念：A、B是n阶矩阵，AB=BA=E，A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵
定理
1.若A可逆，则A的逆矩阵唯一
2.A可逆的充要条件是A的行列式为0
3.设A和B是n阶矩阵且AB=E，则BA=E
n阶矩阵A可逆的充要条件
（1）存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E） （2）A的行列式不等于0，或r（A）=n，或A的列（行）向量线性无关 （3）齐次方程组Ax=0只有零解 （4）任意b，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解 （5）矩阵A的特征值全部为0（自己的解释：根据p251定理5.2可知，A的行列式=全部特征值的乘积）
逆矩阵的运算性质公式
求逆矩阵的方法
（1）用公式，若行列式不等于0，则根据A逆与A的伴随矩阵的关系求解（具体公式参见方阵的行列式“加”中的公式 （2）初等行变换 （3）用定义求B，使AB=E或BA=E，则A可逆，且A逆=B （4）用分块矩阵（p218）
初等变换、初等矩阵
概念
初等变换
设A是m x n矩阵， （1）用某个非零常数k（k不等于0）乘A的某行（列）的每个元素; （2）互换A的某两行（列）的位置; （3）将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列） 称为矩阵的三种初等行（列）变换
初等矩阵
由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，分别是倍乘初等矩阵【E(i(k))】、互换初等矩阵【E(i,j)】、倍加初等矩阵【E(ij(k))】
等价矩阵
矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价；A的等价标准形是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵
A与B等价----r(A)=r(B)
性质
（1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵
（2）初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵 互换初等矩阵【E(i,j)】的逆矩阵是【E(i,j)】；倍乘初等矩阵【E(i(k))】的逆矩阵是【E(i(1/k))】；倍加初等矩阵【E(ij(k))】的逆矩阵是【E(ij(-k))】
（3）用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP），相当于对A做相应的初等行（列）变换
定理
矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积：Pt···P2P1=E
（A|E）----（B|P），其中P=Pt···P2P1，A与B等价
行阶梯矩阵
注意：每个非零行的主元所在列下面的元素都为0；零行在矩阵的底部
行最简矩阵
行阶梯矩阵还满足，非零行的主元都为1，主元所在列的其他元素都是0
分块矩阵
方阵的行列式（n阶矩阵）公式
矩阵的秩
k阶子式（k阶行列式p236）
矩阵的秩
设A是m x n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，r阶以上子式均等于0，则称矩阵A的秩为r，零矩阵的秩为0
r（A）=r----矩阵A中非零子式的最高阶数是r r（A）<r----A中每一个r阶子式全为0，如r（A）<5，即A中5阶子式全为0 r（A）>=r----A中每一个r阶子式全为0,如r（A）>=2----A中存在2阶子式不为0 特别地，r（A）=0----A为零矩阵；A不为零矩阵----r（A）>=1
若A是n阶矩阵，r（A）=n----A的行列式不为0----A可逆 r（A）<n----A的行列式为0----A不可逆
经初等变换矩阵的秩不变
公式与性质
向量
向量、向量组概念
定义：n个数a1，a2，···，an所组成的有序数组A=（a1，a2，···，an）T或A=（a1，a2，···，an）叫做n维向量
向量的三个基本运算：加法、数乘和内积（行x列，p238）
定义2:若干个同维数的行向量（列向量）所组成的集合叫做向量组
线性表出、线性相关
线性表出
线性组合：m个n维向量A1，A2，···，Am及m个实数k1，k2，···，km，则向量k1A1+k2A2+···+kmAm称为向量A1，A2，···，Am的一个线性组合，k1，···，km称为这个线性组合的系数
线性表出：若B能表示成A1，A2，···，Am的线性组合，即B=k1A1+k2A2+···+kmAm，则称B能由A1，A2，···，Am线性表出
线性相关
对m个n维向量A1，A2，···，Am，若存在不全为零的数k1，k2，···，km，则使得k1A1+k2A2+···+kmAm=0成立，则称向量组A1，···Am线性相关，否则称为线性无关
（1）含有零向量，相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的； （2）单个向量是非零向量时，是线性无关的； （3）单个向量时，零向量是线性相关的； （4）两个向量不成比例时，是线性无关的；两个向量线性相关时，是成比例的
定理
1.向量B可由A1，A2，···，Am线性表出----存在实数k1，···，km使k1A1+···+kmAm=B----方程组AX=B有解----秩r（A1，A2，···，Am）=r（A1，···，Am，B）
2.向量组A1，···，Am（Aj为n维列向量）线性相关----以Aj为列向量的齐次线性方程组有非零解----r（A1 A2 ··· Am）<m
3.部分向量组相关，则整体向量组相关；整体向量组无关，则部分向量组无关 4.低维向量组（缩短组）无关，则高维向量组（延伸组）无关；高维向量组相关，则低维向量组相关（p229）
5.向量组A1，A2，···，As（s>=2）线性相关----至少有一个向量Ai可以由其余向量线性表出 6.若向量组A1，A2，···，As线性无关，而向量组A1，A2，···，As，B线性相关，则B可由A1，A2，···，As线性表出，且表出法唯一
7.设有两个向量组（I）A1，···，As，（II）B1，···，Bt （1）若Bi均可由（I）线性表出，且t>s，则（II）线性相关 （2）若Bi均可由（I）线性表出，且B1，···，Bt线性无关，则t<=s（？） （两向量组，被表出的秩不大）
推论
n个n维向量线性相关----其组成的行列式值为0
任何n+1个n维向量必线性相关（？）
向量组的秩
极大无关组
向量组ai1，ai2，···，air（1<=ir<=s）是向量组a1，a2，··as的部分组，满足条件：（1）ai1，ai2，···，air线性无关；（2）ai1，ai2，···，air中加入任一向量ai（1<=i<=s），则向量组ai1，ai2，···，air，ai线性相关，则称ai1，ai2，···，air为向量组a1，a2，···，as的极大线性无关组
说明1：其中条件（2）的等价说法是：向量组中任一向量ai（1<=i<=s）均可由ai1，ai2，···，air线性表出；
说明2：向量组的极大线性无关组一般不唯一，当极大无关组的向量个数是一样的；只有一个零向量组成的向量组没有极大无关组，一个线性无关组的就是该向量组本身
向量组的秩
向量组的极大无关组的向量个数称为向量组的秩
向量组（I）和（II）可以相互表出，则称向量组（I）（II）是等价向量组
向量组和它的极大无关组是等价向量组；一个向量组中各极大无关组之间是等价向量，且向量个数相同
定理：如果向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则r（I）<=r（II）
推论：如果向量组（I） 和（II）等价，则若r（I）=r（II）
三秩相等
设A是m x n矩阵，将A以行及列分块，得 Amxn=（a1，a2，···，am）T=（b1，b2，···，bn） 则有r（A）（矩阵A的秩）=r（a1，a2，···，am）（A的行秩）=r（b1，b2，···，bn）（A的列秩）
若A经初等行变换得到B，则： 1.A的行向量组和B的行向量组是等价向量组 2.A和B的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性
正交规范化、正交矩阵
正交：（A，B）=0，此时向量A，B正交
正交矩阵
A为n阶矩阵，ATA=AAT=E，则称A为正交矩阵
如果A是正交矩阵----AT=A逆----A的行（ 列）向量都是单位向量且两两正交----行列式的值为+1或-1
线性方程组
概念的理解
求方程组的解就是要对所给方程组作同解变形
同解变形的方法
（1）两个方程互换位置
（2）用非零常数乘方程的两端
（3）把某个方程的k倍加到另一个方程上
同解变形所对应的矩阵语言就是矩阵的初等行变换
齐次线性方程组
基础解系
如果b1，b2，···，bt是齐次方程组Ax=0的解，且满足条件1、2，则称b1，b2，···bt是Ax=0的一个基础解系
条件1：b1，b2，···，bt线性无关
条件2：Ax=0的任一个解b都可由b1，b2，···，bt线性表出
解的性质
如果b1，b2，···，bt是齐次方程组Ax=0的解，则对任意常数k1，k2，···，kt， k1b1+k2b2+···ktbt 仍然是该其次方程组的解
通解
如果b1，b2，···，bt是齐次方程组Ax=0的解，则方程组的通解为k1b1+k2b2+···ktbt，k1，k2，···，kt是任意常数
定理
齐次方程组Am*n X=0有非零解，即r（A）<n（A的列向量组线性无关）
推论
1.当m<n时，A X=0必有非零解（n个m维列向量）
2.当m=n是，A X=0有非零解，即A的行列式=0
n-r：如果齐次线性方程组系数矩阵的秩r（A）=r<n，则方程组有n-r个线性无关的解，且方程组的任一个解都可由这n-r个线性无关的解线性表出（方程组的基础解系由n-r个解向量构成）
非齐次线性方程组
解的性质
1.设c1、c2是方程组Ax=b的两个解，则c1-c2是导出组Ax=0的解
2.设c是方程组Ax=b的解，b是导出组Ax=0的解，k是任意常数，则c+kb是方程组Ax=b的解
解的结构
设c是方程组Ax=b的解，b1，b2，···，bt是导出组Ax=0的基础解系，则方程组Ax=b的通解为c+k1b1+k2b2+···+ktbt，其中k1，k2，···，kt是任意常数
定理
Ax=b有解----r（A）=r（[A,b]） ----b可由A的列向量线性表出
注：[A,b]为Ax=b的增广矩阵，此处这样标是因为无法直接用增广矩阵的标示
唯一解：r（A）=r（[A,b]）=n ∞解：r（A）=r（[A,b]）<n
Ax=b无解----r（A）+1=r（[A,b]）
方程组的应用
线性相关----Ax=0有非零解
线性表出----Ax=b有解
特征值和特征向量
特征值、特征向量
设A是n阶矩阵，如果存在一个数v以及非零的n维向量a，使得 Aa=va（a不等于0）成立， 则称v是矩阵A的一个特征值，称非零向量a是矩阵A属于特征值v的一个特征向量
特征向量a是齐次方程组（vE-A）x=0的非零解
求特征值、特征向量的方法
1.由特征方程求特征值vi（共n个），再由（vE-A）x=0求基础解系，即矩阵A属于特征值vi的线性无关的特征向量
2.用定义Aa=va推理分析
定理
1.不同特征值的特征向量，一定是线性无关的
2.A是n阶矩阵，v1，v2，···，vn是矩阵A的特征值，则 （1）特征值之和=对角线上的系数之和； （2）A的行列式=特征值之积（引伸：若A可逆，A的行列式不等于0，即0不是A的特征值）
辨析
同一个特征值如v的特征向量，加加减减的线性组合，只要不是0向量，他就一定是A关于同一特征值v的特征向量
若a1，a2是A不同特征值的特征向量，那么a1+a2不是A的特征向量
相似矩阵
求可逆矩阵P使(P-1)AP=Y（Y为A的对角阵）解题步骤
1.求出矩阵A（设为三阶）的特征值v1，v2，v3（可以有重根）
2.求出线性无关的特征向量a1，a2，a3
3.构造可逆矩阵P=（a1，a2，a3）
上图中的重要结论
A可相似对角化的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量（定理5.3）
若n阶矩阵A有n个不同的特征值v1，v2，···，vn，则A可相似对角化，且特征值为对角线上的系数（推论）
n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数（定理5.4）
实对称矩阵
定理
实对称矩阵必可相似对角化
设A是n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=(QT)AQ
实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
注
A是实对称的，则AT=A；
A、B均为n阶实对称矩阵，则A、B相似的充要条件是A、B具有相同的特征值
实对称矩阵用正交矩阵相似对角化的解题步骤
1.求出矩阵A（设为三阶）的特征值v1，v2，v3
2.求出相应的特征向量a1，a2，a3
3.改造特征向量
1如果特征值不同，则特征向量已正交，只需要单位化，记为t1，t2，t3
2如果特征值有重根，要先判断特征向量是否正交
正交，单位化
不正交，则正交化处理（Schmidt正交化）
4.把上述特征值t1，t2，t3构成正交矩阵Q=（t1，t2，t3）
二次型
二次型及其标准型
二次型
n个变量的一个二次齐次多项式称为n个变量的二次型，系数均为实数时，称为n元实数二次型
A是实对称矩阵
二次型的秩：二次型中矩阵A的秩称为二次型的秩
标准型
二次型只有平方项，没有混合项（混合项系数全为0）
标准型的对应矩阵是对角矩阵
规范型：在二次型的标准型中，平方项的系数只是1，-1，0
正负惯性指数：在二次型的标准型中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q称为二次型的负惯性指数
合同
概念
合同的充要条件：正负惯性指数相同
性质：反身性，对称性，传递性
坐标变换
矩阵描述：x=Cy，C的行列式不为0
注：通过坐标变换，可以将二次型化为标准型化为规范型
二次型转化为标准型的方法
正交变换法（核心内容：与特征值和特征向量的关系）
正交变换：x=Qy（Q为正交矩阵）
平方项系数是A的特征值，Q是与特征值一一对应的特征向量的矩阵
在用正交变换化二次型为标准型的题目中（1）当题目要求求出标准型，即求出A的特征值（2）当题目要求求出所用坐标变换，即求Q、特征值对应特征向量的构成的矩阵（注意：Q是正交矩阵，需要改造特征向量，单位正交化）
A必既相似于又合同于对角阵
解题步骤
1.写出二次型矩阵A
2.求出A的特征值
3.求出相应的特征向量a1，a2，a3
4.改造特征向量为b1，b2，b3
5.构造正交矩阵Q=（b1，b2，b3）
注：正交变换法只能化二次型为标准型
配方法
通过可逆线性变换x=Cy，其中C是可逆阵，化为标准型
惯性定理
对于一个二次型经坐标变换华为标准型，其正负惯性指数都是唯一确定的（不变的）
正定二次型
概念
若对于任意的非零向量x=（x1，x2，···，xn）T，恒有f>0，则称二次型f为正定二次型，对应矩阵为矩阵
定理
经坐标变换不改变二次型的正定性
f正定的充要条件
（1）A的正惯性指数p=n
（2）A的全部特征值>0
（3）A的全部顺序主子式>0
（4）A合同于E
f正定的必要条件
（1）A的主对角元素大于0（平方项的系数必须严格大于0）
（2）A的行列式大于0