导图社区 导数（微分）
导数（微分）知识总结，包括多元函数微分学、导数与微分、中值定理与导数的应三部分内容，需要的自取。
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导数（微分）
导数与微分
微商的概念
微商的定义
物体沿直线运动的瞬时速度
若函数y=f(x)可导，则函数在该点连续 连续不是可导的充分条件
微商的四则运算
复合函数的微商与反函数的微商
一个函数在一点的导数恰好等于其反函数在对应点的导数的倒数
初等函数在其定义域中任何一个开区间可导，其导函数仍是初等函数
无穷小量和微分
无穷小量的概念
无穷小量是指以零为极限的变量
微分的概念
微分的几何意义
一阶微分的形式不变性及其应用
一阶微分的形式不变性：不论y是自变量，还是中间变量，当z=g(y)时，公式dz=g’(y)dy总是成立的
求隐函数及由参数方程表示的函数的微商
微分与近似计算
高阶导数与高阶微分
中值定理与导数的应用
中值定理
罗尔定理
内容
几何意义
费马定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
其他未定式型
泰勒公式
定理
带拉格朗日余项的泰勒中值定理
带皮亚诺余项的泰勒中值定理
应用
求最值
求极限
求具体点的高阶导数
抽象函数的高阶导数
证明不等式
泰勒公式形态与研究
函数单调性判别法
图形法
定理法
求函数单调区间的步骤
（1）找出函数的不连续点；
（2）求导数，找出使f′（x）=0及导数不存在的点；
（3）确定各个分划区间内导数的符号，由此得到函数的单调区间．
曲线的凹凸性与拐点
定义
判定
一阶导数法
二阶导数法
判断函数凹凸性与求拐点的步骤
求出f″（x）
找出方程f″（x）=0的实根
f″（x）=0的实根将函数y=f（x）的定义域分为若干区间，在每个区间上确定f″（x）的符号，以确定曲线y=f（x）的凹凸区间
若在f″（x）=0的实根的两侧，f″（x）的符号相反，则该点是曲线y=f（x）的拐点
函数极值的求法
第一充分条件
第二充分条件
求极值的步骤
（1）求导数f′（x）
（2）找出所有驻点和不可导的点
（3）在这些点的两侧确定f′（x）的符号
（4）确定极值点，求出极值
函数的最值
闭区间上连续
区间内可导且只有一个为极值点的驻点
定义区间内有唯一的驻点且函数必有最大值或最小值
多元函数微分学
多元函数
多元函数的概念
多元函数就是含有多个自变量的函数
子主题
元函数、定义域、值、值域、自变量、因变量、图形
R^n中的集合到R^m的映射
N元函数实质：R^n中一个集合到R的一个映射->一般化：R^n中的一个集合到R^m的映射
实例：平面曲线参数方程/平面上的坐标变换
R^n中距离、邻域及开集
三角不等式：三角形两边之和大于第三边
开集：集合中没一点都是内点 充要条件：E中没有边界点闭集：集合包含它的全部边界点
连通：E中任意两点都可以用一条落在E中的曲线相连接
区域:连通的非空开集闭区域
多元函数的极限
二元函数的极限概念
二元函数的极限运算法则与基本性质
四则运算
较大的函数的极限≥较小的函数的极限
“夹逼定理”
累次极限与全面极限
累次极限与全面极限是两个不同的概念，一般来说它们之间没有必然联系。在求极限时全面极限不可以用累次极限定义
多元函数的连续性
多元函数连续性的定义
u=f(x,y)在区域D内有定义且在D内每一点都连续，称u=f(x,y)在区域D内连续
关于二元函数连续性的几个定义
f(x,y)即g（x,y）在一点（x0,y0）连续，则± * /(g(x0,y0)都连续
z=f(x,y)在点（x0,y0）附近有定义且连续，u=g(z)在点z0=f(x0,y0)连续，则u=g(f(x,y))在点（x0，y0）连续
映射的连续性
映射f:D->R^m在一点P0∈D的充分必要条件：f的每个分量fi在P0都连续
有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理
最大（小）值定理
介值定理
偏导数与全微分
一阶偏导数的定义
偏导数的几何意义
高阶偏导数
两个二阶混合偏导数在一个区域内连续可以保证它们彼此相等
全微分
可微：函数f(x,y)在点区域D内每一点都可微，称函数可微
若函数在可微则必连续
若函数可微则偏导数存在
偏导存在并不意味着连续，也即偏导数存在不一定可微
可微的充分条件：两偏导数存在且连续
对于初等函数：偏导数存在则一定可微
多元函数的微分中值定理与泰勒公式
二元函数的微分中值定理
二元函数拉格朗日中值公式
若函数z=f(x,y)在区域D内有连续偏导数，且满足∂f/∂x≡0, ∂f/∂y≡0,则f(x,y)在D内为一常数
二元函数的泰勒公式
带拉格朗日余项的泰勒公式
带佩亚诺型余项的泰勒公式
泰勒多项式
复合函数偏导数的求导法则
多元函数微分法
链式法则
运算法则
一阶全微分形式的不变性
由方程组所确定的隐函数的求导法
一个方程的情形
一元函数
二元函数
方程组的情形
公式法
微分法
利用微分方程不变性，方程两端求微分
求导法
两边分别求导解出所有偏导数
多元微分的几何应用
空间曲线的切线与法平面
空间曲线的法线与切平面
方向导数与梯度
方向导数
方向导数与偏导数的关系
偏导数存在，方向导数一定存在
方向导数存在，偏导数不一定存在
时成立
计算
三元函数
梯度
简单几何应用——梯度与等值面的关系
梯度与方向导数
沿梯度方向的方向导数最大，且等于梯度的长度
沿梯度反方向的方向导数最小，且为方向导数的的相反数
多元函数的极值与最值
多元函数的极值
极值的定义
极值的必要条件
极值的充分条件
多元函数的最大值和最小值
步骤
条件极值、拉格朗日乘数法
转换为无条件极值
拉格朗日乘数法
浮动主题
中心主题
主题
