线性代数第三章向量组的线性相关性和秩

这是一篇关于线性代数第三章向量组的线性相关性和秩的思维导图，主要内容有—.向量及其线性相关性四.向量空间三.向量组的秩和最大无关组二.线性相关性的判定定理。

向量组的线性相关性和秩

• 一.向量及其线性相关性
  • 向量及其运算
    • 定义1
      • n个有顺序的数a1，a2，···，an所组成的数组α=（a1，a2，···an）叫做n维向量，数a1，a2，···，an叫做向量α的分量，n称为向量α的维数
      • 两个向量相等就是各个对应的分量都相等
    • 向量的运算
      • 加法
        • 对应的分量相加减
      • 数乘
        • 数乘以向量的每一个分量
      • 运算规律
        • ①α+β=β+α
        • ②（α+β）+γ=α+（β+γ）
        • ③α+0=α
        • ④α+（-α）=0
        • ⑤1α=α
        • ⑥λ（μα）=（λμ）α
        • ⑦λ（α+β）=λα+λβ
        • ⑧（λ+μ）α=λα+μα
  • 向量的线性相关性
    • 定义2
      • 对于向量α1，α2，···，αm，如果有一组数λ1，λ1，···，λm使α=λ1α1+λ2α2+···+λmαm，则说向量是α1，α2，···，αm的线性组合
    • 定义3
      • 设有n维向量组α1，α2，···，αm，如果存在一组不全为零的数k1，k2，···，km，使k1α1+k2α2+···+kmαm=0，则称向量组线性相关，否则称为线性无关
      • 零向量与任一向量线性相关
      • 两个非零向量α，β线性相关的充要条件是对应分量成比例
      • 对单个向量α来说，α=0为线性相关，α≠0则为线性无关
      • n维单位向量组是线性无关的
      • 任一n维向量可由n维 单位坐标向量组线性表示
    • 用定义判断一组向量组线性相关性的步骤
      • ①假定存在一组数使得λ1α1+λ2α2+···+λmαm=0
      • ②线性运算和向量相等，得到相应的齐次方程组
      • ③判断方程组有无非零解
      • ④如有非零解，则线性相关，只有零解则线性无关
    • 定理1
      • 向量组α1，α2，···，αm（m≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示
    • 定理2
      • 设α1，α2，···，αm线性无关，而α1，α2，···，αm，β线性相关，则β能由α1，α2，···，αm线性表示，且表达式是唯一的
  • 向量组的等价
    • 定义4
      • 设有两个n维向量组A:α1，α2，···，αr，B:β1，β2，···，βs，如果A中的每个向量都能由向量组B中的向量线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A能由向量组B线性表示，而向量组B也能由向量组A线性表示，则称向量组A与B等价
    • 三个性质
      • ①反身性.A组与A组自身等价
      • ②对称性.若A组与B组等价，则B组与A组也等价
      • ③传递性.若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组与C组也等价
    • 两点补充
      • ①当β可由α1，α2，···，αr线性表示时 ，向量组α1，α2，···，αr与向量组α1，α2，···，αr，β是等价的
      • ②n维单位坐标向量组e1，e2，···，en与全体n维向量的集合 等价
    • 结论
      • A组向量能由B组线性表示
        • 行向量
          • 存在矩阵K，使A=KB
        • 列向量
          • 存在矩阵K，使 A=BK
• 四.向量空间
  • 概念
    • 定义6
      • 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法和数乘两种算法封闭，就称集合V为向量空间
      • 两点注意
        • ①n维向量放的全体 是向量空间
        • ②验证一个向量集合是否为向量空间的步骤
          • ①V非空
          • ②V关于向量加法封闭
          • ③V关于向量数乘封闭
      • 结论
        • 设α、β是两个已知的n维向量，则V={x=λα+μβ|λ，μ∈R}是一个向量空间
        • 等价的向量组所生成的向量空间相同
  • 基和维数
    • 定义7
      • 设有空间向量V1,V2，若V1 V2，则称V1是V2的子空间
    • 定义8
      • 设V为向量空间，如果r个向量α1，α2，···，αr∈V且满足①α1，α2，···，αr线性无关②V中任一向量都可由α1，α2，···，αr线性表示，则向量组α1，α2，···，αr就称为向量空间V的一个基，r称为维数
  • 坐标与过渡矩阵
    • 定义9
      • 设向量组α1，α2，···，αr是向量空间V的一个基，则V中的任一向量x可表示为x=λ1α1+λ2α2+···+λrαr称有序数组λ1，λ2，···，λr为向量x关于基α1，α2，···，αr的坐标
• 三.向量组的秩和最大无关组
  • 向量组的秩和最大无关组
    • 定义5
      • 设有向量组T，如果①在T中有r个向量α1，α2，···，αr线性无关②T中任意r+1个向量（如果有)都线性相关，则称α1，α2，···，αr是向量组T的一个最大线性无关组，简称最大无关组，数r称为向量组T 的秩
      • 三点补充
        • 规定，只含零向量的向量组的秩为零
        • R(T)为T的最大无关组中所含向量的个数
        • 若R(T)=r，则T中任意r个线性无关的向量都是T的最大无关组
      • 性质1
        • 向量组的线性无关的充要条件是它所含有的向量的个数等于它的秩
      • 性质2
        • 设向量组A:α1，α2，···，αr是向量组T的一个最大无关组，则向量组A与向量组T等价
    • 定理7
      • 设向量组A:α1，α2，···，αr的秩为r1，向量组B:β1，β2，···，βs的秩为r2，如果A组能由B组线性表示，则r1≤r2
      • 推论5
        • 等价的向量组有相同的秩
      • 推论6
        • 设向量组T中有r个向量α1，α2，···，αr满足：①α1，α2，···，αr线性无关；②任取α∈T，α总能由α1，α2，···，αr线性表示，则α1，α2，···，αr是向量组T的一个最大无关组，数r即向量组的秩
  • 向量组的秩和矩阵的关系
    • 定理8
      • 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩
      • 推论7
        • 设C=AB，则R(C)≤min{R(A),R(B)}。特别地，当A可逆时，有R(AB)=R(B)；当B可逆时，有R(AB)=R(A)
    • 定理9
      • 矩阵A经过初等行变换变为矩阵B，则A、B的行向量组之间等价,而A、B的列向量组之间有相同的线性组合关系
    • A~B（行最简形）
      • R(A)=？（由R(B)直接看出）
      • A的列向量组的最大无关组
      • 将其余的列向量用此最大无关组线性表示
    • A~B（标准形)
      • 可求R(A)=R(B)
• 二.线性相关性的判定定理
  • 向量组与矩阵的联系
    • 一个m×n的矩阵Am×n既可以看成是由m个n维的行向量构成，也可以看成是由n个m维的列向量构成
  • 线性相关性的判定定理
    • 定理3
      • 若α1，α2，···，αr线性相关，则α1，α2，···，αr，αr+1，···，αm也线性相关
    • 定理4
      • 设有两个n维列向量组A:α1，α2，···，αm，B:β1，β2，···，βm，其中向量βj是把αj的第一、二个分量对调而得，则向量组A与向量组B的线性先关性相同
      • 定理4*
        • 打乱所有分量的顺序所得的向量组与打乱前的向量组的线性相关性相同
    • 定理5
      • 设有两个列向量组A:α1，α2，···，αm，B:β1，β2，···，βm，即向量βj是由αj添加一个分量得到的，若向量组A线性无关，则向量组β也线性无关
      • 定理5*
        • r维向量组的每个分量上添上n-r个分量，成为n维向量组。若r维向量组线性无关，则n维向量组也线性无关；若n维向量组线性相关，则r维向量组线性相关
    • 定理6
      • 向量组α1，α2，···，αm线性相关的充要条件是它们所构成的矩阵A（α1，α2，···，αm）的秩小于向量的个数m，即R(A)＜m，该向量组线性无关的充要条件是R(A)=m
      • 推论1
        • n个n维向量线性无关的充要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零
      • 推论2
        • 当m＞n时，m个n维向量α1，α2，···，αm一定线性相关；特别地，n+1个n维向量必相关