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概率论
前四章部分导图
编辑于2022-06-21 23:20:18- 随机变量
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概率论
第一章 概率论的基本概念
1.1-1.2
研究问题
RPWT
研究对象
现象
确定现象
一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果
特征
条件完全决定结果
随机现象
一定条件下，可能发生也可能不发生
分类
个别随机现象
原则上不能在相同条件重复出现
大量性随机现象
相同条件下可以重复出现
试验
随机试验
定义
可以在相同条件下重复进行
每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
每次测试的结果事前不可预言
简称试验
符号为E
特点
可重复性
可观察性
随机性
样本空间
样本点
随机试验结果出现是不确定的，但所有可能结果是明确的
每一个可能结果称为一个样本点
样本空间
样本点的全体
事件
随机试验中某些结果构成的集合，具有 某一可观察的特征
表示
语言
集合
随机变量
分类
随机事件
可能发生，可能不发生
必然事件
必然发生的事件
不可能事件
一定不会发生的事件
基本事件
恰含一个样本点的事件
关系与运算
事件B包含于A
B发生A必定发生
事件A、B相等
事件A、B的交事件
A，B都发生
事件A、B的和事件
A、B至少有一个发生
事件A与B的差事件
A发生而B不发生
互不相容事件或互斥事件
A、B不能同时发生
对立事件
A、B不能同时发生，且至少发生一个
1.3 概率与频率
概率的直观定义
随机事件A发生的可能性的大小度量
记为P（A）
频率
定义
在相同条件下进行了n次试验，n次试验中事件A发生次数na称为事件A发生的频数
na/n称为A发生的频率
记为
性质
频率有随机波动性，但随着n的增大，频率f呈现出稳定性
概率的性质
概率与频率区别
概率为确定的数，而频率与随机试验有关，为变数
主观概率
概率的公理化定义
公理一（非负性）
对任意事件A，P(A)>=0
公理二（规范性）
P(S)=1
公理三（可列可加性）
最小性
有限可加性
差事件的概率
逆事件的概率
加法公式
下连续性
1.4 等可能概型（古典概型）
数学建模
数学发展
古典概型随机试验
满足条件
1.有限性
样本空间Ω中，只有有限个样本点
2.等可能性
各样本点发生的可能性相等
概率计算公式
古典概型的问题一般可转化为摸球模型
辛普森悖论
量与质是不等价的，无奈量比质容易测，所以人们总是习惯用量来评估好坏
例题
1.4 几何概型
满足条件
1无限性
E的样本空间Ω是某几何空间的一个区域，其包含无穷个样本点，每个样本点由区域Ω内点的随机位置所确定
2.等可能性
每个样本点的出现是等可能的，即样本点落在Ω内几何度量相同的子区域是等可能的
概率计算
例题
会面问题
折线成三角形问题
浦丰问题
1.5 条件概率
条件概率
在解决许多概率问题时，往往需要某些附加条件下求事件的概率
如在B条件发生的条件下求事件A发生的概率记为
定义
概率计算公式
条件概率的性质
条件概率的计算
条件概率与事件概率区别
例题
乘法定理
推广
波利亚罐子模型（传染病模型）
全概率公式与贝叶斯公式
样本空间的划分
定义
全概率公式
定义
证明过程
对全概率公式的理解
例题
贝叶斯公式
证明
应用
可以帮人确定某结果发生的最可能原因
例题
羊车问题
1.6 独立性
两事件的独立性
定义
若两事件满足条件
则称A、B相互独立，简称A、B独立
定理一
事件A、B独立的充要条件为
判断的例题
子主题
定理二
若事件A与B相互独立，则这三对事件也相互独立
证明过程
证明过程如1
多个事件的独立性
多个事件的两两独立
定义
三事件
如
推广到多事件
多个事件的相互独立
定义
三事件
多事件
性质
应用
在可靠性理论中的应用
元件的可靠性
元件正常工作的概率
系统的可靠性
系统正常工作的概率
并联系统
串联系统
关于小概率事件的认识
一般认为发生概率<=0.05的一个随机事件就可以称为是小概率事件
例题
再现生物经典题
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
随机变量概念的产生
随机变量的定义
对于随机试验E的每一个可能结果e∈X,都有唯一的一个实数值X(e)相对应
称X(e)为随机变量，简记为X
例
如何把握一个随机变量X
1.X的取值情况
2.它取值的概率的分布情况
随机变量的取值既具有可变性，也有随机性
事件的表示
引入随机变量的意义
通过将随机事件数值转化为研究随机变量取值的概率规律
分析工具有了用武之地
使概率可转化为我们所熟知的函数形式
以函数为工具
随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广 概念内
也可以说随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量是一种动态的观点
就像高等数学中常量与变量的区别那样
2.2 离散型随机变量及其分布律
随机变量的分类
离散型随机变量
如“取到次品的个数””收到的捐款次数“等
连续型随机变量
如”电视机的寿命“”测量误差“
离散型随机变量
例子
概率分布
定义
表示方法
公式法
列表法
例题
常用的离散型随机变量
退化分布(单点分布)
两点分布
设随机变量X只可能取x1和x2两个值，它的分布律为
则称X服从两点分布
(0-1)分布
随机变量X只可能取0与1两个值，分布律为
则称X服从(0-1)分布或伯努利分布
例
两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男是女、明天是否下雨、种子是否发芽等，都属于两点分布
伯努利分布、二项分布
试验序列
多个或无穷个试验构成的序列
独立试验序列
每个试验结果相互独立的试验序列
二项分布
X~b(n,p)
伯努利试验
在一次试验中我们只考虑两个结果，这两个结果对立，则称这样的试验为伯努利试验
n重伯努利试验
将伯努利试验E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验
重复
指这n次试验中P(A)=p保持不变
独立
指各次试验的结果互不影响
二项分布的图形
二项式定理
泊松分布
记为
X~π(λ)
定义
泊松分布的图形
泊松定理
证明
泊松定理可解释一些常见量可看作服从泊松分布
在一段时间理发店接待的顾客数
在一段时间到公共汽车站等车的乘客
在一段时间看到的流星数
如第一种情况，是因为可能理发的人数n很大，但每个顾客在这段时间去理发的概率p又很小
应用
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中，泊松分布是常见。
如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等，都服从泊松分布
银行收到的存款次数
保险公司收到的索赔单数
放射粒子的数目
著名的Rutherford等人利用云雾实验室观察镭说发射出的α 粒子数目试验
一定时间内发生的灾害数目
poisson过程
设X为[t0,t0+t]时间内到达的质点数，且满足
平稳性
即P{X=k}只与t有关，而与t0无关
独立性
t0时刻前到达的质点数目不影响t0时刻后到达的质点数目
普通性
当t充分小时，至多有一个质点
非平凡性
对任意的t，k，P{X=k}>0
则X必满足Poisson分布，并称X为Poisson过程
例子
超几何分布（无放回抽样调查）
定义
极限分布
可见，超几何分布的极限分布为二项分布。即当样本容量足够大时，无放回抽样可近似于有放回抽样
一般来说，当n<0.05N时，将无放回抽样视为有放回抽样，结果都会很好
几何分布
在独立重复试验中，记X表示事件A第一次发生的次数，P(A)=p，0<p<1
另一种定义
几何分布的图像
几何分布的无记忆性
无记忆性是几何分布的必要条件
无记忆性是几何分布的充分条件
帕斯卡分布
定义
因而，参数为r的帕斯卡分布可以分解为r个独立同分布的几何分布的随机变量的和
图像
另一种定义
负二项分布
2.3 随机变量的分布函数
概率分布的缺陷
对于离散型随机变量，概率分布已将其统计规律描述得一清二楚
但对于值域不可数的随机变量会有这些困难
取值无法列举
在某点取值的概率一般为0
所以对于值域不可数的随机变量，我们更关心其在某一区域取值的概率
分布函数
设X是一个随机变量，称
F(x)=P(X<=x)(-∞<x<∞)为X的分布函数
如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值2就表示X落在区间(-∞，x]内的概率
remark
1 在分布函数的定义中，X是随机变量，x是自变量
2 F(x)是随机变量X的取值不大于x的概率，或者说累积到x的概率
3 对任意实数x1<x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量
例
分布函数的性质
单调性
F(x)在(-∞，+∞)上是一个不减函数，即对所有x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2，有
F(x1)<F(x2)
F(x2)-F(x1)=P{x1<X<=x2}>=0
规范性
证明
右连续性
证明
具有以上三条性质的，则一定是某个随机变量的分布函数
分布函数性质的推广
例子
2.4 连续随机变量及其概率密度
概率密度
连续型随机变量的分布函数在R上连续
概率密度的性质
f(x)>=0
面积为1
满足上面两个条件的f(x)，必可以找到随机变量X，使X以f(x)为密度函数
对于任意实数x1,x2(x1<x2)
利用概率密度即可确定随机点落在某个范围内的概率
若f(x)在点x处连续，则有
F'(x)=f(x)
函数图像
对f(x)的进一步理解
若x是f(x)的连续点，则
要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率。但这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度
连续型随机变量取任一指定实数值a的概率均为0，即
P{X=a}=0
对连续型随机变量X有
但F(x)为连续函数推不出X为连续型随机变量
如处处连续处处不可导的函数就一定不是分布函数
既非离散型，亦非连续型的随机变量
单调性
规范性
右连续性
常用的连续型分布
均匀分布
若随机变量的概率密度为
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作
性质
分布函数
或记为
分布函数的图形
均匀分布的常见情况和背景材料
指数分布
导入
定义
图像
性质
指数分布与泊松分布的关系
无记忆性
推导
必要性
充分性
缺陷
应用
各种“寿命”分布的近似
无线电元件的寿命
动物的寿命
电话问题中的通话时间
随机服务系统中的服务时间
正态分布(高斯分布)
应用与背景
常见应用
测量误差
人的生理特征
身高
体重
智商
生产的产品尺寸
直径
长度
重量
高度
质量指标
如零件的尺寸
纤维的强度和张力
农作物的产量
小麦的穗长、株高
射击目标的水平或垂直偏差
信号噪声
由中心极限定理可知
若某随机变量可以视为许多微小随机因素的总后果，而且每一个因素的影响都很小，则都可以近似地服从正太分布
重要积分
定义
正态分布的概率密度的性质
图像
图形特点
调用函数
分布函数
标准正态分布
密度函数
分布函数
性质
证
图形
定理
证
应用
查标准正态分布函数的表，用标准概率算一般的概率
重要性
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变化转化为标准正态分布。只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题
3σ准则
例题
分位数
定义
性质
标准正态分布的上侧分位数
标准正态分布表
伽玛分布
定义
Г函数与В函数
性质
图像
应用
在排队问题中，前n个质点到达的总时间T，服从伽马分布Γ(n,λ)
在水文统计中，或最大风速，最大风压的概率计算中经常用到伽马分布
β分布
定义
标准β分布
图像
威布尔分布
定义
分布函数
应用
串联系统的寿命适用威布尔分布，现广泛应用于可靠性分析
2.5 随机变量的函数的分布
引入
实际中，人们往往对随机变量的函数更感兴趣
离散型随机变量函数的分布
例题
计算
连续型随机变量函数的分布
例题
计算方法
分布函数法
公式法
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量
问题的提出
定义
分布函数(或X,Y的联合分布函数)
定义
性质
证明
若一个函数具有上述性质3，4，5，则此函数一定是某二维随机向量的分布函数
二维离散型随机变量
定义
分布律
例题
二维连续型随机变量
定义
性质
例题
n维随机向量
定义
分布函数
3.2 边缘分布
边缘分布函数
定义
二维随机变量作为一个整体，具有分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，也有各自的分布函数，分别记为
依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数
离散型随机变量的边缘分布律
定义
例题
多项分布
定义
三项分布
三项分布的边缘分布
多维超几何分布
定义
连续型随机变量
边缘概率密度
例题
常见的二维分布
二维正态分布
定义
图像
求二维正态随机变量的边缘概率密度
性质
二维正态分布的边缘分布也是正态分布
两个边缘分布是正态分布，它的二维随机变量并非一定是正态分布
二维均匀分布
定义
性质
图像
例题
3.3 条件分布
条件分布函数
如
例题
离散型随机变量的条件分布律
定义
性质
例题
求和的上下限要注意，求X的分布律时，n受m限制，最小只能是m+1;求Y的分布律时，m的最大值受n限制，最大只能是n-1
连续型随机变量的条件密度函数
定义
定义的解释
例题
二元正态分布的条件分布仍为正态分布
乘法公式
例题
3.4 相互独立的随机变量
定义
判断
离散型随机变量的独立性
例题
连续型随机变量的独立性
例题
随机变量独立，变量构造的函数也独立
二元正态分布的独立性
证明
一些n维随机变量的概念和结果
3.5 两个随机变量的函数的分布
二维离散型
分布
例题
Z=X+Y
分布的可加性
若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性
二项分布的可加性
证明
泊松分布的可加性
证明
两个连续型随机变量的函数的分布
定义
例题
Z=X+Y
推导
分布函数
概率密度
特殊的，若X和Y独立
连续型随机变量的和的卷积公式
例题
可加性
正态分布的可加性
伽马分布的可加性
证明
定理
商的分布
Z=max{X,Y},Z=min{X,Y}
分布函数
例题
求随机变量函数的概率密度的方法
变量变换法
变换公式
具体步骤
例子
增补变量法
第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
实际背景
离散型随机变量的期望
定义
注
EX是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称均值
级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值，它不因可能值的排列次序而改变
如果把每个点上的概率看成该点的质量，EX求的正好是X上所有点对原点的总力矩
例题
分布的期望
伯努利分布
二项分布
泊松分布
例
几何分布
连续型随机变量的数学期望
推导
定义
例题
分布的期望
均匀分布
正态分布
指数分布
合集
随机变量函数的期望
离散型
例题
主题
主题
主题
在实际问题中，随机试验的结果可以用数值来表示，由此产生随机变量的概念
有些数本身与数值有关
在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果，也就是说，把试验结果数值化
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数
它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值
由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率
称这种定义在样本空间S上的实值单值函数为
简记为r.v.