导图社区 线性代数第四章线性方程组
这是一篇关于线性代数第四章线性方程组的思维导图，主要内容有一.齐次线性方程组、线性方程组解的情况、解与秩的联系、非齐次方程组的通解=对应齐次方程的通解+非齐次方程组的一个特解。
对概率论与数理统计中的数理统计初步中的基本概念进行总结，包括：总体、样本、样品；X1、X2、......Xn的联合分布；统计量及样本的数字特征；三大分布。
对概率论与数理统计中的大数定律与中心极限定理知识点进行总结，包括：马尔科夫不等式、切比雪夫大数定律、依概率收敛、贝努利大数定律、辛钦大数定律。
对于概率论与数理统计中的随机变量的数字特征进行了知识点总结归纳，包括：数学期望、相关系数与相关阵、方差。
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线性方程组
一.齐次线性方程组
齐次线性方程组
向量形式
矩阵形式
定义1
齐次线性方程组Ax=0的解的全体是一个向量空间（记为S，称S为解空间）称解空间S的基为方程组Ax=0的基础解系
定理1
若R(A)=r，则解空间 S的维数等于n-r，其中n为方程组中未知变量的个数
①若R(A)=0，则A为0矩阵，此时任一n维向量皆是解向量
②若R(A)=n，即A为列满秩矩阵，此时A的列向量组线性无关，方程组Ax=0只有零解，故维（S)=0
性质1
若ℰ1，ℰ2为Ax=0的解，则x=ℰ1+ℰ2也是方程组的解
性质2
若ℰ为Ax=0的解，k为实数，则x=kℰ也是方程组的解
线性方程组解的情况
Ax=0有解
R(A)≤n
基础解系中含有n-R(A)个解向量
解与秩的联系
R(A)=R(B)=n
Ax=b有唯一解
R(A)=R(B)＜n
Ax=b有无穷多的解
R(A)≠R(B)
Ax=b无解
非齐次方程组的通解=对应齐次方程的通解+非齐次方程组的一个特解
线性方程组Ax=b（x1a1+x2a2+···+xnan=b）有解
向量b能由向量组a1,a2,···，an线性表示
向量组a1,a2,···,an与向量组a1,a2,···,an,b等价
矩阵A=(a1,a2,···,an）与矩阵B=(a1,a2,···，an,b)的秩相等
通常称A为系数矩阵，B为（A,b)为增广矩阵
二.非齐次线性方程组
非齐次线性方程组
定理2
非齐次线性方程组有解的充要条件是：它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等
性质3
设ℒ1及ℒ2都是Ax=b的解，则x=ℒ1-ℒ2为对应的齐次方程组Ax=0的解
性质4
设x=ℒ是方程Ax=b的解，x=ℰ是方程Ax=0的解，则x=ℒ+ℰ是方程Ax=b的解
