第五章：有理数

中预下半学期数学第一章，包含科学计数法，数轴，有理数的定义，绝对值，有理数的运算的知识

中预第二学期第一章：有理数

• 有理数的意义
  • 数的概念
    • 正数：像5,2.5,0.76等大于0的数叫做正数。
    • 负数：像-5,-2.5,-0.1等小于0的数叫做正数。
    • 0：像0这样等于0的数叫做0。 0不属于正数和负数，自成一类。
  • 数的分类
    • 整数
      • 非负整数（自然数）
        • 正整数
        • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
    • 实数
      • 非负数
        • 正数
        • 0
      • 负数
    • 有理数（分类1）
      • 正有理数
      • 0
      • 负有理数
    • 有理数（分类2）
      • 整数
      • 分数（有限小数和无限循环小数）
  • 有理数的判定
    • 如果a=p/q(p,q为整数且q不等于0）
• 有理数的运算
  • 加法
    • 加法法则
      • 同号两数相加，去原来的符号，并把绝对值相加。
      • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0.绝对值不相等时，符号取绝对值大的，和的绝对值是加数的绝对值之差（大减小）
      • 一个数同0相加，和还是这个数
    • 加法定律
      • 交换律：a+b=b+a
      • 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
  • 减法
    • 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（a-b=a+(-b))
    • 加减混合运算：有理数的加减混合运算，县全部转化为加法，在运用加法的交换律和结合律运算。
  • 乘法
    • 乘法的意义：几个相同的数相加，可写成这个数乘以几(5+5+5=5*3)
    • 乘法的法则
      • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
      • 任何数与0相乘，积都为0。
    • 格式要求：乘法中，如果有一个乘数是负数并且不是第一个乘数，那么那个乘数需要用括号括起来。
    • 运算定律
      • 交换律：ab=ba
      • 结合律：(ab)c=a(bc)
      • 分配律：a(b+c)=ab+ac
  • 除法
    • 倒数：-a的倒数是-1/a,-q/p的倒数是-p/q
    • 除法的法则
      • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
      • 0除以任何不为0的数都等于0。
    • 规律：
      • 若ab=0，则a=0或b=0
      • 若a/b=0，则a=0且b!=0
  • 乘方
    • 概念：求几个相同的因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作a^n，其中a叫做底数（初中阶段可以为一切有理数），n为指数（中预阶段为非负整数），读作a的n次方或者a的n次幂。
      • 特别的1^n=1（n为非负整数）,0^n=0（n为正整数）
    • 格式：分数和负数的几次幂要用括号把底数括起来。
    • 知识点
      • (a/b)^n=a^n/b^n
      • 正数的任意次幂都是正数。
      • 负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数
      • (-1)^n=-1（n是奇数） (-1)^n=1(n是偶数）
      • 带分数和小数的乘方，应先将底数化为真分数或者假分数。
      • (a^n)^m=a^mn
      • a^m*a^n=a^(m+n)
      • (ab)^m=a^m*b^m
      • a^m/a^n=a^(m-n)
      • 如果a^n=b^n(a,b为有理数，n为正整数）
        • 当n为奇数，a=b
        • 当n为偶数，a=b或者-b
  • 混合运算
    • 概念：一个算式中，有有理数的加减乘除乘方中两种及以上的运算叫做有理数的混合运算。
    • 运算法则
      • 同级计算从左到右
      • 如果有括号，先算小括号，再算大括号
      • 先算高级运算，再算低级运算(乘方->乘、除->加、减)
      • +(a土b)=a土b
      • -(a土b)=a干b
• 相关概念
  • 数轴
    • 三要素：原点（0），正方向，单位长度。
    • 相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
      • 相反数在数轴上表示的点关于原点对称（在原点左右两侧，且与原点的距离相同）
      • 0的相反数是他本身。、
  • 绝对值
    • 概念：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。（用符号|a|表示a的绝对值
    • 知识点
      • |a|大于等于0
      • |a|=a(a>0) |0|=0 |a|=-a(a<0) |a|=|-a|
      • 如果|x|=|y|，则x=y或者x=-y
    • 绝对值与大小
      • 两个正数，绝对值大的数大。
      • 两个负数，绝对值小的数小。
    • 绝对值的几何意义：在数轴上数x对应的点与原点的距离
      • |a-b|表示数轴上a和b代表的之间的距离。
    • 解绝对值问题的方法
      • 代数方法：原点分类法
      • 几何方法：几何意义
    • 三角不等式||a|-|b||小于等于|a+b|<=|a|+|b|
      • 当a,b异号或者a，b之中至少有一个为0，||a|-|b||=|a+b|
      • 当a,b同号或者a,b之中至少有一个为0，|a+b|=|a|+|b|
• 科学计数法
  • 概念：把一个数写成a*10^n的形式（其中1<=|a|<10，n是正整数），这种形式的计数法叫做科学计数法。
    • 其中，n为原来的数的位数-1。