数与代数之数的认识

这是五四制青岛版，一到五年级所有的知识整理，此导图是数与代数的数的认识，内容全面且思路清晰，适用于考试复习！

数与代数之数的认识 ——总复习

• 比
  • 两个量的倍数比关 系可以用比来表示。
  • 概念
    • 比是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”（除号）改成了“:”（比号）而已，是除法另一种表现方式。但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系。和分数的分数线类似。
  • 写法与读法
    • 举一个例子，比如6÷4用比的形式写作6:4。“:”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。而本例中6是这个比的前项，4是这个比的后项。比也可以写成分数形式，如六分之四，读作六比四。
  • 算比值
    • 前项÷后向=比值（分数，小数，整数）
  • 比的基本性质
    • 比的前项和后项同时乘或除以0除外的相同的数，比值不变。
  • 化简（化成最简整数比）
    • 利用比的基本性质同时乘一个数直至前项与后项互质为止
  • 其他性质
    • 1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
    • 2.最简比的前项和后项互质，且比的前项、后项都为整数
    • 3.比值通常用分数表示，也可以用整数或小数表示。
    • 4.比的后项不能为0 。
    • 5.比的后项乘以比值等于比的前项。
    • 6.比的前项除以后项等于比值。
• 用字母表示数
  • 定义
    • 字母可以表示任意的数，但在一道题中只能表示一个数。也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来。
    • 在方程式中一般代表未知量
  • 要点
    • 1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示。
    • 2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前。
    • 3.出现除式时，用分数表示。
    • 4.结果含加减运算的，单位要加“（ ）”。
• 时，分，秒的认识
  • 表
    • 短
      • 时针
    • 中
      • 分针
    • 长
      • 秒针
    • 10时7分36秒
  • 电子计时
    • 如10时7分36秒写成10：7：36
  • 时间长度
    • 结束时间-开始时间=所用时间
• 因数和倍数
  • 因数
    • 有限的
    • 因数
      • 如：6：1，2，3，6
    • 共因数
      • 两个数的共同因数
      • 列举法
        • 六的因数：1，2，3，6
        • 十二的因数：1，2，3，4，6，12
        • 所以1，2，3，6是6和12的共因数
    • 质因数
      • 质因数分解：找出因数中的素数（质数）
      • 短除法：
        • 360=2×2×2×3×3×5
      • 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如30=2×3×5 。分解质因数只针对合数。
    • 最大共因数
      • 列举法
        • 六的因数：1，2，3，6
        • 十二的因数：1，2，3，4，6，12
        • 6>3>2>1
        • 所以6是6和12的共因数
      • 短除法
        • 共因数是：2×3=6
  • 倍数
    • 无限的
    • 倍数
      • 如五的倍数：5，15，20，25，30，35，40……
    • 公倍数
      • 无限的
      • 两个数共同的倍数
      • 列举法：
        • 五的倍数：5，10，15，20，25……
        • 二的倍数：2，4，8，10，12，14，16，18，20，22……
        • 所以10，20……是五和二的公倍数
    • 最小公倍数
      • 短除法：
• 百分数
  • 百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比。百分数通常不会写成分数的形式，而采用符号“%”（百分号）来表示。
  • 百分数是分母为100的特殊分数，其分子可不为整数。百分数表示一个数是另一个数的百分之几，表示一个比值。百分比是一种表达比例、比率或分数数值的方法，如82%代表百分之八十二，或82/100、0.82。
  • 常见误区
    • 1、百分比往往表示一种比例关系，但百分比有时也可以超过100%。
    • 2、食品包装盒上营养成分表中的营养素参考值并不表示该物质在此食品中所占的百分比，而是表示此食品中该物质的量对于人均正常日摄入量的比例，这也解释了为什么营养成分表中百分数的总和往往不等于100%。
    • 3、成活率，发芽率，出勤率，出油率，得分率等表示个体占总体的量的百分数不会超过100%（最大100%）
    • 4、百分数在不同情况下有不同含义。如“’今晚的降水概率是20%”一句表示今晚下雨（雪）的概率为20%，并不表示今晚有20%的时间在下雨（雪）。
• 分数
  • 定义
    • 分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。
    • 一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。
    • 分数单位
      • 把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，叫做分数单位。
      • 即分子是1，分母是正整数的分数，又叫单位分数，记为1/n 。单位分数又叫“单分子分数”，它还有一个名称叫“埃及分数”，分数单位是一个数学学科术语。
      • 整数可以看作分母为1的分数，单位为 。此外 、 、 ……也是分数单位。
  • 写
    • 如
  • 读
    • 三分之二
  • 分类
    • 真分数
      • 分母大于分子的分数
    • 假分数
      • 分母小于等于分子
    • 带分数
      • 假分数的另一个形式，由一个正整数和一个分数组成
      • 如：
  • 基本性质
    • 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。
• 小数
  • 认识
    • 小数，是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。
    • 计数单位与数位
  • 读
    • 整数部分按整数的读法来读，整数部分是“0”的就读成“零”，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字。
  • 写
    • 整数部分按照整数的写法来写，整数部分是“零”的就写成“0”，小数点写在个位的右下角，然后，顺次写出小数部分每一个数位的数字。
• 整数
  • 正整数
    • 认识
      • 数位与计数单位
        • 数位
          • 指一个数中每一个数字所占的位置。
        • 计数单位
          • 计数单位就是数字计量单位。
        • 整数数位表
    • 读
      • 1.四位以内的数，按照数位顺序，从高位读起。
      • ⒉.四位以上的数，先从右向左四位分级，然后从最高级起，依次读亿级、万级、个级。读出各级里的数和它们的级名。亿级里的数，按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字;万级里的数，按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字;
      • 3.每级末尾不管有几个“O”，都不读;其他数位上有一个“O”或几个“O”，都只读一个零。例: 305 0064 4500读作:三百零五亿零六十万四千五百
    • 写
      • (1)从高位起，按照数位顺序，一级一级地往下写。亿级的数有三级，要先写亿级，再写万级，最后写个级;万级的数只有两级，要先写万级，再写个级。哪一位上数字是几就写几。
      • (2）哪个数位上没有数，就在那个数位上写0占位。
      • 2.多位数时，常常会漏写“O”，防止方法是: (1）要弄清数位与数级的关系，右起第五位是万位，第九位是亿位。 (2）找准数级，然后分级写，哪一位上数字是几就写几，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。 (3）写完数，复读检查，看看它是否与原数一致。例:四百三十二万六千七百九十八写作:4326798
    • 分类
      • 奇偶分类
        • 奇数
        • 偶数
        • 按是否能被2整除分类
      • 质合分类
        • 质数
        • 合数
        • 1
        • 按是否有除了1和自身以外的正因数分类
          • 质数又称素数质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
          • 合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。
            • 所有大于2的
            • 都是合数。
            • 所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。
            • 除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。
            • 所有个位为4，6，8的自然数都是合数。
            • 最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。
            • 每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。
  • 负整数
    • 定义
      • 除零以外的自然数是正整数，如：1，2，3，4，5，6，…。在正整数前面加上负号“-”，就是负整数。如：-1，-2，-3，-4，-5，-6，...
    • 读
      • 正数和负数的读法不一样的地方：正数可读正号可不读正号，负数必须读负号，如5读作五或者正五，-5读作负五。
    • 大小比较
      • 负数用负号、“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。 一个负数是其绝对值的相反数。在数轴线上，负数都在0的左侧，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》。在算筹中规定"正算赤，负算黑"，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。
    • 数轴
• 大小比较
  • 整数
    • 1、先看位数，位数多的数大
    • 2、位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大那个数就大。
  • 小数
    • 1、先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；
    • 2、整数部分相同，再看它们的小数部分，从高位看起，依数位比较，相同数位上的数大的那个数就大。
  • 分数
    • 分母相同的分数，分子大的分数大；分子相同的分数，分母小的分数大；分母不同的分数，先通分在比较。
  • 百分数
    • 去了百分号%，数值越大百分数的值越大；反之，数值越小，百分数的值越小。
• 百分数，小数，分数的互换
• 分数，除法，比之间的关系
• 1既不是合数也不是素数